mat_analiz

10.Изобразить на числовой прямой Ox множества, точки которых

удовлетворяют следующим соотношениям: а) x + 3 ≤ 2; б) x + 3 ≥ 2;

в) 1 ≤ x + 3 ≤ 2.

11.Даны множества A = [0; 4], B = [−3; 2]. Указать наименьшее и наи-

большее числа каждого из множеств: а) A; б) B ; в) A B ; г) A ∩ B.

12.Даны множества A = (0; 4], B = (−3; 2). Указать точные нижние гра-

ни (инфимумы) и точные верхние грани (супремумы) множеств: а) A;

б) B ; в) A B ; г) A ∩ B. Имеют ли эти множества наименьшее и наи-

большее числа?

13.Даны множества A = (− ∞; 3), B = [1;+∞). Имеют ли эти множества

21

12.а) 0;4; нет; 4; б) –3;2; нет; нет; в) –3; 4; нет; 4; г) 0;2 нет; нет;

13.A: нет; 3; нет; нет; B: 1; нет; 1; нет;

§2. Функции

1.Понятие числовой функции

При решении какой-либо задачи или проблемы, при изучении некоторого явления имеют дело с различными величинами фигурирующими в условиях этих проблем, задач, явлений.

Переменной величиной или просто переменной будем называть чи-

словую величину, которая в изучаемой задаче принимает различные значения.

22

Величина, принимающая только одно значение, есть частный случай переменной. Ее называют постоянной величиной или константой.

Если в изучаемой задаче несколько переменных, то различают зависимые и независимые переменные. Таковыми переменные являются лишь по отношению друг к другу, и их различие определяется условием задачи.

Для примера рассмотрим прямолинейное равномерное движение тела. Скорость V при таком движении является величиной постоянной. Путь S , пройденный телом, и время движения t суть величины переменные. Чем больше затрачено времени на движение, тем больше путь, пройденный телом. Следовательно, в данном случае S есть переменная величина, зависящая от времени t, и эта зависимость прямо пропорциональная

Зависимые переменные рассматривают как функции независимых. Понятие функции является одним из основных понятий математического анализа, оно связано с установлением зависимости (связи, соответствия) между элементами двух или более множеств.

Пусть X некоторое множество значений числовой переменной x. Если каждому числу x (x X ) ставится в соответствие одно, определенное по пра-

вилу f, число – значение числовой переменной y, то говорят, что на множест-

ве X задана однозначная функция, или просто функция, и пишут

y = f (x), x X .

Переменную x называют аргументом, множество X – областью определения функции y = f (x). Буквой f обозначено правило, по которому оп-

ределяется значение функции y для данного значения аргумента x. Множество всех значений переменной y, поставленных в соответствие

значениям аргумента x из множества X, называют множеством значений функции y = f (x). Обозначим его буквой Y.

Функция y = f (x) полностью определена, если известна область ее оп-

ределения X и для каждого значения аргумента x из области определения X

23

известно соответствующее ему значение y или известно правило f, по кото-

рому может быть найдено это значение.

Пример 9. Дана функция y =1 + x2 , заданная на множестве (− ∞; + ∞).

Областью ее определения является множество всех действительных чисел: X = (− ∞; + ∞), множеством значений функции Y является промежуток

Y = [1; + ∞). Выражение 1 + x2 есть правило получения значения функции y

для данного значения аргумента x.

Для обозначения функции могут быть использованы любые буквы, несколько букв в определенной последовательности или символы. Например:

Возможен и другой вариант зависимости между переменными, когда

пишут: u = f (x1 ; x2 ; L; xn ).

Например, если измерять температуру T в разных точках пространства, то она будет зависеть от положения этой точки, то есть от трех координат точки, обозначаемых в декартовой системе координат x, y, z. Таким образом, переменная T зависит от трех переменных: T=f(x, y, z). В дальнейшем под словом «функция» будем понимать однозначную функцию одного аргумента.

2.Способы задания функций

Вданном пункте рассмотрим несколько способов задания функций одного аргумента:

1) Аналитический способ задания. Аналитический способ задания бывает явным, неявным и параметрическим. В случае явного задания функции

24

при помощи формул указываются математические операции и действия, которые надо совершить над значением аргумента, чтобы получить значение функции.

Например: а) y =1 + x2 , x N; б) y =1 + x2 , x R .

Следует обратить внимание на то, что эти функции различны, так как различны их области определения, хотя функциональные зависимости y от x одинаковые.

Иногда на разных промежутках в области определения функции значения функции вычисляются по различным формулам.

Например,

Последняя запись означает следующее: если выбирать значение x на отрезке [0; 3], то значение функции вычисляется по формуле y = 8x2 −1, а если на промежутке (3; + ∞), то по формуле y = 2x.

Если функция задана формулой y = f (x), а область определения функ-

ции не указана, то полагают, что функция определена на множестве всех значений аргумента, при которых имеет смысл выражение f (x).

функции.

Решение. Значение функции может быть вычислено при x2 −9 > 0. Решая это неравенство, получаем, что область определения x данной функции представляет собой совокупность двух промежутков

(− ∞; −3), (3; + ∞) : X = (− ∞; −3) (3; + ∞).

