6.3.3. Экспоненциальные распределения

Экспоненциальные распределения описываются формулой [4]

(6.5)

где ; — СКО;  — некоторая характерная для данного распределения константа; Х_ц — координата центра; Г(х) — гамма-функция. В нормированном виде, т.е. при Х_ц = 0 и  = 1,

где А(а) — нормирующий множитель распределения.

Интегральная функция нормированного экспоненциального распределения описывается выражением

Интеграл, входящий в эту формулу, выражается через элементарные функции только при  = 1/n, n = 1; 2; 3; ... При  = n = 2; 3; 4; ... он может быть рассчитан по приближенным формулам, приведенным в [53].

Эксцесс и энтропийный коэффициент экспоненциальных распределений соответственно определяются по формулам:

Анализ приведенных выражений показывает, что константа а однозначно определяет вид и все параметры распределений. При  < 1 распределение имеет очень пологие спады и по форме близко к распределению Коши. При  = 1 получается распределение Лапласа р(х) = 0,5е^-|x| , при  = 2 — нормальное распределение или распределение Гаусса. При  > 2 распределения, описываемые формулой (6.5), близки по свойствам к трапецеидальным. При очень больших значениях  формула (6.5) описывает практически равномерное распределение. В табл. 6.3 приведены параметры некоторых из экспоненциальных распределений.

Таблица 6.3

Значения параметров экспоненциальных распределений

при различных показателях a

Распределение	a	e	к	k
Лапласа	1	6	0.408	1,92
Нормальное (Гаусса)	2	3	0,577	2,07
Равномерное	¥	1,8	0,745	1,73

6.3.4. Нормальное распределение (распределение Гаусса)

Наибольшее распространение получил нормальный закон распределения, называемый часто распределением Гаусса:

(6.6)

где  — параметр рассеивания распределения, равный СКО; Х_ц — центр распределения, равный МО. Вид нормального распределения показан на рис. 6.3.

Рис. 6.6. Экспоненциальные распределения, определяемые по

формуле (6.5) при  = 1 и Х_ц = 0

Широкое использование нормального распределения на практике объясняется центральной предельной георемой теории вероятностей [48, 49], утверждающей, что распределение случайных погрешностей будет близко к нормальному всякий раз, когда результаты наблюдений формируются под действием большого числа независимо действующих факторов, каждый из которых оказывает лишь незначительное действие по сравнению с суммарным действием всех остальных.

Вид экспоненциальных распределений при различных значениях показателя а приведен на рис. 6.6.

При введении новой переменной t = (х-Х_ц)/ из (6.6) получается нормированное нормальное распределение, интегральная и дифференциальная функции которого соответственно равны:

Нормирование приводит к переносу начала координат в центр распределения и выражению абсциссы в долях СКО. Значения интегральной и дифференциальной функций нормированного нормального распределения сведены в таблицы, которые можно найти в литературе по теории вероятностей [48, 49].

Определенный интеграл с переменным верхним пределом

(6.7)

называют функцией Лапласа. Для нее справедливы следующие равенства: Ф(- ) = - ,5; Ф(0) = 0; Ф(+ ) = 0,5; Ф(t) = -Ф(t). Функция Лапласа используется для определения значений интегральных функций нормальных распределений. Функция F(t) связана с функцией Лапласа формулой F(t) = 0,5 + Ф(t). Поскольку интеграл в (6.7) не выражается через элементарные функции, то значения функции Лапласа для различных значений t сведены в таблицу (см. приложение 1).