Задание 2

По 27+m+nпредприятиям района изучается зависимость прибыли (Y-тыс.руб.) от

выработки продукции на 1 рабочего (- единиц) и индекса цен на продукцию (- %). Расчеты будем проводить дляmиnравных 0

	Среднее значение	Среднее квадратическое отклонение	Парный коэффициент корреляции
Y	250+5m	40-n	= 0.68
	51-m	15+n	= 0.63
	110+m	35-n	=0.39

1. Постройте уравнение множественной регрессии в стандартизованном и натуральном масштабе.

1. Определите показатели частной и множественной корреляции и сравните их с коэффициентами парными коэффициентами корреляции.

2. Рассчитайте частные коэффициенты эластичности и сравните их с -коэффициентами.

3. Рассчитайте общий и частные F-критерии Фишера.

4. По каждому пункту задания сделайте выводы.

Решение

	Среднее значение	Среднее квадратическое отклонение	Парный коэффициент корреляции
Y	265	38	= 0.68
	48	17	= 0.63
	113	33	=0.39

1). Линейное уравнение множественной регрессииyотиимеет

Для расчета его параметров применим ме­тод стандартизации переменных и построим искомое уравнение в стандартизованном масштабе:

Расчет - коэффициентов выполним по формулам

Получим уравнение множественной регрессии в стандартизован­ной форме;

Вывод. Так как, то сила влияния выработки продукции на 1 рабочегона средний уровень прибылиyоказалась большей, чем сила влияния индекса цен на продукцию.

2)Для построения уравнения в естественной форме рассчитаеми, используя формулы для перехода отк

b₁=β₁ · δ_y / δ_x1= 0,5122· 38/17=1,14491

b₂=β₂ · δ_y / δ_x2= 0,43023· 38/33 = 0,49541

Значение аопределим из соотношения

a= ӯ -b₁·ẋ₁-b₂ ·ẋ₂ =265 – 1,14491*48-0,49541*113= 154,06

Уравнение в естественной форме или в натуральном масштабе

у=а+b₁·x₁+ b₂·x₂= 154,06+1,14491 x₁+0,49541 x₂

Вывод. Так как, то сила влияния выработки продукции на 1 рабочегона средний уровень прибылиyоказалась большей, чем сила влияния индекса цен на продукцию.

3). Линейные коэффициенты частной корреляции здесь рассчитыва­ются по рекуррентной формуле:

Сравним значения коэффициентов парной и частной кор­реляции

=0.68,=0,63,=0.39,

=0,6073,=0,54032 ,=-0,0674

Вывод:из-за слабой межфакторной свя­зи (= -0,0674) коэффициенты парной и частной корреляции отличаются, но выводы о тесноте и направлении связи на основе коэффициентов парной и частной корреляции совпадают.

4)Расчет линейного коэффициента множественной корреляциивыполним с использованием коэффициентови:

- коэффициент множественной детерминации

Вывод. Зависимость у отихарактеризуется как умеренная, в которой 61,9% вариации среднего уровня прибыли определяются вариацией учтенных в модели факторов - выработки продукции на 1 рабочегои индекса цен на продукцию.

Влияние прочих факторов, не включенных в модель, составляет соответственно 38,1% от общей вариации у.

4). Для характеристики относительной силы влиянияина у считаем средние коэффициенты эластичности:

,

= 1,14491 * 48/265= 0,2073 %,

= 0,49541*113/265=0,21125 %

С увеличением выработки продукции на 1 рабочего на 1 % от ее среднего уровня средний уровень прибылиyвозрастает на 0,2073 % от своего среднего уровня.

При повышении индекса цен на продукцию на 1 % средний уровень прибыли у возрастает на 0,21125 % от своего среднего уровня.

Вывод.Сила влияния выработки продукции на 1 рабочегона средний уровень потребления электроэнергииyоказалась большей, чем сила влияния индекса цен.

Различия в силе влияния фактора на результат, полученные при сравнении иобъясняются тем, что коэффициент эластичности исходит из соотношения средних, а- коэффициент - из соотношения средних квадратических отклоне­ний.

