mat_analiz

Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Красноярский государственный педагогический университет им. В.П. Астафьева

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

данной главы доказано, что предел

.pdf

Скачиваний:

170

Добавлен:

10.02.2015

Размер:

2.98 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 / 3611 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

											2		x					2		x
							x				2							2
	3	x	+ 2	x		3		1		+						1	+					1
		x		x		3		1		+						1	+	3
lim					= lim						3			=	lim			3			=		.
lim	3x+1 − 2x				= lim									=	lim				x		=	6	.
x→+∞ 2	3x+1 − 2x				x→+∞		x				2	x			x→+∞			2	x			6
						3			6	−						6 −


										3							3
										3							3

г) lim

3x + 2

= lim(3x + 2)

= ∞.

x2 − 9

x2 −

x→3

Действительно, функция (3x + 2)

ограничена в окрестности точки x = 3 ; а

функция x2

−9 является бесконечно малой при x → 3 , поэтому

есть бес-

−9

конечно большая, а произведение ограниченной и бесконечно большой

функции есть бесконечно большая функция (см. теоремы 17 и 20е).

д) lim

(x +1)sin x

= lim

x +1

sin x . Имеем

x→∞ x2 + 3x +1

x→∞ x2 + 3x +

x 1

x +1

1 + x

lim

= lim

= 0 .

3x +1

x →∞ x 2 +

x →∞

1 +

x 2

Так как sin x ≤1 при любых x , то по теореме 21 о произведении бесконечно

малой и ограниченной функций получим

lim

x +1

sin x = 0 .

+ 3x +1

x→∞ x2

е) Так как lim(10x − 4)=16 и lim

, то по теореме 19г получим

x→2

lim

lim(10x − 4)x

= (lim(10x − 4))x→2 x

=16 2 = 4 .

x→2

6. Замечательные пределы

Приведем два замечательных предела и их следствия, используя которые, можно раскрывать неопределенности.

Первый замечательный предел. Справедливо равенство:

			lim	sin x	=1	(16)
			lim		=1	(16)
			x→0 x
Доказательство. Рассмотрим случай, когда x → 0 и						x > 0 , то есть
x → 0 + 0 . Для	0 < x <	π	справедливо неравенство sin x < x < tg x			. Поделив его
		2

на sin x (здесь sin x > 0 ), получим неравенство 1 <

которое равно-

sin x

cos x

сильно неравенству

sin x

<1. Так как

lim cos x =1, то по теореме 23 о

cos x

x→0

пределе сжатой переменной находим 1 ≤ lim

sin x

≤1 , то есть

lim

sin x

=1 .

x→0

x>0

Рассмотрим теперь случай, когда x → 0 и x < 0 , то есть x → 0 − 0 .

Введем новую переменную y = −x , тогда y → 0 и y > 0 . Сделаем теперь заме-

ну переменной под знаком предела:

lim	sin x	= lim sin x		= lim	sin(− y)	= lim	−sin y	= lim sin y		=1
x→0−0	x	x→0	x	−y →0	− y	y →0	− y	y →0	y
		x<0		y >0		y >0		y >0

Таким образом, получено, что односторонние пределы при x → 0 равны, а то-

гда существует предел lim

sin x

=1 . Что и требовалось доказать.

x→0

Следствия первого замечательного предела

lim

1 − cos x

(17 а)

x→0

lim

tg x

(17 б)

x→0 x

lim

arcsin x

(17 в)

x→0

lim

arctg x

(17 г)

x→0

Второй замечательный предел:

= e

(18)

lim 1

x→∞

Доказательство. Рассмотрим случай, когда x → +∞ . В примере 19

Обозначим n = [x]

где [x]

-целая часть числа x . Так как справедливо

неравенство n ≤ x ≤ n +1 , то справедливо неравенство

1 n+1

≤ 1

≤ 1 +

для любого x >1.

n +1

Очевидно, что крайние члены последнего неравенства при n → ∞, стремятся к числу e :

1 n

n+1

lim 1 +

= e

и lim 1

= lim 1

lim 1

= e .

n +1

n→∞

n +1

n→∞

n←∞

n→∞

По теореме 23 о пределе сжатой переменной имеем

1 x

= e

lim 1 +

x→+∞

Рассмотрим теперь случай, когда

x → −∞ .

