mat_analiz

Число e не является рациональным. Вычислено приближенное значение числа e : e ≈ 2,718281828459045 , но чаще используют приближенное e ≈ 2,72 . Число e играет особую роль в математике. Логарифмы по основа-

нию e называют натуральными и обозначают

loge x = ln x .

Формулу 11 называют «замечательным» пределом.

4. Бесконечно малые последовательности. Теоремы о пределах последовательностей

Определение 16. а) последовательность {an +bn } называют суммой ,

последовательность {an −bn } разностью последовательностей {αn }, {bn };

Определение 17. Сходящаяся последовательность {αn } называется

бесконечно малой, если ее предел равен нулю:

limαn = 0 .

n→∞

Приведем некоторые свойства бесконечно малых последовательностей. Пусть последовательности бесконечно малые и с - константа, тогда последовательности {αn +β n }, {αn − βn },{αn βn }, {cαn } также бесконечно малые.

Теорема 6. (о произведении бесконечно малой и ограниченной последовательностей). Произведение бесконечно малой последовательности и ограниченной последовательности {bn } есть последовательность {αnbn } бес-

конечно малая:

67

limαnbn = 0 .

n→∞

Теорема 7. а) Если сходящая последовательность {an } имеет предел a ,

то ее общий член представим в виде an = a +αn , где {αn }- бесконечно малая последовательность.

б) Если общий член последовательности {an } представим в виде an = a +αn , где a - число и {αn }- бесконечно малая последовательность, то по-

Так как a = lim an , то по определению предела для любого числа ε > 0

n→∞

найдется номер N (ε) такой, что для всех членов последовательности {an } с

номерами n > N (ε) выполняется неравенство an − a < ε . Обозначим αn = an − a ,

тогда αn < ε для всех n > N (ε), откуда следует, что limαn = 0 , то есть {αn } бес-

n→∞

конечно малая последовательность. Таким образом, an = a +αn , что и требова-

лось доказать.

б) Пусть теперь справедливо представление an = a +αn , где {αn } беско-

нечно малая последовательность. Покажем, что a = lim an .

n→∞

В силу предположения имеем αn = an − a . Так как {αn } бесконечно малая последовательность, то limαn = 0 и для любого числа ε > 0 найдется номер

это означает, что a = lim an . Что и требовалось доказать.

n→∞

Теорема 8 (о пределах суммы, произведения и частного последовательностей).

Если последовательности {an } и {bn } сходятся, то:

68

Доказательство теоремы опирается на утверждения теорем 7, 8 и свойства бесконечно малых последовательностей. Предлагаем читателю провести его самостоятельно.

Теорема 9. (о предельном переходе в неравенстве).

Пусть {an } и {bn } сходящиеся последовательности, и пусть an ≤ bn для

всех номеров n N , тогда справедливо неравенство lim an ≤ lim bn .

n→∞ n→∞

Следствие: Если сходящаяся последовательность {an } имеет предел a и

её члены таковы, что справедливо соотношение A ≤ an ≤ B, n N , то A ≤ a ≤ B .

Теорема 10. (о сжатой переменной).

Пусть даны три последовательности {an }, {bn } и {zn }, члены которых

Теорема 11. Отбрасывание или замена конечного числа членов последовательности какими-нибудь числами не влияет на её сходимость, причём в случае сходимости последовательности не влияет и на величину предела.

69

б) Используя полученный результат и теорему 8б (о пределе произведения последовательностей), получим:

можно, так как в числителе и знаменателе находятся члены расходящихся, а следовательно, не имеющих пределов последовательностей

an = 3n + 5, n N и bn = 2 −5n, n N .

Преобразуем дробь, стоящую под знаком предела, следующим образом:

В полученной дроби в числителе и знаменателе находятся общие

70

6. Бесконечно большие последовательности и их связь с бесконечно малыми последовательностями

Определение 18. Последовательность {an } называют бесконечно большой, если для любого положительного сколь угодно большого числа

довательность стремится в бесконечность или последовательность имеет

является неограниченной. Обратное утверждение в общем случае неверно, то есть не всякая неограниченная последовательность является бесконечно большой. Например, последовательность {an }, где an = n3 (1 + (−1)n+1 ), неог-

раниченная, но не является бесконечно большой:

Члены с нечетными номерами неограниченно растут с увеличением номеров, а члены с чётными номерами равны нулю. Поэтому, какое бы число M > 0 ни взять, найти номер N(M ) такой, чтобы выполнялось нера-

венство an > M для всех n > N (M ), невозможно.

71

Теорема 12 (о связи бесконечно большой и бесконечно малой последовательностей).

а) Если последовательность {an } бесконечно большая, то последова-

тельность обратная ей 1 бесконечно малая.

⎩an

б) Если последовательность {bn }, bn ≠ 0, n N бесконечно малая, то

последовательность обратная ей 1 бесконечно большая.

⎩bn

Доказательство: проведем его для случая а. Так как последовательность {an } бесконечно большая, то для любого M > 0 найдется номер

N(M ) такой, что справедливо неравенство an > M для всех n > N (M ).

означает, что последовательность 1 бесконечно малая. Теорема доказа-

⎩an

на.

Справедливы следующие утверждения:

1) Сумма двух бесконечно больших последовательностей, имеющих, начиная с некоторого номера, члены одного знака, есть бесконечно большая последовательность, причём

а) если an → +∞ и bn → +∞ , то an +bn → +∞,

72

есть последовательность бесконечно большая: если an → ∞ и bn → ∞ , то an bn → ∞.

3) Произведение последовательностей бесконечно большой и ограниченной, члены которой не равны нулю, есть бесконечно большая последовательность an → ∞ и 0 < bn < k, n N , где k - некоторая константа, то

an bn → ∞.

Заметим, что разность двух бесконечно больших последовательностей одного знака и сумма бесконечно больших последовательностей различных знаков неопределены, неопределено также и частное двух бесконечно больших последовательностей. В этом случае говорят, что имеются

довательностей образуют неопределенность вида 00 , а произведение бес-

конечно малой и бесконечно большой последовательностей образуют неопределенность вида 0 ∞ .

Вычисление пределов в этих случаях называют раскрытием неоп-

ределенностей.

Кроме перечисленных неопределенностей есть и другие, например,

1∞ , ∞0 , 00 .

Пример 21. Вычислить следующие пределы:

деле частного не применима, так как в числителе и знаменателе находятся члены бесконечно больших последовательностей, то есть, имеем неопре-

деленность вида ∞∞ . Преобразуем выражение, стоящее под знаком предела:

73

двух бесконечно больших величин одного знака, то есть неопределенность вида ∞ −∞. Теорема 8а о пределе разности не применима. Раскроем неопределенность, для чего умножим и разделим выражение на неполный

находится бесконечно большая величина (n2 +1). Запишем дробь иначе

74

Множитель n21+1 есть величина бесконечно малая по теореме 12, как вели-

чина обратная бесконечно большой. Тогда по теореме 6 о произведении бесконечно малой на величину ограниченную имеем