Социальо-экономическое прогнозирование_Хвощин

УˆВМЛ‚‡˛ЪТfl ТрВ‰ТЪ‚‡ПЛ П‡ЪВП‡ЪЛ˜ВТНУИ ТЪ‡ЪЛТЪЛНЛ. н‡Н‡fl ПУ‰ВО¸ ‚˚ТЪЫФ‡ВЪ ‚ Н‡˜ВТЪ‚В ТрВ‰ТЪ‚‡ ‡М‡ОЛБ‡ Л ФрУ„МУБЛрУ‚‡МЛfl НУМНрВЪ- М˚ı ˝НУМУПЛ˜ВТНЛı ФрУˆВТТУ‚ М‡ УТМУ‚В рВ‡О¸МУИ ТЪ‡ЪЛТЪЛ˜ВТНУИ ЛМЩУрП‡ˆЛЛ.

еУКМУ ‚˚‰ВОЛЪ¸ ‰‚‡ УТМУ‚М˚ı НО‡ТТ‡ ˝НУМУПВЪрЛ˜ВТНЛı ПУ-

‰ÂÎÂÈ:

1. кВ„рВТТЛУММ˚В ПУ‰ВОЛ Т У‰МЛП Ыр‡‚МВМЛВП. З Ъ‡НЛı ПУ‰ВОflı Б‡‚ЛТЛП‡fl (У·˙flТМflВП‡fl) ФВрВПВММ‡fl Y Ôр‰ÒÚ‡‚ÎflÂÚÒfl ‚

‚ˉ ÙÛÌ͈ËË f (x,β)= f (x1,..., xn ,β1,...,βm ), „‰Â x1, …, ın — МВБ‡‚ЛТЛ- П˚В (У·˙flТМfl˛˘ЛВ) ФВрВПВММ˚В, β1, …, βm — Ô‡р‡ÏÂÚр˚.

З Б‡‚ЛТЛПУТЪЛ УЪ ‚Л‰‡ ЩЫМНˆЛЛ f(x,β) ÏÓ‰ÂÎË ‰ÂÎflÚÒfl ̇ ОЛМВИ- М˚В Ë МВОЛМВИМ˚В. з‡ФрЛПВр, ПУКМУ ЛТТОВ‰У‚‡Ъ¸ ТрВ‰МВ‰Ы¯В‚УИ

ЫрУ‚ВМ¸ ФУЪрВ·ОВМЛfl М‡ТВОВМЛfl Н‡Н ЩЫМНˆЛ˛ УЪ ЫрУ‚Мfl ‰УıУ‰У‚ М‡ТВОВМЛfl Л ˜ЛТОВММУТЪЛ М‡ТВОВМЛfl, ЛОЛ Б‡‚ЛТЛПУТЪ¸ Б‡р‡·УЪМУИ ФО‡Ъ˚ УЪ ‚УБр‡ТЪ‡, ФУО‡, ЫрУ‚Мfl У·р‡БУ‚‡МЛfl, ТЪ‡К‡ р‡·УЪ˚ Л Ъ. Ф. иУ П‡ЪВП‡ЪЛ˜ВТНУИ ЩУрПВ УМЛ ПУ„ЫЪ ·˚Ъ¸ ТıУКЛ Т ПУ‰ВОflПЛ ‚рВПВММ˚ı рfl‰У‚, ‚ НУЪУр˚ı ‚ Н‡˜ВТЪ‚В МВБ‡‚ЛТЛПУИ ФВрВПВММУИ ‚˚- ТЪЫФ‡ВЪ БМ‡˜ВМЛВ ПУПВМЪ‡ ‚рВПВМЛ.

й·О‡ТЪ¸ ФрЛПВМВМЛfl Ъ‡НЛı ПУ‰ВОВИ, ‰‡КВ ОЛМВИМ˚ı, БМ‡˜Л- ЪВО¸МУ ¯ЛрВ, ˜ВП ПУ‰ВОВИ ‚рВПВММ˚ı рfl‰У‚. ирУ·ОВП‡П ЪВУрЛЛ УˆВМЛ‚‡МЛfl, ‚ВрЛЩЛН‡ˆЛЛ (ФрУ‚ВрНЛ М‡ Фр‡НЪЛНВ), УЪ·Ур‡ БМ‡˜ЛП˚ı Ф‡р‡ПВЪрУ‚ Л ‰рЫ„ЛП ФУТ‚fl˘ВМ У„рУПМ˚И У·˙ВП ОЛЪВр‡ЪЫр˚. щЪ‡

ЪВП‡ — ТЪВрКМВ‚‡fl ‚ ˝НУМУПВЪрЛНВ.

2. лЛТЪВП˚ У‰МУ‚рВПВММ˚ı Ыр‡‚МВМЛИ. щЪЛ ПУ‰ВОЛ УФЛТ˚- ‚‡˛ЪТfl ТЛТЪВП‡ПЛ Ыр‡‚МВМЛИ. лЛТЪВП˚ ПУ„ЫЪ ТУТЪУflЪ¸ ЛБ ЪУК‰ВТЪ‚ Л рВ„рВТТЛУММ˚ı Ыр‡‚МВМЛИ, Н‡К‰УВ ЛБ НУЪУр˚ı (НрУПВ МВБ‡‚ЛТЛ- П˚ı ФВрВПВММ˚ı) ПУКВЪ ‚НО˛˜‡Ъ¸ ‚ ТВ·fl Ъ‡НКВ Б‡‚ЛТЛП˚В ФВрВПВММ˚В ЛБ ‰рЫ„Лı Ыр‡‚МВМЛИ ТЛТЪВП˚. З рВБЫО¸Ъ‡ЪВ ЛПВВЪТfl М‡·Ур Б‡‚ЛТЛП˚ı ФВрВПВММ˚ı, Т‚flБ‡ММ˚ı ˜ВрВБ Ыр‡‚МВМЛfl ТЛТЪВП˚, рВ- ¯‡ВП˚В У‰МУ‚рВПВММУ. ирЛПВрУП ПУКВЪ ТОЫКЛЪ¸ ПУ‰ВО¸ мУрЪУМ‡, ЛПВ˛˘‡fl У˜ВМ¸ ·УО¸¯Ы˛ р‡БПВрМУТЪ¸ (ЫУрЪУМУ‚ТН‡fl Н‚‡рЪ‡О¸М‡fl ПУ‰ВО¸ ‡ПВрЛН‡МТНУИ ˝НУМУПЛНЛ ТУ‰ВрКЛЪ ·УОВВ 1 Ъ˚Т. Ыр‡‚МВМЛИ).

гЛМВИМ‡fl рВ„рВТТЛfl. еВЪУ‰ М‡ЛПВМ¸¯Лı Н‚‡‰р‡ЪУ‚ (езд)

л ФУПУ˘¸˛ ПВЪУ‰У‚ рВ„рВТТЛУММУ„У ‡М‡ОЛБ‡, УТМУ‚М˚ı ‰Оfl ˝НУМУПВЪрЛ˜ВТНУ„У ПУ‰ВОЛрУ‚‡МЛfl, ТЪрУflЪТfl Л ФрУ‚Врfl˛ЪТfl ПУ‰ВОЛ, ı‡р‡НЪВрЛБЫ˛˘ЛВ Т‚flБ¸ ПВК‰Ы У‰МУИ ˝М‰У„ВММУИ (Б‡‚ЛТЛПУИ) ФВ-

131

рВПВММУИ Л У‰МУИ ЛОЛ ·УОВВ ˝НБУ„ВММ˚ПЛ (МВБ‡‚ЛТЛП˚ПЛ) ФВрВПВММ˚ПЛ. зВБ‡‚ЛТЛП˚В ФВрВПВММ˚В М‡Б˚‚‡˛ЪТfl рВ„рВТТУрУП.