Введем новую переменную

y = −1 − x , тогда y → +∞ при x → −∞ . Сделаем замену переменной под знаком предела, тогда получим, что

−1−y

− y

−1−y

y+1

= lim

lim 1

lim

x→−∞

y→+∞

−1 − y

y→+∞

−1 − y

y→+∞

y+1

= lim

= lim 1

lim 1

= e

y←+∞

y→+∞

Объединяя результаты, полученные при x → +∞ и x → −∞ , получаем, что

		1	x
lim 1	+			= e
		x
x→∞

Что требовалось доказать.

Следствия второго замечательного предела:

			1
lim(1 + x)
				x	= e	(19	а)
x→0
lim	ln(1 + x)				=1	(19	б)

x→0		x
lim	e x	−1	=1			(19 в)
		x
x→0

Примеры 35. Найти следующие пределы:

а) lim	4 + sin x − 2	;	б) lim	sin(x −5)	; в)
	x			5 − x
x→0			x→5

Решение: а) При x → 0

под знаком предела имеем неопределен-

ность вида

. Умножим числитель и знаменатель на

4 + sin x + 2

и, проведя

тождественные преобразования, получим, что

lim

4 +sin x − 2

= lim (

4 +sin x − 2)( 4 + sin x + 2)

= lim

sin x

x→0

4 +sin x + 2)

x→∞ x( 4 +sin x + 2)

= lim sin x

lim

= 1

x→0

4 +sin x + 2

б) При x → 5 под знаком предела имеем неопределенность вида

. Положим

x −5 = y , тогда

y → 0 при

x → 5 . сделав замену переменной под знаком пре-

дела, найдем предел:

lim

sin(x −5)

= lim

sin y

= −1 .

5 − x

x→5

y→0 − y

1
в) lim(1 + x)		. В данном случае под знаком предела при x → 0 имеем неопре-
	sin x
x→0

деленность вида 1∞ . Раскроем ее, преобразуя выражение под знаком предела. Умножим числитель и знаменатель показателя степени на x

1			1 x		1 x
lim(1 + x)		= lim(1 + x)		= lim(1 + x)
	sin x		x sin x		x sin x
x→0		x→0		x→0

По следствию

второго

замечательного

предела

(формула (19а) имеем

lim(1 + x)

= e , а

lim

= lim

=1 . Отсюда получаем, что

sin x

x→0

→0

lim

(1 + x)

sin x = lim (1

+ x)

x→0 sin x = e1 = e .

x→0

Справедливость действий обусловлена теоремой 19г.

г) При x → ∞ под знаком предела

имеем неопределенность вида

lim x e

x −

x→∞

∞ 0 . Введем новую переменную

y =

тогда

y → 0

при x → ∞. Сделаем за-

мену переменной под знаком предела:

tgy

etgy −1

(etgy −1) tg y

etg y −1

tg y

−1)= lim

lim x

−1

= lim

tg y y

= lim

y→0

tg y

x→∞

y→0

100

x → ∞.

В силу следствия первого замечательного предела (формула 17б) имеем:

lim tgy =1 .

y→0 y

Найдем lim	etgy −1	, для чего введем новую переменную z = tgy . которая стре-

y→0 tgy
мится к нулю при y → 0 .
Тогда получим, что:
		lim	etgy −1	= lim	e z −1	=1
			tgy		z
		y→0		z→0

Последнее равенство справедливо в силу следствия второго замечательного предела (формула (19в)).

