mat_analiz

прямой y = x (см. рис. 29б).

Арккосинусом числа x называют угол y выраженный в радианах, принадлежащий отрезку [0; π], косинус которого равен x , то есть cos y = x . Обла-

стью определения арккосинуса является отрезок [−1; 1], областью значений – отрезок [0; π]. Арккосинус является обратной функцией к косинусу, заданно-

му на отрезке [0; π] (см. рис. 30).

tg y = x .

Функция арктангенс определена для всех действительных чисел, множество

49

значений арктангенса Y = − π2 , π2 . Функция обладает свойством нечётности и возрастает с ростом аргумента, является ограниченной arctg x < π2 (см. рис. 31а). Арктангенс является обратной функцией к тангенсу, заданному на

Рис. 31

г) Функция арккотангенс y = arcctg x . Арккотангенсом числа x назы-

вают угол y , выраженный в радианах и принадлежащий интервалу (0; π ), ко-

Рис. 32

50

8. Сложные элементарные функции.

Примеры элементарных функций.

а) Многочлены n-ой степени представляют собой алгебраическую сумму константы и степенных функций с натуральными показателями степени от первой до n-ой включительно, умноженных на некоторые числовые коэффициенты. Многочлен n-ой степени имеет вид

любой степени определены на множестве всех действительных чисел. Многочлены часто называют целыми рациональными функциями.

б) Дробно-рациональные функции. Функции, в которых над аргументом x производится сложение, вычитание, умножение, деление и возведение в натуральную степень, называют дробно-рациональными функциями.

Они представимы в виде отношения многочленов

определены для всех действительных чисел, которые не обращают знаменатель в ноль, то есть для всех чисел, кроме корней знаменателя.

в) Всякая функция, которая может быть явным образом задана с помощью формулы, содержащей лишь конечное число арифметических действий и суперпозиций элементарных функций, так же является элементарной

функцией. Например: y = sin log3 x, y = 4x2 + 2−x , y = x + tg x1 4 , y = 5e−3 x , 3x2 + 2 x

y = 4sin (12x −1).

51

Замечание. Класс элементарных функций наиболее изучен и чаще всего встречается в приложениях математики. Однако решение многих как теоретических так и практических задач математики приводят к рассмотрению функций не являющихся элементарными. Изучению таких функций посвящены специальные разделы математики. Приведем лишь два примера:

52

§4. Предел числовой последовательности. Числовые ряды

1. Понятие числовой последовательности

Пусть A некоторое счётное числовое множество и an - его элементы:

an A, n N .

Определение 8. Числовой последовательностью называют счётное множество действительных чисел, занумерованных всеми натуральными числами и расположенных в порядке возрастания номеров:

(1)

Число a1 - называют первым членом, a2 - вторым, … , an - n-ым (или общим)

членом последовательности, число n – номер члена последовательности. Все множество членов последовательности обозначается {an }. После-

довательность {an } является заданной, если указано правило, при помощи ко-

торого по номеру n можно найти значение любого члена последовательности, то есть если задана функция f (n):

54

где a1 - первый член, d - разность прогрессии;

б) формула общего члена геометрической прогрессии имеет вид

где a1 - первый член, q - знаменатель прогрессии.

Напомним, что сумма n первых членов: а) арифметической прогрессии

Иногда последовательность задают, указывая несколько ее первых членов иправило, котороепозволяетвычислить общийчленчерезпредыдущиечлены.

Правило в этом случае называют рекуррентным соотношением, а способ задания последовательности рекуррентным.

55

Примером рекуррентного соотношения может служить формула для общего члена геометрической прогрессии. Действительно, ес-

а) геометрическая прогрессия есть последовательность чисел, в которой отношение любых последовательных чисел («последующее» деленное на «предыдущее») есть величина постоянная, называемая знаменателем прогрессии;

б) арифметическая прогрессия есть последовательность чисел, в которой разность любых двух последовательных чисел («последующее» минус «предыдущее») есть величина постоянная, называемая разностью прогрессии.

Члены последовательности {an } можно изобразить точками на число-

Рис. 34 На рис. 35 представлен другой способ изображения последовательно-

сти {an }, который основан на построении графика функции y = f (n), опреде-

ляющей общий член последовательности an = f (n), то есть на построении множества точек плоскости M n с координатами (n; an ).

55

которой принимают одно и то же значение называют постоянной последовательностью an = c, n N , где c некоторое число.

Определение 11. Последовательность {an } называют ограниченной,

если существует такое положительное число K , что для всех n N справед-

57