з‡Фр‡‚ОВММУТЪ¸ Т‚flБЛ ПВК‰Ы ФВрВПВММ˚ПЛ УФрВ‰ВОflВЪТfl ФЫЪВП ФрВ‰‚‡рЛЪВО¸МУ„У У·УТМУ‚‡МЛfl Л ‚НО˛˜‡ВЪТfl ‚ ПУ‰ВО¸ ‚ Н‡˜В- ТЪ‚В ЛТıУ‰МУИ „ЛФУЪВБ˚. ᇉ‡˜‡ рВ„рВТТЛУММУ„У ‡М‡ОЛБ‡ — ФрУ‚Вр- Н‡ ТЪ‡ЪЛТЪЛ˜ВТНУИ ТУТЪУflЪВО¸МУТЪЛ ПУ‰ВОЛ, ВТОЛ ‰‡ММ‡fl „ЛФУЪВБ‡ ‚ВрМ‡. кВ„рВТТЛУММ˚И ‡М‡ОЛБ МВ ‚ ТУТЪУflМЛЛ «‰УН‡Б‡Ъ¸» „ЛФУЪВБЫ, УМ ПУКВЪ ОЛ¯¸ ФУ‰Ъ‚Вр‰ЛЪ¸ ВВ ТЪ‡ЪЛТЪЛ˜ВТНЛ ЛОЛ УЪ‚Вр„МЫЪ¸.

к‡ТТПУЪрЛП ПВЪУ‰УОУ„Л˛ ФУТЪрУВМЛfl рВ„рВТТЛУММ˚ı ˝НУМУПВЪрЛ˜ВТНЛı ПУ‰ВОВИ М‡ ФрЛПВрВ ПУ‰ВОВИ ЛБ У‰МУ„У Ыр‡‚МВМЛfl. еУ‰ВОЛ ‚ ‚Л‰В ТЛТЪВП˚ Ыр‡‚МВМЛИ, У·О‡‰‡fl Т‚УЛПЛ УТУ·ВММУТЪflПЛ (‚ ˜‡ТЪМУТЪЛ, ФрЛ УФрВ‰ВОВМЛЛ Ф‡р‡ПВЪрУ‚-НУ˝ЩЩЛˆЛВМЪУ‚ ÏÓ‰ÂÎË), Ú‡ÍÊ ·‡ÁËрÛ˛ÚÒfl ̇ ÌÂÈ28.

З У·˘ВП ‚Л‰В рВ„рВТТЛУММУВ Ыр‡‚МВМЛВ ‚˚„Оfl‰ЛЪ Ъ‡Н:

Y = ŷi(x) + ε,

„‰Â ŷi(x) — ЩЫМНˆЛfl, НУЪУр‡fl УФЛТ˚‚‡ВЪ ‰ВЪВрПЛМЛрУ‚‡ММЫ˛ ТУТЪ‡‚Оfl˛˘Ы˛ ПУ‰ВОЛ (Т‡ПУ Ыр‡‚МВМЛВ рВ„рВТТЛЛ); ε ФрВ‰ТЪ‡‚ОflВЪ ТУ·УИ «ТОЫ˜‡ИМЫ˛» НУПФУМВМЪЫ.

й·˚˜МУ М‡Л·УОВВ ˜‡ТЪУ ‰Оfl УЪУ·р‡КВМЛfl Б‡‚ЛТЛПУТЪЛ ЛТФУО¸- БЫ˛ЪТfl ОЛМВИМ˚В рВ„рВТТЛУММ˚В Ыр‡‚МВМЛfl, УЪУ·р‡К‡˛˘ЛВ Б‡‚Л- ТЛПУТЪ¸ ‚ ‚Л‰В ФрflПУИ ‚ ПМУ„УПВрМУП ФрУТЪр‡МТЪ‚В. З ТОЫ˜‡В Т Ф‡рМУИ ОЛМВИМУИ рВ„рВТТЛВИ ˝ЪУ БМ‡НУПУВ ‚ТВП ТУ ¯НУО˚ Ыр‡‚МВ-

ÌË ÔрflÏÓÈ:

Y = α+βx +ε.

á‰ÂÒ¸ α — ФУТЪУflММ‡fl ТУТЪ‡‚Оfl˛˘‡fl, Ъ. В. ‰‡КВ ВТОЛ ı = 0, ÚÓ Y ‚ТВ р‡‚МУ ·Ы‰ВЪ ЛПВЪ¸ Н‡НУВ-ОЛ·У ФУОУКЛЪВО¸МУВ ЛОЛ УЪрЛˆ‡ЪВО¸МУВ БМ‡˜ВМЛВ; β У·˚˜МУ М‡Б˚‚‡˛Ъ НУ˝ЩЩЛˆЛВМЪУП рВ„рВТТЛЛ, УМ УЪр‡К‡- ВЪ М‡НОУМ ОЛМЛЛ „р‡ЩЛН‡, ‚‰УО¸ НУЪУрУИ р‡ТТВflМ˚ БМ‡˜ВМЛfl Y, ‚˚- fl‚ОВММ˚В ‚ рВБЫО¸Ъ‡ЪВ М‡·О˛‰ВМЛfl Б‡ ФУ‚В‰ВМЛВП Y, ‡ Ì ‚ рÂÁÛθ- Ú‡Ú р‡Ò˜ÂÚÓ‚ ‚ ÒÓÓÚ‚ÂÚÒÚ‚ËË Ò ÏÓ‰Âθ˛; ε — У¯Л·Н‡ ЛОЛ БМ‡˜ВМЛВ ФУПВıЛ, Ъ‡НКВ М‡Б˚‚‡ВП‡fl УТЪ‡ЪНУП. лЫ˘ВТЪ‚У‚‡МЛВ УТЪ‡ЪН‡ ПУКВЪ ·˚Ъ¸ У·˙flТМЛПУ ОЛ·У ЪВП, ˜ЪУ НрУПВ р‡ТТП‡ЪрЛ‚‡ВПУ„У Щ‡НЪУр‡ ı М‡ БМ‡˜ВМЛВ Б‡‚ЛТЛПУИ ФВрВПВММУИ ПУ„ЫЪ ‚ОЛflЪ¸ Л ‰рЫ„ЛВ Щ‡НЪУр˚, МВ-

28 й ПУ‰ВОflı ‚ ‚Л‰В ТЛТЪВП˚ Ыр‡‚МВМЛИ ТП., М‡ФрЛПВр: щНУМУПВЪрЛН‡: м˜В·. / иУ‰ рВ‰. а. а. ЦОЛТВВ‚УИ. е.: оЛМ‡МТ˚ Л ТЪ‡ЪЛТЪЛН‡, 2001. л. 177–224.

132

Û˜ÚÂÌÌ˚ ‚ ÏÓ‰ÂÎË, ÎË·Ó ÚрÛ‰ÌÓÒÚflÏË ËÁÏÂрÂÌËfl ı. е‡ЪВП‡ЪЛ˜ВТНУВ УКЛ‰‡МЛВ (ТрВ‰МВВ БМ‡˜ВМЛВ) У¯Л·НЛ ε р‡‚ÌÓ ÌÛβ.

З Н‡˜ВТЪ‚В Щ‡НЪУрМУИ ФВрВПВММУИ ПУКВЪ Ы˜ЛЪ˚‚‡Ъ¸Тfl ФУН‡Б‡- ЪВО¸ ‚рВПВМЛ t. нУ„‰‡ П˚ ЛПВВП ‰ВОУ Т Ыр‡‚МВМЛВП ЪрВМ‰‡. З ТОЫ-

˜‡В Т ОЛМВИМ˚П ЪрВМ‰УП БМ‡˜ВМЛfl t = 1, 2, 3, … n.

