ЗАДАНИЕ Д12-77
Дано: m1= 16 кг, m2= 10 кг, m5= 4 кг, с1= 800 Н/м. R1= 0.4 м, r1=0,2 м, R2= 0,5 м, r2=0,3 м,.
Найти: частоту k и период малых колебаний системы около положения равновесия и значение ст.
РЕШЕНИЕ:
1
.
Система имеет одну степень свободы.
Выберем в качестве обобщенной координаты
угол
отклонения колеса 1 от положения
равновесия. Рассматривая малые колебания
считаем угол
малым.
Т.к. все действующие на систему силу потенциальны (силы тяжести и упругости), выразим обобщенную силу через потенциальную энергию системы. Тогда
,
где
(1)
2. Кинетическая энергия системы
.
Т.к. колеса 1 и 2 вращаются вокруг оси, а груз 5 движется поступательно, то
;
,
;
где 
,
.
Выразим все скорости через
обобщенную скорость
.
Тогда
.
Ввиду малости
можно считать, что
.
Отсюда
и
.
Следовательно,
или
,
где
.
Отсюда
,
и 
. (2)
3. Потенциальная энергия
системы. Для пружины
,
где
– удлинение (сжатие) пружины, а для поля
сил тяжести
,
где
– координата ц. тяжести (ось Z
направлена вертикально вверх).
Для всей системы 
Учтем, что
.
Для груза
.
Таким образом
.
4. Определим обобщенную силу
Q и ст.
. (3)
Т.к. при равновесии, когда =0
должно быть и Q=0,
то
и отсюда
.
Тогда
5. Составляем уравнение Лагранжа. Подставляем в (1) значения производных (2) с учетом (3) получаем
или
.
Обозначим
и уравнение Лагранжа примет
вид 
. (4)
Из теории колебаний известно,
что когда уравнение приведено к виду
(4), то в нем k
является круговой частотой, а период
колебаний
.
Таким образом
(1/с);
(с);
=
м.=
–3 см. (пружина сжата)