Вариант 22

 ЗАДАНИЕ N 18 отправить сообщение разработчикам Тема: Однородные дифференциальные уравнения Общий интеграл дифференциального уравнения  имеет вид …

  ЗАДАНИЕ N 19 отправить сообщение разработчикам Тема: Системы двух линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами Решение задачи Коши   имеет вид …

Решение: Выразив  из первого уравнения, можем получить  откуда  Сложив удвоенное первое и утроенное второе уравнения, получим  или  то есть  Из системы уравнений  находим общее решение системы  Подставив начальные условия, получим:   .Поэтому решение задачи Коши имеет вид

  ЗАДАНИЕ N 20 отправить сообщение разработчикам Тема: Типы дифференциальных уравнений Уравнение  является …

			однородным относительно x и y дифференциальным уравнением первого порядка
			линейным неоднородным дифференциальным уравнением первого порядка
			уравнением Бернулли
			дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными

Решение: Перепишем уравнение  в виде   В уравнении  функция  является однородной относительно  и  функцией нулевого порядка. Действительно,   Поэтому данное уравнение является однородным относительно x и y дифференциальным уравнением первого порядка.

 ЗАДАНИЕ N 21 отправить сообщение разработчикам Тема: Норма вектора в евклидовом пространстве Скалярное произведение векторов  и  равно 8, угол между векторами равен  норма вектора  равна 4. Тогда норма вектора  равна …

			4
			2
			3

  ЗАДАНИЕ N 22 отправить сообщение разработчикам Тема: Градиент скалярного поля Градиент скалярного поля  равен нулевому вектору в точке …

			(– 2; 1; 1)
			(1; 0; 1)
			(0; 0; 0)
			(2; – 1; 0)

Решение: Градиент поля находится по формуле:  Он равен нулевому вектору тогда и только тогда, когда Так как  то получаем следующую систему линейных уравнений:  решая которую находим единственное решение:  То есть, градиент поля U равен  в точке

  ЗАДАНИЕ N 23 отправить сообщение разработчикам Тема: Векторное произведение векторов Площадь параллелограмма, построенного на векторах  и  равна …

Решение: Площадь  параллелограмма, построенного на векторах  и , равна модулю векторного произведения этих векторов, то есть В нашем случае Следовательно, площадь параллелограмма равна

  ЗАДАНИЕ N 24 отправить сообщение разработчикам Тема: Гармонические колебания Точка совершает гармонические колебания вдоль оси Ox с частотой  Тогда уравнение этих колебаний может иметь вид …

Решение: Уравнение гармонических колебаний имеет вид  Угловая частота  Тогда частоту  имеют колебания

 ЗАДАНИЕ N 25 отправить сообщение разработчикам Тема: Элементы гармонического анализа Функцией, ортогональной к функции  на   не является …

  ЗАДАНИЕ N 26 отправить сообщение разработчикам Тема: Ряд Фурье. Теорема Дирихле Коэффициент a₀ в разложении в ряд Фурье функции  равен …

Решение: Воспользуемся формулой: Тогда  

  ЗАДАНИЕ N 27 отправить сообщение разработчикам Тема: Периодические функции Период функции  равен …

			2
			1

Решение: Функция имеет период  функция sin πx – период  Следовательно, исходная функция имеет период

  ЗАДАНИЕ N 28 отправить сообщение разработчикам Тема: Системы линейных уравнений с комплексными коэффициентами Если  и  являются решением системы линейных уравнений , то  равно …

			2
			32
			0

Решение: Решим систему методом Крамера. Для этого вычислим определитель системы:   и вспомогательные определители:  и  Тогда по формулам Крамера получим:  и   Следовательно,

  ЗАДАНИЕ N 29 отправить сообщение разработчикам Тема: Комплексные числа и их представление Комплексное число задано в показательной форме  Тогда алгебраическая форма записи сопряженного к нему числа  имеет вид …

Решение: Показательная форма комплексного числа имеет вид:   а алгебраическая –  Так как   а главное значение аргумента  определяется из системы уравнений то для нахождения параметров  и  получим систему: В нашем случае: Следовательно,  Если  то  В нашем случае

  ЗАДАНИЕ N 30 отправить сообщение разработчикам Тема: Дифференцирование функции комплексного переменного Значение производной функции  в точке  равно …

Решение: Производная функции  имеет вид Тогда

  ЗАДАНИЕ N 31 отправить сообщение разработчикам Тема: Плоскость в пространстве Уравнение плоскости, проходящей через точку  перпендикулярно плоскостям  и  имеет вид …

Решение: Уравнение плоскости, проходящей через точку  с нормальным вектором  имеет вид:  В качестве нормального вектора плоскости возьмем векторное произведение нормальных векторов плоскостей  и  Тогда  или  Подставляя в уравнение плоскости координаты точки  и вектора  получим:  или

  ЗАДАНИЕ N 32 отправить сообщение разработчикам Тема: Прямоугольные координаты на плоскости Даны вершины треугольника   и Тогда треугольник  ABC …

			равнобедренный
			прямоугольный и равнобедренный
			прямоугольный
			равносторонний