åÂÚÓ‰ ̇ËÏÂ̸¯Ëı Í‚‡‰ð‡ÚÓ‚ (åçä, ‡Ì„Î. Ordinary Least Squares, OLS) fl‚ÎflÂÚÒfl Ó‰ÌËÏ ËÁ ÓÒÌÓ‚Ì˚ı ÏÂÚÓ‰Ó‚ ÓÔрÂ-

‰ВОВМЛfl Ф‡р‡ПВЪрУ‚ рВ„рВТТЛУММ˚ı Ыр‡‚МВМЛИ. йМ Б‡НО˛˜‡ВЪТfl ‚ ЪУП, ˜ЪУ·˚ УФрВ‰ВОЛЪ¸ ‚Л‰ НрЛ‚УИ, ı‡р‡НЪВр НУЪУрУИ ‚ М‡Л·УО¸¯ВИ ТЪВФВМЛ ТУУЪ‚ВЪТЪ‚ЫВЪ ‚˚р‡КВММУИ ˝ПФЛрЛ˜ВТНЛПЛ ‰‡ММ˚ПЛ Б‡‚Л- ТЛПУТЪЛ. н‡Н‡fl НрЛ‚‡fl ‰УОКМ‡ У·ВТФВ˜ЛЪ¸ М‡ЛПВМ¸¯ВВ БМ‡˜ВМЛВ ТЫПП˚ Н‚‡‰р‡ЪУ‚ УЪНОУМВМЛИ ˝ПФЛрЛ˜ВТНЛı БМ‡˜ВМЛИ ‚ВОЛ˜ЛМ ФУ- Н‡Б‡ЪВОfl УЪ БМ‡˜ВМЛИ, ‚˚˜ЛТОВММ˚ı ТУ„О‡ТМУ Ыр‡‚МВМЛ˛ ˝ЪУИ НрЛ- ‚УИ. еВМflfl ‚Л‰ ЪВУрВЪЛ˜ВТНЛı НрЛ‚˚ı, ФрЛ·ОЛКВММУ УЪУ·р‡К‡˛- ˘Лı ‰ЛМ‡ПЛНЫ р‡ТТП‡ЪрЛ‚‡ВПУ„У ФУН‡Б‡ЪВОfl, Ф˚Ъ‡˛ЪТfl ‰У·ЛЪ¸Тfl Н‡Н ПУКМУ ПВМ¸¯В„У БМ‡˜ВМЛfl ˝ЪУИ р‡БМУТЪЛ.

иЫТЪ¸ ЪВУрВЪЛ˜ВТН‡fl Б‡‚ЛТЛПУТЪ¸ ОЛМВИМ‡ (Ф‡рМ‡fl рВ„рВТТЛfl, ФрflП‡fl ‚ ‰‚ЫıПВрМУП ФрУТЪр‡МТЪ‚В) Л ‚˚р‡КВМ‡ рВ„рВТТЛУММ˚П Ыр‡‚МВМЛВП:

Yi = a +bx.

äÓ˝ÙÙˈËÂÌÚ b ПУКМУ УФрВ‰ВОЛЪ¸ ФУ ЩУрПЫОВ:

n

∑[(Y −Yñð)×(x − xñð)]

éÔр‰ÂÎËÏ a, ФУ‰ТЪ‡‚Л‚ ‚ Ыр‡‚МВМЛВ ФрflПУИ, Ф‡р‡ПВЪр˚ НУЪУрУ„У М‡ıУ‰ЛП, БМ‡˜ВМЛВ ЫКВ ЛБ‚ВТЪМУ„У Ф‡р‡ПВЪр‡ b Ë Òр‰ÌË Á̇-

˜ÂÌËfl xÒр Ë YÒр:

a =Yñð−b ×xñð.

СУФЫТЪЛП, Т‚flБ¸ ПВК‰Ы ‰‚ЫПfl ФУН‡Б‡ЪВОflПЛ Ф‡рМУИ рВ„рВТТЛЛ ‚˚р‡КВМ‡ ЩЫМНˆЛВИ:

Y (x)= a0 + a1x1 + a2 x2 +... + ak xk ,

Ъ. В. ‚ ‚Л‰В ПМУ„У˜ОВМ‡ ТЪВФВМЛ k.

133

íÓ„‰‡ ‚ÂÍÚÓр-ÒÚÓηˆ a = (a0 , a1, a2 ,..., ak )T 29 НУ˝ЩЩЛˆЛВМЪУ‚ ПМУ- „У˜ОВМ‡ Y(ı) fl‚ОflВЪТfl В‰ЛМТЪ‚ВММ˚П рВ¯ВМЛВП П‡ЪрЛ˜МУ„У Ыр‡‚- МВМЛfl:

X T X ×a = X T Y ,

„‰Â Y = (Y1,Y2 ,...,Yn )T — ‚ВНЪУр-ТЪУО·Вˆ ФУТОВ‰У‚‡ЪВО¸М˚ı БМ‡˜ВМЛИ ‚ВОЛ˜ЛМ˚ Y. éÚÒ˛‰‡ a (‚ВНЪУр УˆВМУН Ф‡р‡ПВЪрУ‚) ПУКВЪ ·˚Ъ¸ М‡И‰ВМ ФУ ЩУрПЫОВ:

å‡Úрˈ‡ ï ЛПВВЪ ‚Л‰:

гЛМВИМ‡fl ПМУ„УПВрМ‡fl рВ„рВТТЛУММ‡fl ПУ‰ВО¸ (ПУ‰ВО¸ ПМУКВТЪ‚ВММУИ ОЛМВИМУИ рВ„рВТТЛЛ) fl‚ОflВЪТfl У·У·˘ВМЛВП ПУ‰ВОЛ Ф‡р- МУИ ОЛМВИМУИ рВ„рВТТЛЛ. йМ‡ ЛПВВЪ ‚Л‰:

Y (x)= α0 + α1x1t + α2 x2t + α2 x3t +... + αm xmt + ε , t =1, 2,..., n ,

„‰Â хmt — Á̇˜ÂÌË هÍÚÓр‡-р„рÂÒÒÓр‡ хm ‚ ПУПВМЪ М‡·О˛‰ВМЛfl t, ÔрË α0 ‚ВНЪУр МВБ‡‚ЛТЛП˚ı ФВрВПВММ˚ı х0 = (1, 1, …, 1). Ç ˝ÚÓÏ ÒÎÛ-

˜‡Â α0 — Ъ‡Н М‡Б˚‚‡ВП˚И Т‚У·У‰М˚И ˜ОВМ. н‡Н‡fl ПУ‰ВО¸ Т Ы˜ВЪУП ‰УФЫ˘ВМЛИ, ФВрВ˜ЛТОВММ˚ı ‚˚¯В, М‡Б˚‚‡ВЪТfl МУрП‡О¸МУИ ОЛМВИМУИ рВ„рВТТЛУММУИ ПУ‰ВО¸˛.

ì‰Ó·ÌÓ ·Û‰ÂÚ Ôр‰ÒÚ‡‚ËÚ¸ ÙÓрÏÛÎÛ ‚ χÚр˘ÌÓÏ ‚ˉÂ. é·ÓÁ̇- ˜ËÏ ˜ÂрÂÁ Y ‚ВНЪУр-ТЪУО·Вˆ БМ‡˜ВМЛИ Б‡‚ЛТЛПУИ ФВрВПВММУИ (Y1, Y2, …, Yn); α — ‚ВНЪУр-ТЪУО·Вˆ НУ˝ЩЩЛˆЛВМЪУ‚ (α0, α1, α2, …, αm); ε — ‚ВНЪУр-ТЪУО·Вˆ ТЪУı‡ТЪЛ˜ВТНЛı НУПФУМВМЪ (У¯Л·УН) (ε0, ε1, ε2, …, εn); ï — П‡ЪрЛˆ‡ МВБ‡‚ЛТЛП˚ı ФВрВПВММ˚ı р‡БПВрМУТЪЛ nxm:

29 ЗВрıМЛИ ЛМ‰ВНТ «н» УБМ‡˜‡ВЪ «Ър‡МТФУМЛрУ‚‡ММ˚И».

134

иУОЫ˜ЛП П‡ЪрЛ˜МЫ˛ Б‡ФЛТ¸ ТЛТЪВП˚, ТУТЪУfl˘ВИ ЛБ Ыр‡‚МВМЛИ

‚ˉ‡:

Y = αX + ε.