5). ОбщийF-критерий проверяет гипотезуо статистической незна­чимости уравнения регрессии и показателя тесноты связи (= 0):

,

Сравнивая и, приходим к выводу о необходимости от­клонить гипотезу, так как= 3,4 <= 19,52419. С вероятностью= 0,95 делаем заключение о статистической значимости уравнения в целом и показателя тесноты связи, которые сформировались под неслучайным воздействием факторови.

Частные F-критерии -иоценивают статистическую значимость присутствия факторовив уравнении множественной регрессии, оценивают целесообразность включения в уравнение одного фактора после другого фактора, т.е.оценивает целесо­образность включения в уравнение факторапосле того, как в него включен фактор. Соответственноуказывает на целесо­образность включения в модель фактора, после фактора:

,

Вывод:Сравниваяи, приходим к выводу о целесообразности включения в модель факторапосле фактора, так как=13,43>=4,26. Гипотезуо несущественности приростаза счет включения дополнительного фактораотклоняем и приходим к выводу о статистически подтвержденной целесообраз­ности включения факторапосле фактора.

Целесообразность включения в модель фактора после факторапроверяет:

,

Вывод.Сравниваяи, приходим к выводу о целесообразности включения в модель факторапосле фактора, так как=13,159>=4,26. Гипотезуо несущественности приростаза счет включения дополнительного фактораотклоняем и приходим к выводу о статистически подтвержденной целесообраз­ности включения факторапосле фактора

Задание 3

Имеется следующая модель:

Кривая Филипса

Производственная функция

Функция инвестиций

Y- валовой внутренний продукт

I- инвестиции

P- индекс потребительских цен

N- уровень экономической активности населения

U- уровень безработицы

- случайные составляющие

Применив необходимое и достаточное условие идентификации, определить идентифицируемо ли каждое из уравнений модели. Указать каким методом будете оценивать структурные параметры каждого уравнения. Напишите приведенную форму модели.

Решение

Так как в системе отсутствуют лаговые переменные, то индекс tопустим.

Поскольку зависимая переменная Yвторого уравнения выступает в виде фактораxв третьем уравнении , то это система рекурсивных уравнений. Для решения этой системы и нахождения ее параметров исполь­зуется метод наименьших квадратов.

U,Y,I- эндогенные переменные, то есть взаимозависимые переменные, кото­рые определяются внутри модели (системы). Их число равно числу уравнений системы.

P,N- экзогенные переменные, то есть независимые переменные, которые определяются вне системы х. Это предопределенные переменные, влияющие на эндогенные переменные, но не зависящие от них.

Проверим каждое уравнение системы на необходимое (Н) и дос­таточное (Д) условия идентификации.

Первое уравнение

Необходимое условие идентификац D+l=H- уравнение идентифицируемо;

D+1 <H- уравнение неидентифицируемо;

D+ 1 > Н - уравнение сверхидентифицируемо,

где H- число эндогенных переменных в уравнении,

D- число предопределенных переменных, отсутствующих в уравнении,

но присутствующих в системе.

Н: эндогенных переменных – 1 (U), отсутствующих экзогенных - 1 (N).

Выполняется необходимое равенство: D+ 1 > Н: 1 + 1 > 1, следовательно, уравнение сверхидентифицируемо.

Д: в первом уравнении отсутствуютY,IиN. Построим матрицу из коэффициентов при них в других уравнениях системы:

Уравнение	Отсутствующие переменные
	Y	I	N
Второе	-1	0
Третье		-1	0

Минор 2 порядка матрицы A:, следовательно, ранг матрицы равен 2 и выполняется достаточное условие идентификации.

Первое уравнение точно идентифицируемо.

Второе уравнение.

Н: эндогенных переменных - 1 (Y),

отсутствующих экзогенных - 1 (P).

Выполняется необходимое неравенство D+ 1 > Н: 1+1 > 1, следовательно, уравнение сверхидентифицируемо. Система сверхидентифицируема.

