ЗАДАНИЕ Д11–77
Дано: R1= R2= R, r1=0,4R, r2=0,8R, Р2= 4Р, Р4= 2Р, F = 3Р, M1 =0, M2 = 2PR
Н
айти:
– закон изменения обобщенной координаты;
частоту k
и период
колебаний.
РЕШЕНИЕ:
1. Для решения задачи воспользуемся уравнениями Лагранжа. Система имеет две степени свободы. Выберем в качестве обобщенных координат угол поворота блока 2 и удлинение пружины х (q1=, q2=x). Тогда уравнения Лагранжа будут иметь вид
;
.
2. Кинетическая энергия системы, равна сумме энергий всех тел (весомых):
.
Т.к. блок 2 вращается вокруг своей оси, а колеса 4 движутся плоскопараллельно, то
;
,
где 
,
.
Выразим все скорости через
обобщенные скорости
и
:
,.
Для определения
рассмотрим движение колес как сложное.
Т.к.
определяет положение тележки (и центров
колес 4) по отношению к концу пружины А,
получим
,
где численно
,
.
Принимая во внимание, что положительные
направления для
и
разные и что точки касания колес
поверхности есть мгновенный центр
скоростей, получаем
,
.
Следовательно
=
=
=
.
Отсюда
=
,
;
=
, 
. (1)
3. Определим обобщенные силы
и
.
На систему действуют активные силы:
силы тяжести
,
,
силы упругости
,
и пара сил с моментом М.
а) Определение
.
Сообщим системе возможное перемещение,
при котором координата
получает приращение
(
),
а
не изменяется (
=0
– пружина при этом не изменяет своей
длины). Тогда т.А, В и центры колес 4
получают одинаковые перемещения
.
Элементарная работа действующих сил
равна
=
=
б) Определение
.
Сообщим системе возможное перемещение,
при котором координата
получает приращение
(
),
а
не изменяется (т. А не перемещается и
блок не проворачивается).
Тогда элементарную работу
совершат только
и
.
=
.
Коэффициенты при
и
в записанных выражениях и будут искомыми
обобщенными силами. Следовательно 
и 
. (2)
Подставляя выражения (1) и (2) в уравнения Лагранжа, получим следующие диф. уравнения движения системы:
,
;
или
,
.
4. Для определения
исключим из полученных уравнений
.
,
.
Отсюда
,
,
.
Обозначим
,
,
(3)
тогда получим диф. уравнение вида
. (4)
Общее решение этого уравнения:
,
где
– общее решение однородного
уравнения
,
т.е.
;
– частное решение уравнения
(4), которое (по виду правой части) ищем
в виде
.
Из (4) для
имеем
.
Следовательно 
.
Тогда 
.
Определим постоянные интегрирования
по начальным условиям: при
и
(движения начинается из состояния покоя
и пружина не деформирована)
и
.
Таким образом, искомая зависимость
имеет вид:
.
(5)
(здесь
и
рассчитываются по равенствам (3)). Тележка
совершает колебательные движения по
отношению к остальной части системы по
закону (5) с круговой частотой 
и периодом колебаний
.