йЪТ˛‰‡, Ы˜ЛЪ˚‚‡fl У·р‡ЪЛПУТЪ¸ П‡ЪрЛˆ˚ XTX, М‡ıУ‰ЛП ‚ВНЪУр УˆВМУН НУ˝ЩЩЛˆЛВМЪУ‚ ТЛТЪВП˚, ФрЛ˜ВП ˝ЪУ ·Ы‰ВЪ Т‰ВО‡МУ ‚ ТУУЪ- ‚ВЪТЪ‚ЛЛ Т ЩУрПЫОУИ, ‚ ЪУ˜МУТЪЛ ФУ‚ЪУрfl˛˘ВИ ЫКВ БМ‡НУПЫ˛ М‡П ЩУрПЫОЫ:

СОfl У·УТМУ‚‡ММУ„У ФрЛПВМВМЛfl ПВЪУ‰‡ М‡ЛПВМ¸¯Лı Н‚‡‰р‡ЪУ‚ ‰‡ММ˚В ‰УОКМ˚ ТУУЪ‚ВЪТЪ‚У‚‡Ъ¸ рfl‰Ы ‰УФЫ˘ВМЛИ:

1.е‡ЪВП‡ЪЛ˜ВТН‡fl ЩУрП‡ Б‡‚ЛТЛПУТЪЛ ˝М‰У„ВММ˚ı ФВрВПВМ- М˚ı УЪ ˝НБУ„ВММ˚ı ФВрВПВММ˚ı ПУ‰ВОЛ МУТЛЪ ОЛМВИМ˚И ı‡р‡НЪВр (‰рЫ„ЛВ ЪЛФ˚ Ыр‡‚МВМЛИ, УЪр‡К‡˛˘Лı Б‡‚ЛТЛПУТЪ¸ БМ‡˜ВМЛfl У‰МУИ ФВрВПВММУИ УЪ ‰рЫ„Лı, ‰УОКМ˚ ·˚Ъ¸ ФрЛ‚В‰ВМ˚ Н ОЛМВИМУПЫ ‚Л‰Ы, ФрВК‰В ˜ВП ‚УБПУКМУ ·Ы‰ВЪ ЛТФУО¸БУ‚‡Ъ¸ ПВЪУ‰ М‡ЛПВМ¸¯Лı Н‚‡‰- р‡ЪУ‚), Л МВБ‡‚ЛТЛП˚В ФВрВПВММ˚В ПУ‰ВОЛ fl‚Оfl˛ЪТfl В‰ЛМТЪ‚ВММ˚- ПЛ БМ‡˜ЛП˚ПЛ Щ‡НЪУр‡ПЛ, УФрВ‰ВОfl˛˘ЛПЛ ФУ‚В‰ВМЛВ Б‡‚ЛТЛПУИ ФВрВПВММУИ.

2.á̇˜ÂÌË ӯ˷ÍË ε МУрП‡О¸МУ р‡ТФрВ‰ВОВМУ ТУ ТрВ‰МВИ, р‡‚МУИ 0, Л ФУТЪУflММУИ ‰ЛТФВрТЛВИ σε2 , ε~ N (0, σε2 ). нУ ВТЪ¸, ıУЪfl БМ‡˜ВМЛВ ФВрВПВММУИ Y БМ‡˜ЛПУ УФрВ‰ВОflВЪТfl ЪУО¸НУ Ы˜ЪВММ˚ПЛ ‚ ПУ‰ВОЛ Щ‡НЪУрМ˚ПЛ ФрЛБМ‡Н‡ПЛ, ТЫ˘ВТЪ‚ЫВЪ Ъ‡НКВ рfl‰ ‚ЪУрУТЪВФВММ˚ı Щ‡НЪУрУ‚, МВНУЪУр˚В ЛБ НУЪУр˚ı ·Ы‰ЫЪ ФУОУКЛЪВО¸МУ ‚ОЛflЪ¸ М‡ ‚ВОЛ˜ЛМЫ Y, МВНУЪУр˚В — УЪрЛˆ‡ЪВО¸МУ. З ТОЫ˜‡В ПМУКВТЪ- ‚‡ Н‡Н ФУОУКЛЪВО¸М˚ı, Ъ‡Н Л УЪрЛˆ‡ЪВО¸М˚ı ‚ОЛflМЛИ БМ‡˜ВМЛВ У¯Л·НЛ ε ·Ы‰ВЪ МУрП‡О¸МУ р‡ТФрВ‰ВОВМУ. зУрП‡О¸МУВ р‡ТФрВ‰ВОВМЛВ ФУОМУТЪ¸˛ УФрВ‰ВОflВЪТfl ‰‚ЫПfl Ф‡р‡ПВЪр‡ПЛ: ТрВ‰МВИ Л ТрВ‰- МЛП Н‚‡‰р‡ЪЛ˜ВТНЛП УЪНОУМВМЛВП (‰ЛТФВрТЛВИ σ2). уВП ·УО¸¯В ТОЫ˜‡ИМ˚ı ‚ВОЛ˜ЛМ ‰ВИТЪ‚ЫВЪ ‚ПВТЪВ, ЪВП ЪУ˜МВВ ФрУfl‚ОflВЪТfl Б‡- НУМ МУрП‡О¸МУ„У р‡ТФрВ‰ВОВМЛfl. СУФЫ˘ВМЛВ У ФУТЪУflММУИ ‰ЛТФВрТЛЛ „У‚УрЛЪ У ФУТЪУflММУТЪЛ р‡Б·рУТ‡ БМ‡˜ВМЛИ ε, ‚МВ Б‡‚ЛТЛПУТЪЛ УЪ ‚ВОЛ˜ЛМ˚ БМ‡˜ВМЛfl Щ‡НЪУрУ‚. нУ„‰‡ БМ‡˜ВМЛВ У¯Л·НЛ У·О‡‰‡ВЪ Т‚УИТЪ‚УП „УПУТНВ‰‡ТЪЛ˜МУТЪЛ. ÖÒÎË р‡Á·рÓÒ Á̇˜ÂÌËÈ Ó¯Ë·ÍË ε МВФУТЪУflМВМ, ЪУ ЛПВВЪ ПВТЪУ fl‚ОВМЛВ „ВЪВрУТНВ‰‡ТЪЛ˜МУТЪЛ.

3.иУТОВ‰Ы˛˘ЛВ БМ‡˜ВМЛfl У¯Л·УН МВБ‡‚ЛТЛП˚ ‰рЫ„ УЪ ‰рЫ„‡,

Ú.Â. ÍÓ‚‡рˇˆËfl ‚ Ô‡р‡ı Á̇˜ÂÌËÈ ε р‡‚̇ ÌÛβ (covεiεj = 0). ùÚÓ

135

УБМ‡˜‡ВЪ, ˜ЪУ ‚ЪУрУТЪВФВММ˚В Щ‡НЪУр˚ ЛОЛ Щ‡НЪУр˚-ФрЛ˜ЛМ˚ У¯Л·НЛ ‰Оfl У‰МУИ ЛБ ‚ВОЛ˜ЛМ Y, Ì ÔрË‚Ó‰flÚ ‡‚ÚÓχÚ˘ÂÒÍË Í Ó¯Ë·Í‡Ï ‰Îfl ‚ÒÂı ̇·Î˛‰ÂÌËÈ Y. äÓ„‰‡ Á̇˜ÂÌËfl ε ÌÂÁ‡‚ËÒËÏ˚, ÚÓ ‰‡ÌÌ˚ Ì‡‚ÚÓÍÓррÂÎËрÓ‚‡Ì˚. ÖÒÎË Ê Á̇˜ÂÌËfl ε МВ fl‚Оfl˛ЪТfl МВ- Б‡‚ЛТЛП˚ПЛ, ЪУ ‰‡ММ˚В ‰ВПУМТЪрЛрЫ˛Ъ М‡ОЛ˜ЛВ ‡‚ЪУНУррВОflˆЛЛ.

4. зВБ‡‚ЛТЛП˚В ФВрВПВММ˚В fl‚Оfl˛ЪТfl МВТЪУı‡ТЪЛ˜ВТНЛПЛ, Ъ. В. Лı БМ‡˜ВМЛfl ‰Оfl ПУ‰ВОЛ ‰ВЪВрПЛМЛрУ‚‡М˚, Б‡‰‡М˚ ЛБМ‡˜‡О¸МУ.