Таким образом, получаем, что

= lim

etgy −1

tgy

= lim

etgy −1

lim

tg y

=1.

lim x e

−1

tgy

tg y

x→∞

y→0

7. Сравнение бесконечно малых величин

Рассмотрим ряд функций α(x), β(x), γ(x), одной и той же перемен-

ной x , которые являются бесконечно малыми функциями при некотором условии Р изменения значения x . Представляет интерес сравнение бесконечно малых функций по характеру их приближения к нулю при этом условии: одни бесконечно малые стремятся к нулю "быстрее", другие "медленнее".

Например, бесконечно малая α(x)= x13 стремится к нулю при x → +∞ с

"большей скоростью", чем бесконечно малая β(x)= 1x .

В основу сравнения двух бесконечно малых величин (функций) положено рассмотрение предела отношения этих величин. Если же отношение бесконечно малых предела не имеет ни конечного, ни бесконечного , то такие бесконечно малые называются несравнимыми.

Пусть α(x ) и β(x ) две бесконечно малые величины при некотором ус-

ловии Р изменения х, например, при x → a или при

101

Определение 29. Величина α(x) называется бесконечно малой высше-

го порядка малости по отношению к бесконечно малой β(x) при условии Р,

если предел их отношения при этом условии равен нулю:

lim α((x )) = 0 .

P β x

Определение 30. Величина α(x) называется бесконечно малой низшего порядка малости по отношению к бесконечно малой β(x)при условии Р из-

менения x , если отношение α(x) к β(x) является бесконечно большой вели-

чиной:

lim α((x )) = ∞ .

P β x

Определение 31. Две бесконечно малые величины α(x) и , β(x) назы-

ваются бесконечно малыми одного порядка малости при условии Р изменения x , если предел их отношения конечный и отличен от нуля:

lim	α(x )	= A , A ≠ 0.
	β(x )
P

В случае, если A =1, бесконечно малые называются эквивалентными. Эквивалентность бесконечно малых величин: обозначает следующим образом: α(x)~ β(x) при x → a .

Пример 36. Даны бесконечно малые величины sin 5x , x3 , 2x , ln(1 + x)

при x → 0 . Какие из них являются величинами одного порядка малости, величинами высшего порядка малости и величинами низшего порядка малости по сравнению с x при x → 0 ?

Решение. Для получения ответа на поставленный вопрос, следует найти пределы отношения каждой из данных бесконечно малых величин к


бесконечно малой					x при x → 0
а)	lim	sin 5x		= lim	5sin 5x	= 5 lim	sin 5x	= 5 1 = 5 .	Следовательно,	величина
					5x
	x→0		x	x→0		x→0 5x
α(x)= sin 5x			бесконечно малая одного порядка малости с бесконечно малой
величиной β(x )= x					при x → 0 .

102

б) lim	x3	= lim x2 = 0 . Следовательно, величина ϕ(x )= x 3 , есть бесконечно малая

x→0 x		x→0

величина высшего порядка малости по отношению к величине β(x )= x при

x → 0 .
в)	lim		2x = lim		2 = ∞. Следовательно, величина γ(x)=	2x есть бесконечно
	x→0		x	x→0	x

малая низшего порядка малости по сравнению с β(x )= x						при x → 0 .
г)	lim	ln(1 + x)		=1 (см. формулу (19б)). Следовательно, величина ln(1 + x) и x яв-

	x→0		x

ляются бесконечно малыми величинами одного порядка при x → 0 , более того, эквивалентными. Можно записать ln(1 + x)~ x при x → 0 .

