6.3.5. Уплощенные распределения

Данные распределения представляют собой композицию равномерного и какого-либо экспоненциального распределения (см. рис. 6.2). Вид одного из них показан на риc. 6.7. Уплощенные распределения отличаются от экспоненциальных с показателем  >2 тем, что при почти плоской вершине имеют длинные, медленно спадающие "хвосты", в то время как экспоненциальные распределения при  >> 2 обрываются тем круче, чем более плоской является их вершина.

Рис. 6.7. Уплощенное распределение (1), полученное как

композиция равномерного (2) и нормального (3) распределений

с СКО, равными и 5 соответственно

Основными параметрами, определяющими форму таких распределений, являются:

• показатель относительного содержания в композиции равномерной составляющей С_р= Ор/ст_эк(., где а_р, о_экс — СКО равномерного и экспоненциального распределений;

• показатель а экспоненциальной составляющей.

Вес относительной дисперсии²_экс в суммарной дисперсии (_экс² + _р²), как правило, не превышает 10%. Однако его влияние на форму кривой р(х) будет значительным. Другая особенность уплощенных распределений: при том же значении эксцесса энтропийный коэффициент у них существенно меньше, чем у экспоненциальных распределений.

6.3.6. Семейство распределений Стъюдента

Эти законы описывают плотность распределения вероятности среднего арифметического, вычисленного по выборке из п случайных отсчетов нормально распределенной генеральной совокупности. Распределения Стьюдента нашли широкое применение при статистической обработке результатов многократных измерений. Их вид зависит от числа отсчетов n, по которым находится среднее арифметическое значение, поэтому и говорят о семействе законов, В центрированном и нормированном виде они описываются формулой

где k — число степеней свободы, зависящее от числа п усредняющих отсчетов: k = n-1. Вид распределения Стьюдента для различных значений k показан на рис. 6.8. При увеличении k распределение Стьюдента переходит в распределение Гаусса.

Рис. 6.8. Распределение Стьюдента при степенях свободы, равных 1

(распределение Коши), 5 и 100

Для нормированных распределений Стьюдента с k > 4 справедливы следующие соотношения:

Значения некоторых параметров для различных степеней свободы приведены в табл. 6.4.

Таблица 6.4

Значение точечных оценок распределения Стьюдента при различных

степенях свободы k

k		к	Энтропийный коэффициент k
4		0	1,900
5	9	0,333	1,972
6	6	0,408	2,005
10	4	0,500	2,047
	3	0,577	2,066

Распределения Стьюдента имеют ряд особенностей:

• при n < 3 их СКО становится равным бесконечности, т.е. дисперсионная оценка ширины разброса не работает (перестает существовать);

• классический аппарат моментов для оценки формы и ширины распределения Стьюдента с малым числом степеней свободы оказывается не работоспособным, и их ширина и форма могут быть оценены лишь с использованием доверительных и энтропийных оценок. ch-им распределение Стьюдента резко отличается от других распределений.

Разновидностью распределения Стьюдента является распределение Коши. Оно важно тем, что ему подчиняется распределение отношения двух нормально распределенных центрированных случайных величин. Распределение Коши — это предельное распределение семейства законов Стьюдента с минимально возможным числом степеней свободы, равным k = 1 (рис. 6.8):

В общем виде (не нормированном и не центрированном) распределение Коши имеет вид

где А, Х_ц — параметры распределения.

Свойства распределения Коши резко отличаются от свойств экспоненциальных распределений, а именно:

• дисперсия и СКО не существуют, так как определяющий их интеграл расходится. Они будут бесконечно увеличиваться при росте числа экспериментальных данных. Оценка ширины распределения может быть произведена только на основе теории информации;

• оценка центра в виде среднего арифметического для распределения Коши неправомочна, так как ее рассеяние равно бесконечности;

• математическое ожидание не существует;

• для определения Х_ц необходимо использовать медиану;

• эксцесс равен бесконечности, а контрэксцесс равен нулю;

• энтропийное значение погрешности равно 2А.