ирУˆВТТ ФУТЪрУВМЛfl Л ЛТФУО¸БУ‚‡МЛfl ˝НУМУПВЪрЛ˜ВТНЛı ПУ‰В- ОВИ fl‚ОflВЪТfl ‰УТЪ‡ЪУ˜МУ ТОУКМ˚П Л ФУ‰р‡БЫПВ‚‡ВЪ ТОВ‰Ы˛˘ВВ:

1)ФУТОВ УФрВ‰ВОВМЛfl ˆВОЛ ЛТТОВ‰У‚‡МЛfl МВУ·ıУ‰ЛПУ ФУТЪрУЛЪ¸ ТЛТЪВПЫ ФУН‡Б‡ЪВОВИ Л ОУ„Л˜ВТНЛ р‡ТТУрЪЛрУ‚‡Ъ¸ Щ‡НЪУр˚, ‚ М‡Л- ·УО¸¯ВИ ТЪВФВМЛ ‚ОЛfl˛˘ЛВ М‡ Н‡К‰˚И ФУН‡Б‡ЪВО¸;

2)УТЫ˘ВТЪ‚ОflВЪТfl ‚˚·Ур ЩУрП˚ Т‚flБЛ ЛБЫ˜‡ВП˚ı ФУН‡Б‡ЪВОВИ ПВК‰Ы ТУ·УИ Л УЪУ·р‡ММ˚ПЛ Щ‡НЪУр‡ПЛ, ‰рЫ„ЛПЛ ТОУ‚‡ПЛ, ‚˚·Ур ЪЛ- Ф‡ ˝НУМУПВЪрЛ˜ВТНУИ ПУ‰ВОЛ (ОЛМВИМ‡fl, МВОЛМВИМ‡fl, ТЪВФВММ‡fl Л Ъ. ‰.);

3)р¯‡ÂÚÒfl ÔрÓ·ÎÂχ Ò·Óр‡ ËÒıÓ‰Ì˚ı ‰‡ÌÌ˚ı Ë ‡Ì‡ÎËÁ‡ ËÌÙÓрχˆËË;

4)ТЪрУЛЪТfl ˝НУМУПВЪрЛ˜ВТН‡fl ПУ‰ВО¸, Ъ. В. УФрВ‰ВОfl˛ЪТfl ВВ Ф‡- р‡ПВЪр˚;

5)ФрУ‚ВрflВЪТfl Н‡˜ВТЪ‚У ФУТЪрУВММУИ ПУ‰ВОЛ, ‚ ФВр‚Ы˛ У˜ВрВ‰¸

‡‰ВН‚‡ЪМУТЪ¸ ЛБЫ˜‡ВПУПЫ fl‚ОВМЛ˛, ФУТОВ ˜В„У ПУ‰ВО¸ ПУКВЪ ·˚Ъ¸ ЛТФУО¸БУ‚‡М‡ ‰Оfl ˝НУМУПЛ˜ВТНУ„У ‡М‡ОЛБ‡ Л ФрУ„МУБЛрУ‚‡МЛfl.

йЪ·Ур ФВрВПВММ˚ı ˝НУМУПВЪрЛ˜ВТНУИ ПУ‰ВОЛ

йТУ·УВ ‚МЛП‡МЛВ ТОВ‰ЫВЪ У·р‡ЪЛЪ¸ М‡ ФУТЪрУВМЛВ ТЛТЪВП˚ ФУ- Н‡Б‡ЪВОВИ Л УФрВ‰ВОВМЛВ ТУ‚УНЫФМУТЪЛ Щ‡НЪУрУ‚, ‚ОЛfl˛˘Лı М‡ Н‡- К‰˚И ЛБ ФУН‡Б‡ЪВОВИ. д ‚НО˛˜‡ВП˚П ‚ ˝НУМУПВЪрЛ˜ВТНЫ˛ ПУ‰ВО¸ Щ‡НЪУр‡П ФрВ‰˙fl‚Оfl˛ЪТfl ЪрВ·У‚‡МЛfl:

—‚Íβ˜ÂÌËÂ Í‡Ê‰Ó„Ó Ù‡ÍÚÓр‡ ‚ ÏÓ‰Âθ ÒΉÛÂÚ Ó·ÓÒÌÓ‚‡Ú¸ ÚÂÓрÂÚ˘ÂÒÍË;

—ˆВОВТУУ·р‡БМУ Ы˜ЛЪ˚‚‡Ъ¸ ЪУО¸НУ ЪВ Щ‡НЪУр˚, НУЪУр˚В УН‡Б˚- ‚‡˛Ъ ТЫ˘ВТЪ‚ВММУВ ‚ОЛflМЛВ М‡ ЛБЫ˜‡ВП˚В ФУН‡Б‡ЪВОЛ, ФрЛ ˝ЪУП рВНУПВМ‰ЫВЪТfl, ˜ЪУ·˚ НУОЛ˜ВТЪ‚У ‚НО˛˜‡ВП˚ı ‚ ПУ‰ВО¸ Щ‡НЪУрУ‚ МВ ФрВ‚˚¯‡ОУ У‰МУИ ЪрВЪЛ УЪ ˜ЛТО‡ М‡·О˛‰ВМЛИ ‚ ‚˚·УрНВ (‰ОЛМ˚ ‚рВПВММУ„У рfl‰‡)30;

30 щНУМУПЛНУ-П‡ЪВП‡ЪЛ˜ВТНЛВ ПВЪУ‰˚ Л ФрЛНО‡‰М˚В ПУ‰ВОЛ: м˜В·. ФУТУ·ЛВ ‰Оfl ‚ЫБУ‚ / иУ‰ рВ‰. З. З. оВ‰УТВВ‚‡. е.: ызана, 1999. л. 263.

136

— ПВК‰Ы Щ‡НЪУр‡ПЛ МВ ‰УОКМУ ТЫ˘ВТЪ‚У‚‡Ъ¸ ОЛМВИМУИ Б‡‚Л- ТЛПУТЪЛ, ФУТНУО¸НЫ ВВ М‡ОЛ˜ЛВ ·Ы‰ВЪ УБМ‡˜‡Ъ¸, ˜ЪУ УМЛ ı‡р‡НЪВрЛБЫ˛Ъ ‚ОЛflМЛВ У‰МУИ Л ЪУИ КВ ФУ ТЫЪЛ ФрЛ˜ЛМ˚ М‡ ФУН‡Б‡ЪВО¸. з‡- ФрЛПВр, р‡БПВр Б‡р‡·УЪМУИ ФО‡Ъ˚ р‡·УЪМЛНУ‚ Б‡‚ЛТЛЪ ‚ ЪУП ˜ЛТОВ Л УЪ рУТЪ‡ ФрУЛБ‚У‰ЛЪВО¸МУТЪЛ ЪрЫ‰‡ Л УЪ У·˙ВП‡ ‚˚ФЫТН‡ВПУИ ФрУ‰ЫНˆЛЛ. й‰М‡НУ ˝ЪЛ ‰‚‡ Щ‡НЪУр‡ ПУ„ЫЪ ·˚Ъ¸ ЪВТМУ ‚Б‡ЛПУТ‚flБ‡- М˚, НУррВОЛрУ‚‡ММ˚, ТОВ‰У‚‡ЪВО¸МУ, ‚ ПУ‰ВО¸ ˆВОВТУУ·р‡БМУ ‚НО˛-

˜ЛЪ¸ ОЛ¯¸ У‰ЛМ ЛБ МЛı. ЗНО˛˜ВМЛВ ‚ ПУ‰ВО¸ ОЛМВИМУ Б‡‚ЛТЛП˚ı Щ‡НЪУрУ‚ ФрЛ‚У‰ЛЪ Н ‚УБМЛНМУ‚ВМЛ˛ ПЫО¸ЪЛНУООЛМВ‡рМУТЪЛ,

ÍÓÚÓр‡fl ÓÚрˈ‡ÚÂθÌÓ Ò͇Á˚‚‡ÂÚÒfl ̇ ͇˜ÂÒÚ‚Â ÏÓ‰ÂÎË;

—‚ ПУ‰ВО¸ рВНУПВМ‰ЫВЪТfl ‚НО˛˜‡Ъ¸ ЪУО¸НУ ЪВ Щ‡НЪУр˚, НУЪУ- р˚В ПУ„ЫЪ ·˚Ъ¸ ЛБПВрВМ˚ НУОЛ˜ВТЪ‚ВММУ;

—‚ Ó‰ÌÛ ÏÓ‰Âθ Ì ÒΉÛÂÚ ‚Íβ˜‡Ú¸ Н‡НУИ-ОЛ·У Щ‡НЪУр У‰- МУ‚рВПВММУ Т У·р‡БЫ˛˘ЛПЛ В„У ˜‡ТЪМ˚ПЛ Щ‡НЪУр‡ПЛ. щЪУ ФрЛ‚В‰ВЪ

ÍМВ ТУУЪ‚ВЪТЪ‚Ы˛˘ВПЫ рВ‡О¸МУТЪЛ Ы‚ВОЛ˜ВМЛ˛ Лı ‚ОЛflМЛfl М‡ Б‡- ‚ЛТЛП˚В ФВрВПВММ˚В ПУ‰ВОЛ Л, Н‡Н ТОВ‰ТЪ‚ЛВ, Н ЛТН‡КВМЛ˛ УЪУ- ·р‡КВМЛfl рВ‡О¸МУИ ‰ВИТЪ‚ЛЪВО¸МУТЪЛ.

