9.3. Суммирование случайных погрешностей

Правила суммирования случайных погрешностей основаны на известных из теории вероятностей положениях [48,49]:

а) оценка математического ожидания результирующей погрешности определяется алгебраической суммой оценок математических ожиданий составляющих;

б) оценка СКО суммарной погрешности определяется выражением

(9.7)

где S_i — оценка СКО i-й составляющей погрешности; m — число суммируемых составляющих погрешностей; ρ_ij — коэффициент корреляции между i- и j-й составляющими.

При суммировании m случайных погрешностей их коэффициенты корреляции образуют матрицу, которая ввиду равенства ρ_ij = ρ_ij является диагональной. Так как матрица коэффициентов корреляции симметрична относительно главной диагонали, на которой находятся значения ρ_ij = 1, то формулу (9.7) можно переписать в виде

где суммирование во втором слагаемом распространяется на все те составляющие, коэффициенты корреляции которых находятся в матрице правее и выше главной диагонали. Их число равно m(m—1)/2.

Использование последнего уравнения и выражения (9.7) затруднительно, так как точное значение коэффициента корреляции между составляющими обычно неизвестно. В этом случае при расчетах полагают ρ = 0, если случайные составляющие можно считать независимыми (при |ρ| < 0,7), или ρ = ±1, если заметна корреляция между суммируемыми случайными составляющими погрешностей (при |ρ | > 0,7).

При необходимости точного учета коэффициента корреляции между погрешностями аргументов X_i и X_j его оценка может быть найдена по формуле

(9.8)

где X_ki, X_kj — элементы выборки аргументов Х_i и Х_j; S(X̃_i), S(X̃_j) — оценки СКО средних арифметических результатов измерений аргументов X_i и Х_j. Оценку коэффициента корреляции можно определить и по формуле

(9.9)

Полезной может оказаться формула

(9.10)

основным достоинством которой является отсутствие необходимости предварительного вычисления СКО составляющих X_kj и X_ki. Следует отметить, что формулы (9.8)—(9.10) равнозначны.

В случае суммирования нормально распределенных случайных погрешностей результирующая погрешность измерения состоит из m случайных составляющих. Зная доверительную вероятность Р и доверительный интервал Д_: для каждой составляющей погрешности, можно найти оценку СКО любой из них по формуле

(9.11)

где z_pj — квантиль нормального распределения, соответствующий доверительной вероятности Р_j. Если значение Р для всех составляющих одинаково, то, используя выражения (9.7) и (9.11), получаем:

а) для коррелированных составляющих (ρ_ij = ±1)

(9.12)

где знак "±" означает, что для составляющих с положительной корреляцией величины S_i и _i нужно брать со знаком "+", а для составляющих с отрицательной корреляцией — со знаком "-"; б) для независимых составляющих (ρ_ij = 0)

(9.13)

При суммировании составляющих с нормальным законом распределения результирующая погрешность также будет распределена нормально. Поэтому доверительный интервал суммарной погрешности с доверительной вероятностью Р может быть найден как

(9.14)

С учетом (9.12) и (9.13) выражение (9.14) принимает вид, соответственно для коррелированных и некоррелированных составляющих:

(9.15)

Суммирование погрешностей по первой формуле называется арифметическим, а по второй — геометрическим. Действительные значения коэффициентов корреляции по абсолютному значению могут находиться в пределах от нуля до единицы, поэтому арифметическое суммирование обычно дает завышенное значение суммарной погрешности, а геометрическое — заниженное, т.е. действительное значение находится в интервале между ними.

Закон распределения результирующей погрешности зависит от конкретных видов и характеристик законов распределения суммируемых составляющих. Исходя из этого для определения доверительного интервала суммарной погрешности необходимо в каждом конкретном случае по известным законам суммируемых составляющих установить методами теории вероятностей результирующий закон распределения. Зная его и соответственно квантильный множитель z_p, можно найти доверительный интервал суммарной погрешности по формуле (9.14).

Возможны приближенные способы определения доверительного интервала суммарной погрешности без установления результирующего закона распределения (они рассмотривались в разд. 9.1).