Нетрудно получить ряд эквивалентных бесконечно малых величин при x → 0 :

а)	sin ax	~ ax ;
б)	tg ax	~ ax ;
в) arcsin ax ~ ax ;
г)	arctg	ax ~ ax ;
д)	ln(1 + ax)~ ax ;				(20)
е)	1 + x −1 ~		1 x ;
			2
ж)	eax −1 ~ ax ;
з)	1 − cos x ~		1	x 2 .
			2

	Таким			образом, имея эквивалентные бесконечно	малые величины,

можно получить формулы приближенного вычисления значений некоторых функций. Если x близко к нулю, то справедливы следующие формулы :

а)	sin ax	≈ ax ;
б)	tg ax	≈ ax ;

в) arcsin ax ≈ ax ;

г) arctg ax ≈ ax ;

103

д)

ln(1 + ax)≈ ax ;

(21)

е)

1 + x ≈1 + 1 x ;

ж)

eax

≈1 + ax ;

з)

cos x ≈1 −

x2 .

Пример 37 Вычислить значения а) 1,01 ;

б)

0,97

; в) e0,1 .

Решение. а) Введем

в рассмотрение

функцию f (x)= 1 + x

Тогда

1,01 =

1 + 0,01 = f (0,01).

По

формуле

(1.21

е)

)

1 + x ≈1 + 1 x

получаем,

что

1,01 =

1 + 0,01 ≈1 + 1 0,01 =1 + 0,005 =1,005 .

Для сравнения приведем значение взятое из таблиц

1,01 =1,0049875

б) В этом случае имеем

0,97 = 1 − 0,03 =

1 + (− 0,03) = f (− 0,03),

где

f (x)= 1 + x .

Следовательно, по

формуле (1.21 е) , при x = −0,03 получаем, что

0,97 = 1 + (− 0,03) ≈1 +

1 (−0,03)

=1 − 0,015 = 0,985

Табличное значение равно 0,984885

в)

e0,1 = f (0,1),

где

f (x)= e x .

По

формуле

(21

ж)

при x = 0,1

имеем

e0,1

≈1 + 0,1 =1,1. Из таблиц известно, что e0,1

≈1,1052 .

Замечание. При нахождении предела отношения двух бесконечно ма-

лых величин можно каждую из них (или только одну) заменить другой бесконечно малой величиной ей эквивалентной, то есть, если

α(x)~ α1 (x), β(x)~ β1 (x) приx → a, то

lim

α(x)

= lim

α1 (x)

= lim

α(x)

= lim

α1

(x)

β(x)

β1 (x)

β1

x→a

(x)

Это преобразование целесообразно проводить. если такая замена упрощает нахождение предела.

104

Пример 38. Найти предел

lim

x sin 3x

(arctg2x)2

x→0

Решение. При x → 0 справедливы (см. формулы (20)) следующие ут-

верждения sin 3x ~ 3x, arctg2x ~ 2x. Поэтому получаем

lim

x sin 3x

= lim

x sin 3x

= lim

x (3x)

(arctg2x)2

arctg2x arctg2x

(2x)(2x)

x→a

Задания для самостоятельной работы

Найти пределы:

lim

+ 3

;

2. lim 4 − x + tg2x ;

x→2 x −1

x→0

1 − x3

4. lim

+ 5x −1

;

5. lim

2x3 + 4x −1

;

5x3 +1

4x3 + 2x + 3

x→1

x→∞

7. lim

+ x −3

;

8. lim

+ 2x4 − x2

;

x→∞ 4x3 + 2x + 7

x→∞ 8x3 +3x −1

10.

lim

(x +1)4

−(x −1)4

;

11. lim (x + 2)3 + 3

+ 3 ;

x→∞

(x + 2)2

x→∞

(x + 3)3

13.

lim

x2 + 2x −8

;

14. lim 1 + x2 −1

;

x→2 2x2 −5x + 2

x→0

16.

lim

x −1

;

17. lim(

x + 7 −

x );

x →1

x −1

x→∞

19.

lim

sin 3x

;

20.

lim

sin x

;

x→0

x→ 2

22.

lim

x tgx

;

23. lim

arcsin 3x

;

− cos x

x→0

tg2x

−cos x

25.

lim

;

26. lim(1 + sin x)

;

x→0

28.