ирЛ УЪ·УрВ Щ‡НЪУрУ‚, ‚ОЛfl˛˘Лı М‡ Б‡‚ЛТЛП˚В ФВрВПВММ˚В ПУ‰ВОЛ, ЛТФУО¸БЫ˛ЪТfl ТЪ‡ЪЛТЪЛ˜ВТНЛВ ПВЪУ‰˚ УЪ·Ур‡. н‡Н, ТЫ˘ВТЪ- ‚ВММУ„У ТУНр‡˘ВМЛfl ˜ЛТО‡ Щ‡НЪУрУ‚ (‡ БМ‡˜ЛЪ — Т‰ВО‡Ъ¸ ПУ‰ВО¸

ПВМВВ „рУПУБ‰НУИ) ПУКМУ ‰УТЪЛ˜¸ Т ФУПУ˘¸˛ ФрЛПВМВМЛfl ФУ¯‡- „У‚˚ı ФрУˆВ‰Ыр УЪ·Ур‡ ФВрВПВММ˚ı. аı ПУКМУ ТУ˜ВЪ‡Ъ¸ Л Т

‰рЫ„ЛПЛ ФУ‰ıУ‰‡ПЛ Н рВ¯ВМЛ˛ ФрУ·ОВП˚, М‡ФрЛПВр Т ˝НТФВрЪМ˚ПЛ ПВЪУ‰‡ПЛ УˆВМНЛ БМ‡˜ЛПУТЪЛ Щ‡НЪУрУ‚. лрВ‰Л ФУ¯‡„У‚˚ı ФрУˆВ‰Ыр УЪ·Ур‡ Щ‡НЪУрУ‚ ˜‡ТЪУ ЛТФУО¸БЫ˛ЪТfl ФрУˆВ‰Ыр˚ ФУ¯‡„У‚У„У ‚НО˛-

˜ÂÌËfl Ë ËÒÍβ˜ÂÌËfl Ù‡ÍÚÓрÓ‚.

åÂÚÓ‰ ËÒÍβ˜ÂÌËfl ФрВ‰ФУО‡„‡ВЪ ФУТЪрУВМЛВ Ыр‡‚МВМЛfl, ‚НО˛˜‡˛˘В„У МВНУЪУрЫ˛ М‡˜‡О¸МЫ˛ ТУ‚УНЫФМУТЪ¸ ФВрВПВММ˚ı Т ФУТОВ‰Ы˛˘ЛП ФУТОВ‰У‚‡ЪВО¸М˚П ТУНр‡˘ВМЛВП Лı ˜ЛТО‡ ‰У ЪВı ФУр,

ФУН‡ МВ ·Ы‰ВЪ ‚˚ФУОМВМУ Б‡‰‡ММУВ ЛБМ‡˜‡О¸МУ ФрЛ ТУТЪ‡‚ОВМЛЛ Ыр‡‚МВМЛfl ЫТОУ‚ЛВ. ирЛПВМВМЛВ ÏÂÚÓ‰‡ ‚Íβ˜ÂÌËfl ÔÓ‰р‡ÁÛÏÂ-

‚‡ВЪ ФУТОВ‰У‚‡ЪВО¸МУВ ‚НО˛˜ВМЛВ ‚ ПУ‰ВО¸ ‚ТВ МУ‚˚ı ФВрВПВММ˚ı, ФУН‡ ПУ‰ВО¸ МВ ТЪ‡МВЪ ТУУЪ‚ВЪТЪ‚У‚‡Ъ¸ ЫТЪ‡МУ‚ОВММУПЫ НрЛЪВрЛ˛ Н‡˜ВТЪ‚‡ ПУ‰ВОЛ. иУТОВ‰У‚‡ЪВО¸МУТЪ¸ ‚НО˛˜ВМЛfl ФВрВПВММ˚ı ‚ ПУ- ‰ВО¸ УФрВ‰ВОflВЪТfl Т ФУПУ˘¸˛ ˜‡ТЪМ˚ı НУ˝ЩЩЛˆЛВМЪУ‚ НУррВОflˆЛЛ: ЪВ ФВрВПВММ˚В, ‰Оfl НУЪУр˚ı БМ‡˜ВМЛВ Ъ‡НУ„У НУ˝ЩЩЛˆЛВМЪ‡, ФУН‡- Б˚‚‡˛˘В„У Лı Т‚flБ¸ Т ЛТТОВ‰ЫВП˚П ФУН‡Б‡ЪВОВП, ·УО¸¯В, ˜ВП ‰Оfl ФрУ˜Лı, ‚НО˛˜‡˛ЪТfl ‚ рВ„рВТТЛУММУВ Ыр‡‚МВМЛВ ‚ ФВр‚Ы˛ У˜ВрВ‰¸.

137

й‰МЛП ЛБ НрЛЪВрЛВ‚ У‰МУ‚рВПВММУ„У ‚НО˛˜ВМЛfl ЛОЛ МВ‚НО˛˜В- МЛfl МВТНУО¸НЛı ФрЛБМ‡НУ‚-Щ‡НЪУрУ‚ ‚ ПУ‰ВО¸ fl‚ОflВЪТfl Лı ОЛМВИМ‡fl МВБ‡‚ЛТЛПУТЪ¸. ЦТОЛ ‰‡ММ‡fl ФрВ‰ФУТ˚ОН‡ МВ ‚˚ФУОМflВЪТfl, ЪУ ‚УБМЛ- Н‡ВЪ fl‚ОВМЛВ ПЫО¸ЪЛНУООЛМВ‡рМУТЪЛ, Ъ. В. М‡ОЛ˜ЛВ ТЛО¸МУИ НУррВОflˆЛЛ ПВК‰Ы МВНУЪУр˚ПЛ МВБ‡‚ЛТЛП˚ПЛ ФВрВПВММ˚ПЛ ПУ‰ВОЛ (Щ‡НЪУ- р‡ПЛ). З ТУ‰ВрК‡ЪВО¸МУП ‡ТФВНЪВ ПЫО¸ЪЛНУООЛМВ‡рМУТЪ¸ ФрЛ‚У‰ЛЪ Н ЛТН‡КВМЛ˛ ТП˚ТО‡ НУ˝ЩЩЛˆЛВМЪУ‚ рВ„рВТТЛЛ Л Б‡ЪрЫ‰МВММУТЪЛ ‚˚- fl‚ОВМЛfl М‡Л·УОВВ ‚ОЛflЪВО¸М˚ı Щ‡НЪУрУ‚.

йТМУ‚М˚В ФрЛ˜ЛМ˚ ПЫО¸ЪЛНУООЛМВ‡рМУТЪЛ: МВБ‡‚ЛТЛП˚В ФВрВПВММ˚В ОЛ·У ı‡р‡НЪВрЛБЫ˛Ъ У‰МУ Л ЪУ КВ Т‚УИТЪ‚У ЛБЫ˜‡ВПУ„У fl‚- ОВМЛfl, ОЛ·У Лı ‚ОЛflМЛfl fl‚Оfl˛ЪТfl ТУТЪ‡‚М˚ПЛ ˝ОВПВМЪ‡ПЛ ‚ОЛflМЛfl У‰МУ„У Л ЪУ„У КВ ФрЛБМ‡Н‡.

з‡Л·УОВВ р‡ТФрУТЪр‡МВММ˚П ПВЪУ‰УП ‚˚fl‚ОВМЛfl ПЫО¸ЪЛНУООЛМВ‡рМУТЪЛ fl‚ОflВЪТfl ПВЪУ‰ НУррВОflˆЛЛ. мТЪр‡Мfl˛Ъ ПЫО¸ЪЛНУООЛ-

МВ‡рМУТЪ¸ ˜‡˘В ‚ТВ„У ЛТНО˛˜ВМЛВП У‰МУ„У ЛБ Ъ‡НЛı Щ‡НЪУрУ‚.

