mat_analiz

средняя скорость тем более точно характеризует особенности движения точки в момент времени t0 , чем меньше промежуток времени ∆t , естественно считать, что скорость движения материальной точки в момент времени t0

(мгновенная или истинная скорость) есть предел, к которому стремится средняя скорость за промежуток времени от момента t0 до момента t0 + ∆t , когда ∆t → 0 . Итак,

2. Задача о плотности неоднородного стержня

Рассмотрим неоднородный стержень, длина которого равна l. Один из его концов примем за начало отсчета 0 (см. рис. 1).

Рис. 1

Обозначим через m=m(x) функцию, описывающую зависимость массы части стержня от (измеряемой от точки 0) длины x этой части, 0 ≤ x ≤ l . Возьмем на стержне произвольную точку M 0 , расположенную на расстоянии x0

от точки 0. Поставим задачу об определении плотности стержня в точке M 0 .

Для решения поставленной задачи рассмотрим участок стержня, заключенный между заданной точкой M 0 и точкой M, расположенной от точки 0 на расстоянии x0 + ∆ x . Масса этого участка равна m (x0 + ∆ x)− m (x0 )= ∆m . Разде-

лив ∆m на ∆ x , получим среднюю линейную плотность ρср. на указанном

участке, то есть

ρcp. = ∆∆mx .

Исходя из того, что чем меньше ∆ x , тем ближе отношение ∆∆mx к ре-

шению поставленной задачи, линейной плотностью ρ стержня в данной точ-

117

ке M 0 называют предел, к которому стремится средняя линейная плотность

ρср. . при ∆ x → 0 . Таким образом,

Анализируя рассмотренные выше задачи, видим, что при всем различии в конкретном содержании этих задач для их решения проводились одни и те же рассуждения, и обе задачи в конечном итоге привели к вычислению предела отношения приращения функции к вызвавшему его приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю. К вычислению подобного рода пределов приводят и многие другие задачи. Абстрагирование от конкретного содержания таких задач приводит к понятию, которое лежит в основе дифференциального исчисления, а именно – к понятию производной.

Пусть функция y = f (x) определена на множестве X и пусть x0 - внут-

Определение 1. Если существует конечный предел отношения приращения функции y = f (x) в точке x0 к вызвавшему его приращению аргумента при условии, что приращение аргумента стремится к нулю, то этот предел называется производной функции y = f (x) в точке x0 .

118

Для обозначения производной функции y = f (x) в точке x0 пользуются символами:

1.Значению x0 аргумента x дать произвольное приращение ∆ x ≠ 0 ,

тогда новое значение аргумента окажется равным x0 + ∆ x .

2. Вычислив значения f (x0 ) и f (x0 + ∆ x) заданной функции в точках x0 и x0 + ∆ x , отыскать приращение функции, то есть ∆y = f (x0 + ∆ x)− f (x0 ).

3. Найти отношение ∆∆ xy .

119

4.Используя теоремы о пределах, найти lim ∆ y .

∆x→0 ∆ x

В качестве примера, выполнив указанные выше действия, найдем производную функции y = f (x )= x 2 +8 в точке x0 = 2 .

Для решения поставленной задачи

1) дадим значению x0 = 2 аргумента x приращение ∆ x ≠ 0 , новое зна-

чение аргумента получится равным 2 + ∆ x ;

2) учитывая, что f (2)= 22 +8, а f (2 + ∆ x)= (2 + ∆ x)2 +8 , вычислим при-

ращение функции:

∆y = f (2 + ∆x )− f (2)= ((2 + ∆x )2 +8)− (22 +8)= 4 + 4 ∆x + ∆x 2 +8 −12 = 4 ∆x + ∆x 2 ;

Итак, f ′(2)= 4 .

Замечание 1. Кроме понятия производной функции y = f (x) в точке x0

существуют также понятия односторонних (левосторонней и правосторонней) производных в точке x0 , под которыми понимаются соответствующие

Из взаимосвязи между пределом функции y = f (x) в точке x0 и одно-

сторонними пределами в этой точке очевидно вытекает следующая связь между производной f ′(x0 ) и односторонними производными в точке x0 : если существует производная f ′(x0 ), то в точке x0 существуют и равны между со-

бой односторонние производные; обратно, если в точке x0 существуют и равны между собой односторонние производные, то в этой точке существует производная f ′(x0 ), причем она равна общему значению односторонних производных. Отметим, что односторонние производные в точке x0 могут

120

существовать и в том случае, когда обычной производной в этой точке функция не имеет.

Пусть функция y = f (x) определена на некотором множестве X , а мно-

жество D состоит из всех тех точек множества X , в которых существует производная функции y = f (x). Если каждому x0 D поставим в соответствие число f ′(x0 ), то получим на множестве D функцию, которую называют про-

изводной функцией функции y = f (x). Обозначают ее обычно символами: f ′(x) - (читается: «эф штрих от икс»),

y′- (читается: «игрек штрих»),

y′(x) - (читается: «игрек штрих от икс»), y′x - (читается: «игрек штрих по икс»),

dydx - (читается: «дэ игрек по дэ икс»).

Отыскание производной заданной функции называется дифференцированием этой функции.

Используя определение производной, приведем примеры дифференцирования некоторых основных элементарных функций.

Пример 1. y = f (x)= C, где C = const .

Областью определения этой функции является множество R всех

Таким образом, функция y = C дифференцируема в любой точке чи-

словой прямой, причем ее производная равна нулю:

(C)′ = 0.

121

Пример 2. y = sin x.

Функция определена на множестве R всех действительных чисел. За-

Воспользовавшись первым замечательным пределом и непрерывностью функции cos x , окончательно получаем:

(sin x)′ = cos x .

Аналогично можно показать, что

(cos x)′ = −sin x .

Пример 3.

Область определения заданной функции – множество R всех действи-

скольку x0 - произвольная точка из R , то получили, что функция y = a x в лю-

бой точке имеет производную, причем

(a x )′ = a x ln a .

122

(loga x )′ = x1 loga e .

В частности, при a = e получим

123

124

2. Воспользовавшись определением производной, найти производные следующих функций:

§2. Таблица производных основных элементарных функций