mat_analiz

разрешить уравнение y = f (x) относительно x, если это возможно, так как для нее уравнение y = f (x) является неявным заданием. Например, для функции

б) Функцияy = x2 , заданная на множестве (− ∞; + ∞), не является обрати-

мой, она не имеет обратной функции, так как разным значениям аргумента x может соответствовать одно и то же значение y (см. рис. 10 б) и поэтому

Рис. 10

Справедливо следующее утверждение: функция является обратимой тогда и только тогда, когда каждое свое значение она принимает только один раз. В этом случае между множествами X и Y должно быть установлено взаимно однозначное соответствие. Если функция x = g(y) является обратной к функции y = f (x), то функцияy = f (x) является обратной к функции x = g(y).

Функции y = f (x), x = g(y) называются взаимно обратными, и они связаны соотношениями: y = f (g(y)) ,

31

ϕ (x)= x3 −3x является нечётной. Действительно, для x (− ∞, + ∞) имеем: f (− x)= (− x)4 − 4(− x)2 −5 = x4 − 4x2 −5 = f (x),

ϕ (− x)= (− x)3 −3(− x)= −(x3 −3x)= −ϕ (x).

Примером функции, заданной на симметричной области, но не обладающей ни свойством чётности, ни свойством нечётности может служить функция так как поэтому и

Ψ(− x)≠ −Ψ(x).

32

График чётной функции симметричен относительно оси ординат, график нечётнойфункциисимметриченотносительноначалакоординат(см. рис. 12).

2) Периодичность. Функция y = f (x) называется периодической, если существует число T отличное от нуля и такое, что справедливо соотношение

f (x −T )= f (x)= f (x +T )

для всех значений x , принадлежащих области определения функции f (x).

Число T называют периодом функции. Число k T , k Z, тоже является пе-

риодом функции. Обычно под периодом функции понимают наименьший из ее положительных периодов. Чтобы построить график периодической функции, достаточно построить его часть на каком-нибудь промежутке, длина которого равна периоду функции T, затем достроить график параллельным переносом построенной части на расстояния кратные периоду.

y

4

3 2

33

Если для любой пары чисел x1 , x2 принадлежащих множеству X и таких, что

венство f (x1 )> f (x2 ), то функцию называют убывающей на множестве X , то есть большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции. Если выполняется неравенство f (x1 )≥ f (x2 ), то функция называется не-

возрастающей.

Возрастающие и убывающие функции называют строго монотонными. Функции, графики которых приведены на рис. 10 а и 10 в, являются строго монотонными, а функция, график которой приведен на рис. 10 б, не является монотонной, она убывает на промежутке ] и возрастает на промежутке [0, + ∞).

Справедливо утверждение: чтобы функция была обратима необходимо и достаточно, чтобы она была строго монотонна.

4). Ограниченность. Пусть функция y = f (x) задана на множестве X .

чена снизу.

Если существует положительное число K такое, что для всех x из X справедливо неравенство f (x) ≤ K, то говорят, что функция f (x) ограниче-

на на множестве X. В противном случае функция называется неограничен-

ной на множестве X.

34

так как какое бы положительное сколь угодно большое число M ни взять, найдется такое значение x0 , что будет выполняться неравенство x02 > M .

График функции y = f (x), ограниченной сверху числом B , расположен не выше прямой y = B ; график функции, ограниченной снизу числом A , рас-

положен не ниже прямой y = A.

График функции y = f (x), ограниченной числом K расположен между

–1

Рис. 14

5) Непрерывность. Функция называется непрерывной на промежутке, если при плавном, без скачков, изменении аргумента значения функции меняются также плавно. В противном случае функция называется разрывной, а значение аргумента, при котором нарушается непрерывность изменения значений функции, называют точкой разрыва функции.

35

Непрерывность функции означает, что график функции можно нарисо-

xk = −1 + 4k , k Z являются точками разрыва функции. Приведенное опреде-

ление непрерывности является описательным, строгое определение непрерывности функции в точке и в области будет дано ниже.

Задания для самостоятельной работы

36

7. Написать в явном виде функцию y, неявно заданную уравнением:

8.Какие из следующих функций являются чётными, какие нечётными, какие не являются ни чётными, ни нечётными?

9.Доказать, что произведение двух чётных функций есть чётная функция, произведение двух нечётных – чётная функция, произведение чётной и нечётной функций – нечётная функция.

10.Построить график периодической функции с периодом T = 2 , кото-

11.Указать, интервалы монотонности функций, графики которых приведены на рис. 12.

12.Какие из следующих функций ограничены снизу, какие ограничены сверху, какие ограничены, какие не ограничены в области определения?

37

§3. Простейшие функции. Элементарные функции

Среди всевозможных функций выделяют класс элементарных функ-

ций.

К простейшим элементарным функциям относят степенные, показательные, логарифмические, тригонометрические, обратные тригонометрические.

Все функции, получающиеся из простейших элементарных функций с помощью четырех арифметических действий и суперпозиций (наложений) применяемых конечное число раз называют элементарными функциями. Рассмотрим ряд примеров элементарных функций.

1. Линейная функция

Линейная функция имеет общий вид

y = kx + b ,

где k и b – действительные числа, постоянные коэффициенты. Функция определена и непрерывна на множестве всех действительных чисел (− ∞; + ∞).

Графиком линейной функции является прямая с угловым коэффициентом k .

функция убывает во всей области определения. Множеством значений функ-

(см. рис. 16).

39

y Рис. 16

y = kx + b

y0

∆y

y

∆x

b

Рис. 17

40