Глава 6. Случайные погрешности

6.1. Вероятностное описание случайных погрешностей

Присутствие случайных погрешностей в результатах измерений легко обнаруживается из-за их разброса относительно некоторого значения. Как уже отмечалось ранее, и результат измерения, и его погрешность с известными оговорками могут рассматриваться (см. разд. 4.2) как случайные величины.

Из теории вероятности известно, что наиболее универсальным способом описания случайных величин является отыскание их интегральных или дифференциальных функций распределения. Интегральной функцией распределения F(x) называют функцию, каждое значение которой для каждого х является вероятностью события, заключающегося в том, что случайная величина х_i в i-м опыте принимает значение, меньшее х:

(6.1)

График интегральной функции распределения показан на рис. 6.1. Она имеет следующие свойства:

• неотрицательная, т.е. F(x)  О;

• неубывающая, т.е. F(x₂)  F(x₁), если х₂  х,;

• диапазон ее изменения простирается от 0 до 1, т.е. F(- ) = 0; F(+ ) = 0;

• вероятность нахождения случайной величины х в диапазоне от х₁ до х₂ Р{х, < х < х₂} = F(x₂) - F(x₁,).

Более наглядным является описание свойств результатов измерений и случайных погрешностей с помощью дифференциальной функции распределения, иначе называемой плотностью распреде ления вероятностей р(х) = dF(x)/dx. Она всегда неотрицательна и подчиняется условию нормирования в виде:

Учитывая взаимосвязь F(x) и р(х), легко показать, что вероятность попадания случайной величины в заданный интервал (х₁; х₂)

Следовательно, рассмотренное выше условие нормирования означает, что вероятность попадания величины х в интервал [- ; + ] равна единице, т.е. представляет собой достоверное событие.

Из последнего уравнения следует, что вероятность попадания случайной величины х в заданный интервал (х₁;х₂) равна площади, заключенной под кривой р(х) между абсциссами х₁ и х₂ (см. рис. 6.1). Поэтому по форме кривой плотности вероятности р(х) можно судить о том, какие значения случайной величины х наиболее вероятны, а какие наименее.

Рис. 6.1. Интегральная (а) и дифференциальная (б)

функции распределения случайной величины

Результирующая погрешность зачастую складывается из ряда составляющих с различными плотностями распределения р₁(х), р₂(х),..., р_n(х). В связи с этим возникает задача определения суммарного закона распределения погрешности. Для суммы независимых непрерывных случайных х₁ и х₂, имеющих распределения р₁(х) и р₂(х), он называется композицией и выражается интегралами свертки [48, 49]:

Графическое определение композиции двух случайных независимых величин показано на рис. 6.2. Следует отметить, что масштаб всех графиков по вертикали произвольный, и должно выполняться условие: площадь, ограниченная кривой плотности вероятности, равна единице.

Рис. 6.2. Суммирование законов распределений

6.2. Числовые параметры законов распределения

6.2.1. Общие сведения

Как отмечалось выше, функции распределения являются самым универсальным способом описания поведения результатов измерений и случайных погрешностей. Однако для их определения необходимо проведение весьма длительных и кропотливых исследований и вычислений. В большинстве случаев бывает достаточно охарактеризовать случайные величины с помощью ограниченного числа специальных параметров, основными из которых являются:

• центр распределения;

• в начальные и центральные моменты и производные от них коэффициенты — математическое ожидание (МО), СКО, эксцесс, контрэксцесс и коэффициент асимметрии;

• энтропийный коэффициент.