йˆВМН‡ Н‡˜ВТЪ‚‡ Ф‡р‡ПВЪрУ‚ Л ‡М‡ОЛБ ˝НУМУПВЪрЛ˜ВТНУИ ПУ‰ВОЛ

йФЛТ˚‚‡‚¯ЛВТfl ‚˚¯В ПУ‰ВОЛ ОЛМВИМУИ рВ„рВТТЛЛ fl‚Оfl˛ЪТfl ‚ВрУflЪМУТЪМ˚ПЛ, ‡ УФрВ‰ВОflВП˚В М‡ УТМУ‚В ПВЪУ‰‡ М‡ЛПВМ¸¯Лı Н‚‡‰р‡ЪУ‚ Ф‡р‡ПВЪр˚ Ыр‡‚МВМЛИ рВ„рВТТЛЛ — ЪУО¸НУ ОЛ¯¸ УˆВМН‡- ПЛ a Ë b ЛТЪЛММ˚ı Ф‡р‡ПВЪрУ‚ Л Б‡‚ЛТЛПУТЪЛ ˝М‰У„ВММУИ ФВрВПВММУИ УЪ МВНУЪУр˚ı ˝НБУ„ВММ˚ı. н‡НЛП У·р‡БУП, МЫКМУ ФрУ‚В- рЛЪ¸, М‡ТНУО¸НУ ‰‡ММ˚В УˆВМНЛ ‚ВрМ˚ УЪМУТЛЪВО¸МУ ЛТЪЛММ˚ı НУ- ˝ЩЩЛˆЛВМЪУ‚. щЪУ УТЫ˘ВТЪ‚ОflВЪТfl ФЫЪВП ФрУ‚ВрНЛ:

—ТЪ‡ЪЛТЪЛ˜ВТНУИ БМ‡˜ЛПУТЪЛ НУ˝ЩЩЛˆЛВМЪУ‚ рВ„рВТТЛЛ;

—·ОЛБУТЪЛ р‡ТФУОУКВМЛfl Щ‡НЪЛ˜ВТНЛı ‰‡ММ˚ı Н р‡ТТ˜ЛЪ‡М- МУИ ОЛМЛЛ рВ„рВТТЛЛ.

йˆВМНЛ НУ˝ЩЩЛˆЛВМЪУ‚ рВ„рВТТЛЛ Ъ‡Н КВ, Н‡Н Л У¯Л·Н‡ (ТЪУı‡Т- ЪЛ˜ВТН‡fl НУПФУМВМЪ‡ Ыр‡‚МВМЛfl рВ„рВТТЛЛ), ФрВ‰ФУОУКЛЪВО¸МУ МУр- П‡О¸МУ р‡ТФрВ‰ВОВМ˚. лЪ‡ЪЛТЪЛ˜ВТН‡fl БМ‡˜ЛПУТЪ¸ НУ˝ЩЩЛˆЛВМЪУ‚ ЛБПВрflВЪТfl ТЪВФВМ¸˛ ‚‡рЛ‡ˆЛЛ ‚УНрЫ„ УˆВМУ˜МУ„У БМ‡˜ВМЛfl. СОfl ЛБПВрВМЛfl ‚ВОЛ˜ЛМ˚ ‚‡рЛ‡ˆЛЛ МУрП‡О¸МУ р‡ТФрВ‰ВОВММ˚ı У¯Л·УН, УТ- Ъ‡ЪНУ‚ ЛТФУО¸БЫВЪТfl ТрВ‰МВВ Н‚‡‰р‡ЪЛ˜ВТНУВ УЪНОУМВМЛВ ˝ЪЛı УТЪ‡Ъ-

НУ‚ — ТЪ‡М‰‡рЪМ˚В У¯Л·НЛ НУ˝ЩЩЛˆЛВМЪУ‚. СОfl УФрВ‰ВОВМЛfl ТЪВФВМЛ БМ‡˜ЛПУТЪЛ НУ˝ЩЩЛˆЛВМЪУ‚ ЛТФУО¸БЫВЪТfl t-НрЛЪВрЛИ. ÑÎfl ÚÓ„Ó

˜ЪУ·˚ ЛПВЪ¸ ‚УБПУКМУТЪ¸ Лı УФрВ‰ВОЛЪ¸, МЫКМУ ЫБМ‡Ъ¸ УˆВМНЛ Лı ‰ЛТФВрТЛИ Л, Ъ‡НЛП У·р‡БУП, ТрВ‰МЛı Н‚‡‰р‡ЪЛ˜ВТНЛı УЪНОУМВМЛИ.

138

иУТОВ ПУКМУ ФрУ‚ВрЛЪ¸ „ЛФУЪВБЫ УЪМУТЛЪВО¸МУ НУ˝ЩЩЛˆЛВМЪУ‚

ÎË·Ó ÓÔр‰ÂÎËÚ¸ ‰Îfl ÌËı ‰Ó‚ÂрËÚÂθÌ˚ ËÌÚÂр‚‡Î˚.

йˆВМНЛ Ф‡р‡ПВЪрУ‚ Ыр‡‚МВМЛfl Ф‡рМУИ ОЛМВИМУИ рВ„рВТТЛЛ. 燉ВКМУТЪ¸ ФУОЫ˜ВММ˚ı УˆВМУН НУ˝ЩЩЛˆЛВМЪУ‚ α Ë β, У˜В- ‚Л‰МУ, Б‡‚ЛТЛЪ УЪ ‰ЛТФВрТЛЛ ТЪУı‡ТЪЛ˜ВТНУИ НУПФУМВМЪ˚ Ыр‡‚МВМЛfl рВ„рВТТЛЛ ε. й‰М‡НУ ФУ ‰‡ММ˚П ‚˚·УрНЛ БМ‡˜ВМЛИ ФВрВПВММ˚ı ПУ- ‰ВОЛ ‰ЛТФВрТЛfl ε МВ ПУКВЪ ·˚Ъ¸ УˆВМВМ‡, ЪУ ФрЛ ‡М‡ОЛБВ М‡‰ВКМУТЪЛ УˆВМУН НУ˝ЩЩЛˆЛВМЪУ‚ рВ„рВТТЛЛ ЛТФУО¸БЫВЪТfl ‰ЛТФВрТЛfl УЪНОУМВМЛИ ˝ПФЛрЛ˜ВТНЛı БМ‡˜ВМЛИ ФВрВПВММУИ Y УЪ р‡ТТ˜ЛЪ‡ММ˚ı М‡ УТМУ‚В ФУОЫ˜ВММУ„У Ыр‡‚МВМЛfl: Âi = Yi – a – bxi.

З ТОЫ˜‡В Ф‡рМУИ ОЛМВИМУИ рВ„рВТТЛЛ ‰ЛТФВрТЛfl b — ÓˆÂÌÍË β р‡‚̇:

СЛТФВрТЛfl α р‡‚̇:

ПВММУИ ‚УНрЫ„ ОЛМЛЛ рВ„рВТТЛЛ — Ъ‡Н М‡Б˚‚‡ВП‡fl «МВУ·˙flТМВММ‡fl ‰ЛТФВрТЛfl», «УТЪ‡ЪУ˜М‡fl ‰ЛТФВрТЛfl». Sa Ë Sb — ТЪ‡М‰‡рЪМ˚В УЪНОУ-

ÌÂÌËfl ÒÎÛ˜‡ÈÌ˚ı ‚Â΢ËÌ a Ë b. äÓ˝ÙÙˈËÂÌÚ b — НУ˝ЩЩЛˆЛВМЪ М‡НОУМ‡ ОЛМЛЛ рВ„рВТТЛЛ. уВП ·УО¸¯В р‡Б·рУТ БМ‡˜ВМЛИ Б‡‚ЛТЛПУИ ФВрВПВММУИ ‚УНрЫ„ ОЛМЛЛ рВ„рВТТЛЛ, ЪВП ·УО¸¯ВИ (‚ ТрВ‰МВП) УН‡- КВЪТfl У¯Л·Н‡ ‚ УФрВ‰ВОВМЛЛ М‡НОУМ‡ ОЛМЛЛ рВ„рВТТЛЛ. ЦТОЛ КВ

‚Ò Á̇˜ÂÌËfl Y р‡ТФУОУКВМ˚ М‡ ОЛМЛЛ рВ„рВТТЛЛ (ei = 0, ‡ Á̇˜ËÚ, σ2 = 0), ЪУ У¯Л·НЛ ‚ УФрВ‰ВОВМЛЛ БМ‡˜ВМЛИ НУ˝ЩЩЛˆЛВМЪУ‚ a Ë b