Д: во втором уравнении отсутствуютU,IиP. Построим матрицу из коэффициентов при них в других уравнениях системы:

Уравнение	Отсутствующие переменные
	U	I	P
Первое	-1	0
Третье	0	-1

Минор 2 порядка матрицы A, следовательно, ранг матрицы равен 2 и выполняется достаточное условие идентификации.

Второе уравнение точно идентифицируемо.

Третье уравнение.

Н: эндогенных переменных - 2 (I),

отсутствующих экзогенных - 1 (N).

Выполняется необходимое неравенство D+ 1 = Н: 1+1 = 2, следовательно, уравнение точно идентифицируемо.

Д: в третьем уравнении отсутствуютU,YиN.

Построим матрицу из коэффициентов при них в других уравнениях системы:

Уравнение	Отсутствующие переменные
	U	Y	N
Первое	-1	0
Второе	0	-1

Минор 2 порядка матрицы A, следовательно, ранг матрицы равен 2 и выполняется достаточное условие идентификации и третье уравнение точно идентифицируемо.

Следовательно, исследуемая система точно идентифицируема и может быть решена двухшаговым методом наименьших квадратов.

Приведенную форму модели запишем в общем виде

Задание 4Дана зависимость y=F(t) табличным образом

Номер квартала	Экспорт Млрд.долл.	Номер квартала	Экспорт Млрд.долл.
1	428	13	694
2	496	14	763
3	444	15	705
4	492	16	757
5	568	17	835
6	489	18	771
7	572
8	645
9	569
10	630
11	696
12	639

1. Построить график временного ряда

2. Метод последовательных разностей

3. Проверка автокорреляции в остатках

4. Расчет коэффициентов автокорреляции

5. Построить аддитивную модель временного ряда

6. Оценить качество через показатели средней абсолютной ошибки и среднего относительного отклонения

Решение

1.Построим график временного ряда

y= 415,294x + 21,741

Рис.1

2. Метод последовательных разностей

t	у	Δyt	ŷt	Ɛt =yt -ŷt	Ɛt-1	( Ɛt - Ɛt-1 )²	Ɛ2t	Ɛt · Ɛt-1	Ɛt / y
1	428		437,035	-9,035			81,631225		-0,021109813
2	496	68	458,776	37,224	-9,035	2139,895	1385,626176	-336,31884	0,075048387
3	444	-52	480,517	-36,517	37,224	5437,735081	1333,491289	-1359,308808	-0,082245495
4	492	48	502,258	-10,258	-36,517	689,535081	105,226564	374,591386	-0,020849593
5	568	76	523,999	44,001	-10,258	2944,039081	1936,088001	-451,362258	0,077466549
6	489	-79	545,74	-56,74	44,001	10148,74908	3219,4276	-2496,61674	-0,11603272
7	572	83	567,481	4,519	-56,74	3752,665081	20,421361	-256,40806	0,00790035
8	645	73	589,222	55,778	4,519	2627,485081	3111,185284	252,060782	0,086477519
9	569	-76	610,963	-41,963	55,778	9553,303081	1760,893369	-2340,612214	-0,073748682
10	630	61	632,704	-2,704	-41,963	1541,269081	7,311616	113,467952	-0,004292063
11	696	66	654,445	41,555	-2,704	1958,859081	1726,818025	-112,36472	0,05970546
12	639	-57	676,186	-37,186	41,555	6200,145081	1382,798596	-1545,26423	-0,058194053
13	694	55	697,927	-3,927	-37,186	1106,161081	15,421329	146,029422	-0,005658501
14	763	69	719,668	43,332	-3,927	2233,413081	1877,662224	-170,164764	0,056791612
15	705	-58	741,409	-36,409	43,332	6358,627081	1325,615281	-1577,674788	-0,051643972
16	757	52	763,15	-6,15	-36,409	915,607081	37,8225	223,91535	-0,008124174
17	835	78	784,891	50,109	-6,15	3165,075081	2510,911881	-308,17035	0,060010778
18	771	-64	806,632	-35,632	50,109	7351,519081	1269,639424	-1785,483888	-0,046215305
сумма					35,629	68124,0823	23107,99175	-11629,68477	-0,064713717
среднее							1283,777319		-0,003595207
Критерий Дарбина- Уотсона 68124,0823/23107,9917=2,94807
Коэфф.автокорреляции остатков rᵋ₁ -11629,68/23107,99=-0,503
средняя абсолютная ошибка							396,135
среднего относительного отклонения									-0,00359

