Математика / Математика / Математика / Математика / Математика / Stereometria

Теорема о трёх перпендикулярах

Основные правила построения сечений

Расстояние между прямыми

Метод объёмов

1

Расстояние между скрещивающимися прямыми

Расстояние от точки до плоскости можно найти

Проводим прямые через две точки, лежащие в

– это длина общего перпендикуляра,

как высоту пирамиды, выразив объём двумя

одной плоскости

проведённого к этим прямым

способами

2

Плоскость сечения пересекает параллельные

Пример:

Пример:

грани по параллельным прямым

В кубе 1 1 1 1 все рёбра равны 6.

В основании четырёхугольной пирамиды

3

лежит прямоугольник со

Если секущая плоскость проходит через

а) …

сторонами = 12 и = 5√3. Длины

прямую, параллельную плоскости, то она

б) Найдите расстояние между прямыми и

боковых рёбер пирамиды = 5, = 13,

пересекает эту плоскость по прямой,

1.

= 10.

параллельной начальной прямой

4

Решение:

а) …

Прямая, проведённая в плоскости и

Метод следов (если в некоторой грани известна

б) Найдите расстояние от вершины до

одна точка сечения, а в соседней грани –

плоскости .

перпендикулярная проекции наклонной на эту

отрезок, то продлеваем общее ребро, а затем

плоскость, перпендикулярна и самой

продлеваем отрезок до пересечения с

Решение:

наклонной (ТТП)

продолжением общего ребра)

Прямая, проведённая в плоскости и

перпендикулярная наклонной,

перпендикулярна и проекции наклонной на эту

плоскость (Теорема, обратная ТТП)

Пример:

В кубе 1 1 1 1 все рёбра равны 6.

а) Докажите, что угол между прямыми и 1

б) Пусть − перпендикуляр к 1

равен 90°.

(т.к. ( 1))

б) …

Решение:

=> − искомое расстояние

б) Расстояние от вершины до плоскости

равно высоте пирамиды с основанием

1

sin =

=

∆

1

1

=> = √6

=

∙

∙

3

=

1

∙

∙

3

Получаем уравнение, в котором всё, кроме ,

легко находится:

1

∙

∙ =

1

∙

∙

3

3

а) (по свойству квадрата)

{ => ( )

− проекция 1 на пл. основания

∩

=>

=> 1 (по ттп)

1

13 ∙ 5√3

1

12 ∙ 5√3

∙

∙ =

∙

∙ 5

3

2

3

2

60

=

13

Признак перпендикулярности прямой и плоскости

Признак перпендикулярности двух плоскостей

Признак параллельности прямой и плоскости

Признак параллельности двух плоскостей

Прямая перпендикулярна плоскости, если она

Плоскости перпендикулярны, если одна из

Прямая параллельна плоскости, если она

Плоскости параллельны, если две

перпендикулярна двум пересекающимся

плоскостей содержит прямую,

параллельно какой-либо прямой, лежащей в

пересекающиеся прямые одной плоскости

прямым, лежащим в этой плоскости

перпендикулярную другой плоскости

этой плоскости

соответственно параллельны двум

пересекающимся прямым другой плоскости

Если { , то

Если { , то

Если { , то

Если {

1

, то

∩

1

Пример:

Пример:

Пример:

Основание пирамиды − трапеция

В правильной треугольной пирамиде

Пример:

В основании четырёхугольной пирамиды

, причём + = 90°.

сторона основания равна 60, а боковое

В правильной четырёхугольной пирамиде

лежит прямоугольник со

Плоскости и перпендикулярны

ребро равно 37. Точки и − середины

сторона основания равна 16, а

сторонами = 8 и = 6. Длины боковых

плоскости основания, прямые и

рёбер и соответственно. Плоскость

высота пирамиды равна 4. На рёбрах , и

содержит прямую и перпендикулярна

рёбер пирамиды = √21, = √85,

пересекаются в точке .

отмечены точки , и соответственно,

плоскости основания пирамиды.

причём = = 4 и = 3.

= √57.

а) Докажите, что плоскости и

а) …

а) Докажите, что − высота пирамиды.

перпендикулярны.

а) Докажите, что плоскости и

б) …

б) …

б) Найдите расстояние от вершины до

параллельны.

плоскости .

б) …

Решение:

Решение:

Решение:

Решение:

а) Заметим, что в ∆ выполняется теорема

а) + = 90°

а) …

Пифагора:

=> = 90°

а) = √162 + 162

= 16√2

2 = √21

2 + 62

б) { =>

= 8√2

√57

=> = 90°

( ) пл. основания

2 + 42 = 12

( ) пл. основания

=> Расстояние от вершины до плоскости

= √(8√2)

Заметим, что в ∆ выполняется теорема

=> − прямая пересечения плоскостей

такое же как от любой точки на прямой до

( ) и ( )

Пифагора:

Построение сечения:

плоскости , т.е. − искомое расстояние

=> − высота пирамиды

2 = √21

2 + 82

1

√85

=> = 90°

=> = 90°

= 90°

√3

2

=

2 ∙ = 30√3

1

3

{ => пл. основания

{ => ( )

=

6 ∙ = 5√3

∩

∩

4

=> − высота пирамиды

{ ( ) => ( )

( )

=> − сечение

( )

(т.к. − прямоугольник)

∆ ~∆ по двум пропорциональным

сторонам и углу между ними

=

3

=

1

12

4

=

4

=

1

16

4

( − общий)

=>

( ) ( )

{ =>

Угол между прямой и плоскостью (способ #1)

Угол между прямой и плоскостью (способ #2)

Угол между прямыми (способ #1)

Угол между прямыми (способ #2)

Пример:

Пример:

Пример:

В основании четырёхугольной пирамиды

В основании четырёхугольной пирамиды

В основании четырёхугольной пирамиды

лежит прямоугольник со

лежит прямоугольник со

лежит прямоугольник со

сторонами = 4 и = 3. Длины боковых

сторонами = 8 и = 6. Длины боковых

сторонами = 8 и = 6. Длины боковых

рёбер пирамиды = √11, = 3√3,

рёбер пирамиды = √21, = √85,

рёбер пирамиды = √21, = √85,

= 2√5.

= √57.

= √57.

а) …

а) …

а) …

б) Найдите угол между прямой и плоскостью

б) Найдите угол между прямыми и .

б) Найдите угол между прямыми и .

.

Решение:

Решение:

Решение:

Угол между прямой и плоскостью – это угол

между прямой и её проекцией на плоскость