УЪТЫЪТЪ‚Ы˛Ъ (УЪТ˛‰‡ — s2, ÒÓÓÚ‚ÂÚÒÚ‚Û˛˘Â σ2, р‡‚МУ МЫО˛). оУрП‡О¸МУ БМ‡˜ЛПУТЪ¸ УˆВМВММУ„У НУ˝ЩЩЛˆЛВМЪ‡ рВ„рВТТЛЛ b

ПУКВЪ ·˚Ъ¸ ФрУ‚ВрВМ‡ Т ФУПУ˘¸˛ ‡М‡ОЛБ‡ В„У УЪМУ¯ВМЛfl Н Т‚УВПЫ ТЪ‡М‰‡рЪМУПЫ УЪНОУМВМЛ˛ Sb = Varb . щЪ‡ ‚ВОЛ˜ЛМ‡ ‚ ТОЫ˜‡В ТУ- ·О˛‰ВМЛfl ЛТıУ‰М˚ı ФрВ‰ФУТ˚ОУН ПУ‰ВОЛ ı‡р‡НЪВрЛБЫВЪТfl t-р‡Ò-

139

ФрВ‰ВОВМЛВП лЪ¸˛‰ВМЪ‡ Т n – 2 ТЪВФВМflПЛ Т‚У·У‰˚, „‰В n — ˜ËÒÎÓ Ì‡·Î˛‰ÂÌËÈ:

ÑÎfl t-ТЪ‡ЪЛТЪЛНЛ ФрУ‚ВрflВЪТfl „ЛФУЪВБ‡ У р‡‚ВМТЪ‚В ВВ МЫО˛. t = 0 ·Û‰ÂÚ ÓÁ̇˜‡Ú¸ b = 0.

ирЛ УˆВМНВ НУ˝ЩЩЛˆЛВМЪ‡ ОЛМВИМУИ рВ„рВТТЛЛ ПУКМУ ЛТФУО¸- БУ‚‡Ъ¸ ТОВ‰Ы˛˘ВВ „рЫ·УВ Фр‡‚ЛОУ. ЦТОЛ ТЪ‡М‰‡рЪМ‡fl У¯Л·Н‡ НУ˝Щ- ЩЛˆЛВМЪ‡ ·УО¸¯В В„У ПУ‰ЫОfl (│t│< 1), ЪУ УМ МВ ПУКВЪ ·˚Ъ¸ ФрЛБМ‡М «ıУрУ¯ЛП», БМ‡˜ЛП˚П, ФУТНУО¸НЫ ‰У‚ВрЛЪВО¸М‡fl ‚ВрУflЪМУТЪ¸ ФрЛ ‰‚ЫТЪУрУММВИ ‡О¸ЪВрМ‡ЪЛ‚МУИ „ЛФУЪВБВ ТУТЪ‡‚ОflВЪ ПВМВВ ФрЛ- ·ОЛБЛЪВО¸МУ 0,7. ÖÒÎË Òڇ̉‡рÚ̇fl ӯ˷͇ ÏÂ̸¯Â ÏÓ‰ÛÎfl ÍÓ˝Ù- ÙˈËÂÌÚ‡, ÌÓ ·Óθ¯Â Â„Ó ÔÓÎÓ‚ËÌ˚ (1 <│t│< 2), ЪУ ‰‡ММ‡fl УˆВМН‡ НУ˝ЩЩЛˆЛВМЪ‡ ПУКВЪ р‡ТТП‡ЪрЛ‚‡Ъ¸Тfl Н‡Н ·УОВВ ЛОЛ ПВМВВ БМ‡˜Л- П‡fl (‰У‚ВрЛЪВО¸М‡fl ‚ВрУflЪМУТЪ¸ УЪ 0,7 ‰Ó 0,95). á̇˜ÂÌË t ÓÚ 2 ‰Ó 3 Т‚Л‰ВЪВО¸ТЪ‚ЫВЪ У М‡ОЛ˜ЛЛ ‚ВТ¸П‡ БМ‡˜ЛПУИ Т‚flБЛ (‰У‚ВрЛЪВО¸М‡fl ‚ВрУflЪМУТЪ¸ УЪ 0,95 ‰Ó 0,99), │t│> 3 УБМ‡˜‡ВЪ Фр‡НЪЛ˜ВТНЛ ТЪУФрУˆВМЪМУВ ФУ‰Ъ‚ВрК‰ВМЛВ ВВ М‡ОЛ˜Лfl. зВТУПМВММУ, ‚ Н‡К‰УП ТОЫ˜‡В УФрВ‰ВОВММЫ˛ рУО¸ Л„р‡ВЪ НУОЛ˜ВТЪ‚У М‡·О˛‰ВМЛИ: ˜ВП Лı ·УО¸¯В, ЪВП М‡‰ВКМВВ ФрЛ ФрУ˜Лı р‡‚М˚ı ЫТОУ‚Лflı ‚˚‚У‰˚ У М‡ОЛ˜ЛЛ Т‚fl- БЛ Л ЪВП ПВМ¸¯В „р‡МЛˆ‡ ‰У‚ВрЛЪВО¸МУ„У ЛМЪВр‚‡О‡ ‰Оfl ‰‡ММУ„У ˜ЛТО‡ ТЪВФВМВИ Т‚У·У‰˚ Л ЫрУ‚Мfl БМ‡˜ЛПУТЪЛ. й‰М‡НУ ˝ЪЛ р‡БОЛ˜Лfl ТЫ˘ВТЪ‚ВММ˚ ОЛ¯¸ ‰Оfl П‡О˚ı n, ‡ ÔрË n ≥ 10 ТЩУрПЫОЛрУ‚‡ММ˚В Фр‡‚ЛО‡ ФрЛ·ОЛБЛЪВО¸МУ ‚ВрМ˚.

СОfl УТЫ˘ВТЪ‚ОВМЛfl ФрУ‚ВрНЛ БМ‡˜ЛПУТЪЛ УˆВМУН НУ˝ЩЩЛˆЛВМЪУ‚ рВ„рВТТЛЛ МЫКМУ рВ¯ЛЪ¸, ·Ы‰ВЪ ОЛ УМ‡ У‰МУТЪУрУММВИ ЛОЛ ‰‚Ы- ТЪУрУММВИ. З˚·Ур УФрВ‰ВОflВЪТfl ЪВУрВЪЛ˜ВТНЛП У·УТМУ‚‡МЛВП ПУ‰В- ОЛ Т‚flБЛ Б‡‚ЛТЛПУИ Л МВБ‡‚ЛТЛПУИ ФВрВПВММ˚ı. ирЛ ˝ЪУП У‰МУТЪУрУММflfl ФрУ‚ВрН‡ ФрВ‰ФУО‡„‡ВЪ, ˜ЪУ ı‡р‡НЪВр Т‚flБЛ ПВК‰Ы X Ë Y У‰МУБМ‡˜ВМ: ОЛ·У Т‚flБ¸ УЪрЛˆ‡ЪВО¸М‡, ОЛ·У ФУОУКЛЪВО¸М‡, МУ МВ ЪУ Л ‰рЫ„УВ У‰МУ‚рВПВММУ. ирЛ ‰‚ЫТЪУрУММВИ ФрУ‚ВрНВ ЛТıУ‰flЪ ЛБ ФрВ‰ФУОУКВМЛfl, ˜ЪУ Т‚flБ¸ ПВК‰Ы X Ë Y ПУКВЪ ·˚Ъ¸ Н‡Н ФУОУКЛЪВО¸МУИ, Ъ‡Н Л УЪрЛˆ‡ЪВО¸МУИ.

л ФУПУ˘¸˛ р‡ТТ˜ЛЪ‡ММ˚ı ТЪ‡М‰‡рЪМ˚ı УЪНОУМВМЛИ Л БМ‡˜ВМЛИ t-ТЪ‡ЪЛТЪЛНЛ ПУКМУ УФрВ‰ВОЛЪ¸ ‰У‚ВрЛЪВО¸М˚И ЛМЪВр‚‡О БМ‡˜ВМЛИ α Ë β Т Б‡‰‡ММУИ ‰У‚ВрЛЪВО¸МУИ ‚ВрУflЪМУТЪ¸˛. ирВ‰ФУО‡„‡ВП˚В БМ‡˜ВМЛfl α Ë β ·Û‰ÛÚ Ì‡ıÓ‰ËÚ¸Òfl ‚ р‡Ï͇ı ˝ÚÓ„Ó ËÌÚÂр‚‡Î‡, ÂÒÎË

140