2x +1 x2

3x +1 2 x+3

lim

;

29. lim

;

3x −1

x→∞

x→0

x + 2

31.

lim

ln(1 + sin x)

;

32.

lim

x3 +1

;

x→0

2tgx

x→−1+0

x +1

cos x 3 x − π
3. lim		4 + x	4	;
x→π
4
6. lim	2x +3x2		− x3	;

x→∞		12x + 4x3
9. lim		3 x2 + 4x − 5		x ;
x→∞		x2	+1
12. lim		(x −3)	x +1 ;
x→3		x2 −9

15. lim x −1 ; x→1 x − x

18.				x	4		;

				2
	lim x −		x		−1
	x→∞
21. lim		sin(x − 2)				;

	x→2	x2	− 4

24. lim x −cos x ; x→∞ x + sin x

27. lim x +1 x ; x→∞ x + 2

30. lim e x−3 −1;

x→3 x2 −9

33. lim	x3 +1		;
		x +1
x→−1−0

105

34. lim f (x), где

f (x)= 2 − x2

при

x ≥ 2

;

x→2±0

1 + x

при

x < 2

при

< 0 ;

35. lim f (x), где

f (x )=

x→±0

при

x > 0

Ответы:

1. 7;

2. 4;

3. 0;

;

; 6.

−

;

7. 0; 8. ∞;

9. 0;

10. ∞;

11. 2;

12.

;

13.

14.

;

15. 1;

16.

;

17. 0; 18. ∞;

19.

; 20.

;

21.

; 22. 2;

23.

;

24. 1;

25. 1; 26. e ;

27.

;

28. 0; 29.

; 30.

; 31.

;

32. 3;

33. -3;

34. 3, при

x → 2 − 0 ;

-2 при

x → 2 + 0 ; 35. ∞ при x → 0 − 0 ;

1 при x → 0 + 0 .

§6. Непрерывность функции

1.Непреывность функции в точке

Пусть функция

f (x) определена в точке x0 и некоторой ее окрестности.

Определение 32. Функция

f (x) называется непрерывной в точке x0 ,

если предел функции

f (x)

в точке x0 существует и равен значению функции

в этой точке:

lim f (x)= f (x0 )

(22)

x→x0

Если функция

f (x)

непрерывна в точке

x0 , то точку x0

называют

точкой непрерывности функции

f (x).

Если предел функции

f (x) в точке x0 не существует либо его значение

не равно значению функции в этой точке, то говорят, что функция в точке x0 функция терпит разрыв, а точку x0 называют точкой разрыва функции.

Если существует в точке x0 предел функции f (x)слева и он равен значению функции в этой точке , то говорят что функция f (x) в точке x0

непрерывна слева:

lim f (x )= f (x 0 − 0)= f (x 0 )

x →x 0 −0

106

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 / 3611 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
23.03.2016530.94 Кб99latina.doc
#
24.04.20192.01 Mб61Leblanc_Lupin_M.doc
#
20.04.2019154.82 Кб82Lektsii_po_gos_upravleniyu_i_politike.docx
#
20.09.2019390.14 Кб276lexicologie.doc
#
10.02.20154.22 Mб679Lysikova_O_V_Muzei_mira_Uchebnoe_posobie_-_M.pdf
#
10.02.20152.98 Mб170mat_analiz.pdf
#
25.09.20191.02 Mб57mat_logika.doc
#
01.04.2025103.94 Кб0Metodi4eskie_rekomendacii.doc
#
10.02.2015273.41 Кб65METODIChESKIE_REKOMENDATsII_Yudenko.doc
#
14.11.2019274.43 Кб53METODIChESKIE_REKOMENDATsII_Yudenko.doc
#
01.05.2025114.47 Кб0METODIChKA_PO_KURSOVOJ_DLYa_tms.docx