В случае неявного задания функции y = f (x) указывается уравнение,

связывающее между собой переменные x и y и неразрешенное относительно y. Например: x2 + y3 −8 = 0. Для нахождения значения y соответствующего значению аргумента x следует выполнить следующие действия: подставить

25

в уравнение вместо x значение аргумента x 0 , а затем решить получившееся

В случае параметрического задания функции y = f (x) соответствую-

щие друг другу значения x и y выражают через третью переменную величину, называемую параметром. Обозначим параметр буквой t. Тогда параметрическое задание функции y = f (x) записывают двумя функциями x = ϕ (t), y = Ψ(t) и указывают область допустимых значений параметра t. На-

26

щих им значений функции y. Примерами табличного задания функций служат известные таблицы логарифмов, тригонометрических функций и т.д. Преимущество табличного задания функции заключается в том, что значения функции не нужно вычислять, они даны в таблице, а недостатком является невозможность найти значения функции для значений аргументов не включенных в таблицу.

3) Графический способ задания функции. Графиком функции y = f (x) в

прямоугольной декартовой системе координат на плоскости называется множество точек плоскости (x;y), координаты которых x и y связаны соотношением y = f (x). На рис. 9 приведен график функции y = f (x). Областью

определения функции является множество абсцисс точек графика функции, в данном случае отрезок [a; b]. Множеством значений функции является мно-

с

Рис. 9

27

на оси Ox найти точку x0 , восстановить в ней перпендикуляр к оси Ox до пе-

ресечения с графиком функции (на рис. 9 это точка A), затем найти ординату точки пересечения. Полученная ордината и есть значение функции y = f (x)

при x = x0 : y0 = f (x0 ).

Примерами графического задания функции могут служить графики, полученные на электрокардиографах, осциллографах, самописцах метеорологических станций и т.д. Графическое задание функции обладает большой наглядностью, но точность получаемых с графика значений функции мала. Для графического изображения функции можно применять и другие системы координат. В данном пособии будем использовать декартову систему координат на плоскости, в противном случае будет присутствовать специальное указание.

4) Иногда функцию задают словесно. В качестве примера приведем задание функции y = [x ], которую называют целой частью числа и определяют следующим образом: целая часть действительного числа x есть число y равное наибольшему целому числу, не превосходящему x.

Функция целая часть числа определена на множестве всех действительных чисел R, множество ее значений есть множество целых чисел Z.

3. Сложные функции

Пусть задана функция u = ϕ (x) на множестве X (x X ) и пусть множе-

ство U – множество ее значений. Пусть на множестве U определена функция y = f (u) (u U ).

Изменение x вызывает изменение u, изменение которой в свою очередь влечет изменение y. Ясно, что переменная y является функцией переменной x. В этом случае ее называют функцией от функции или сложной функцией аргумента x, записывают «цепочку» равенств: y = f (u), где Пере-

менная u носит название промежуточной переменной.

28

Сложная функция может быть записана формулой без обозначения бу-

Если не указана область определения сложной функции, то она определяется как множество всех значений аргумента x, при которых определены все функции, используемые для образования данной сложной функции.

В примере 13 областью определения сложной функции является множество всех действительных чисел x = (− ∞; + ∞). Действительно, так как функция u = sin x определена для любых действительных чисел x (− ∞, + ∞) и

принимает значения от −1 до +1 , то u [−1; 1]. Корень третьей степени опре-

делен для всех действительных чисел, в том числе для всех значений u, следовательно, y сложная функция аргумента x и определена при x (− ∞, + ∞).

В примере 14 областью определения сложной функции является мно-

29

4.Неявные и обратные функции

1)Неявные функции. Функция называется неявной, если она задана неявно, то есть уравнением, неразрешенным относительно зависимой переменной (функции).

Например, можно считать, что уравнение y 2 − 2 y − 4x +1 = 0 определяет переменную y зависимую от x , как неявную функцию аргумента x .

Чтобы найти значение y , соответствующее выбранному значению x ,

требуется решить уравнение (см. неявное задание функций), подставив в него числовое значение x . Однако, корней уравнения может быть несколько, поэтому, следует еще определить дополнительное правило выделения из полученных корней значения рассматриваемой функции. Таким образом, уравнение может задавать неявно не одну функцию, а совокупность нескольких функцией. Иногда от неявного задания функции можно перейти к явному, разрешая уравнение относительно переменной, обозначающей функцию. На-

данном примере одну): x = 14 y 2 − 12 y + 14 .

2)Обратные функции. Пусть задана функция y = f (x) на множестве

X пусть множество Y – множество ее значений. Пусть разным значениям x1 , x2 из множества X соответствуют различные значения y1 , y2 из множе-

ства Y : y1 = f (x1 ), y2 = f (x2 ). Рассмотрим функцию, которая каждому значе-

нию y из множества Y ставит в соответствие значение x из множества X такое, что f (x)= y. Такую функцию называют обратной функцией к функ-

ции f (x). Для обратной функции множество Y является областью определе-

ния, а множество X - множеством значений. Обозначим обратную функцию x = g(y). Чтобы найти функцию x = g(y) обратную к функции y = f (x), нужно

30