Рис.2 Зависимость отклонений от тренда по времени

Из графика следует, что временной ряд содержит линейный тренд. Кроме того, циклическая переменная есть и имеет период = 4 квартала. Это проверим путем расчета коэффициентов автокорреляции

1. Проверка автокорреляции в остатках

Критерий Дарбина - Уотсона рассчитывается по формуле

d= ∑ (( Ɛt - Ɛt-1 )² ) / ∑ Ɛ²t = 68124,0823/23107,9917=2,94807

Фактическое значение d сравниваем с табличными значениями при 5%-ном уровне значимости. Прип = 18 квартала ит = 1 (число факторов) нижнее значение равно 1,27, а верхнее= 1,45. Так как фактическое значениеd близко к 4, можно считать, что автокорреля­ция в остатках характеризуется отрицательной величиной. Чтобы проверить значимость отрицательного коэффициента автокорреляции, найдем величину:

4-d= 4-2,948 =1,052

что меньше, чем . Есть наличие отрицательнойавтокорреляции в остатках. Это объясняется наличием циклических колебаний в остатках.

0

положительная автокорреляция

1,27

зона неопределенности

1,5

нет автокрреляции

2,55

зона неопределенности

2,73

отрицательная автокорреляция

4

Расчет линейного тренда с помощью программы ЛИНЕЙН

21,741	415,294
12,20081	174,3336
0,742077	413,7495
63,29672	22
10835681	3766151

Уравнение линейного тренда ŷt = 415,294 + 21,741· t

1. Рассчитаем коэффициенты автокорреляции

Проверим величину лага. Рассчитаем коэффициенты автокорреляции

Коэффициент автокорреляции первого порядка оп­ределяется как

где

где

где

где

И так далее

Расчет коэффициента автокорреляции первого порядка для временного ряда

t	уt	уt-1	уt - ӯ1	уt-1 - ӯ2	( уt - ӯ1)· ( уt-1 - ӯ2)	( уt - ӯ1 )²	(уt-1 - ӯ2)²
1	428
2	496	428	-125,8333333	-185,0588235	23286,56863	15834,02778	34246,76817
3	444	496	-177,8333333	-117,0588235	20816,96078	31624,69444	13702,76817
4	492	444	-129,8333333	-169,0588235	21949,47059	16856,69444	28580,88581
5	568	492	-53,83333333	-121,0588235	6517	2898,027778	14655,23875
6	489	568	-132,8333333	-45,05882353	5985,313725	17644,69444	2030,297578
7	572	489	-49,83333333	-124,0588235	6182,264706	2483,361111	15390,5917
8	645	572	23,16666667	-41,05882353	-951,1960784	536,6944444	1685,82699
9	569	645	-52,83333333	31,94117647	-1687,558824	2791,361111	1020,238754
10	630	569	8,166666667	-44,05882353	-359,8137255	66,69444444	1941,179931
11	696	630	74,16666667	16,94117647	1256,470588	5500,694444	287,0034602
12	639	696	17,16666667	82,94117647	1423,823529	294,6944444	6879,238754
13	694	639	72,16666667	25,94117647	1872,088235	5208,027778	672,9446367
14	763	694	141,1666667	80,94117647	11426,19608	19928,02778	6551,474048
15	705	763	83,16666667	149,9411765	12470,10784	6916,694444	22482,3564
16	757	705	135,1666667	91,94117647	12427,38235	18270,02778	8453,179931
17	835	757	213,1666667	143,9411765	30683,46078	45440,02778	20719,06228
18	771	835	149,1666667	221,9411765	33106,22549	22250,69444	49257,88581
	11193	10422	193,8333333		10964,98616
	621,83	613,05882
						3612,47723	3673,08851
					0,5945337