ИДЗ_1_С прямым методом решения СЛАУ

МИНОБРНАУКИ РОССИИ

Санкт-Петербургский государственный

электротехнический университет

«ЛЭТИ» им. В.И. Ульянова (Ленина)

Кафедра МНЭ

отчёт

по индивидуальному заданию №1

по дисциплине «Моделирование и проектирование микро- и наносистем»

Тема: ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ НЕСТАЦИОНАРНОГО ПРОЦЕССА ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ В НЕОДНОРОДНОМ ТЕЛЕ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ПРЯМЫХ МЕТОДОВ РЕШЕНИЯ СЛАУ

Вариант №16

Студентка гр. 9282		Зикратова А. А.
Преподаватель		Рындин Е. А.

Санкт-Петербург

2022

Цель работы.

Нахождение распределения температуры в многослойной структуре в каждый момент времени из заданного диапазона прямым методом решения СЛАУ.

Задание.

Рис. 1 – Общий вид неоднородной структуры

Таблица 1 – Исходные данные

№ п/п	L, мм	W, мм	Коэффициент теплопроводности k, Вт/(м К)	Плотность , кг/м3	Удельная теплоемкость C, Дж/(кг К)	Начальное и граничные условия (род) gt gxmin gxmax gymin gymax, К или К/м	Зависимость плотности мощности источников (стоков) тепла от температуры f(T), Вт/м3	Интервал времени t, c
16.	30 150 230	10 10 20 10 50 10 20 30 30 130	1000 100 200 100 300 10 10000	10000 2000 1000 2000 1000 2000 300	10000 100 1000 100 1000 100 300	300(1) 50(2) 50(2) 300(1) 0(2)	-1107 (ИДЗ №1) -1107/lgT (ИДЗ №2,3)	20

Теоретические положения

Ⅰ. Дифференциальное уравнение теплопроводности, начальные и граничные условия в обычном виде:

- -

Начальное условие:

Г

} y = [y_min, y_max], t = (t_min, t_max]

раничные условия:

1)

2)

3

} x = (x_min, x_max), t = (t_min, t_max]

)

4)

Ⅱ. Дифференциальное уравнение теплопроводности, начальные и граничные условия в дискретном виде:

Начальное условие:

,

Граничные условия:

1

} j = 1…J, m = 2…M

} i = 2…I - 1, m = 2…M

) 3) =

2) 4) =

Данное уравнение в дискретном виде решается путём представления его в матричной форме: AX = B → X = A^-1B

A – матрица коэффициентов, X – вектор-столбец искомых переменных (температур), B – вектор-столбец свободных членов.

Программа в Matlab:

clear all

close all

clc

L=[30 150 230];

L=L*1e-3;

L(3)=L(3)-L(2)-L(1);

W=[10 10 20 10 50 10 20 30 30 130]*1e-3;

kL=[1000 100 200 100 300 10 10000];

rL=[10000 2000 1000 2000 1000 2000 300];

cL=[10000 100 1000 100 1000 100 300];

gt=300;

gxmin=50;

gxmax=50;

gymin=300;

gymax=0;

F=-1e7;

tmax=20;

St=5;

t=0:tmax/St:tmax;

dt=diff(t);

M=length(t);

Sx=7;

x(1)=0;

kV(1)=kL(1);

rV(1)=rL(1);

cV(1)=cL(1);

for i=1:length(kL)

x=[x max(x)+W(i)/Sx:W(i)/Sx:max(x)+W(i)];

kV=[kV ones(1,Sx).*kL(i)];

rV=[rV ones(1,Sx).*rL(i)];

cV=[cV ones(1,Sx).*cL(i)];

end

I=length(x);

dx=diff(x);

kV=kV';

rV=rV';

cV=cV';

Sy=9;

y(1)=0;

for i=1:length(L)

y=[y max(y)+L(i)/Sy:L(i)/Sy:max(y)+L(i)];

end

dy=diff(y);

J=length(y);

k=kV;

r=rV;

c=cV;

for j=2:J

k=[k kV];

r=[r rV];

c=[c cV];

end

f=zeros(I,J,M);

for m=1:M

for j=Sy+1: 2*Sy+1

for i=1:I

if x(i)>=W(9) && x(i)<=W(9)+W(8)

f(i,j,m)=F;

end

end

end

end

A=zeros(I*J*M,I*J*M);

B=zeros(I*J*M,1);

for i=1:I

for j=1:J

A(I*J*(1-1)+I*(j-1)+i,I*J*(1-1)+I*(j-1)+i)=1;

B(I*J*(1-1)+I*(j-1)+i)=gt;

end

end

for j=1:J

for m=2:M

A(I*J*(m-1)+I*(j-1)+1, I*J*(m-1)+I*(j-1)+1)=-1/dx(1);

A(I*J*(m-1)+I*(j-1)+1, I*J*(m-1)+I*(j-1)+2)=1/dx(1);

B(I*J*(m-1)+I*(j-1)+1)=gxmin;

A(I*J*(m-1)+I*(j-1)+I, I*J*(m-1)+I*(j-1)+I)=1/dx(I-1);

A(I*J*(m-1)+I*(j-1)+I, I*J*(m-1)+I*(j-1)+I-1)=-1/dx(I-1);

B(I*J*(m-1)+I*(j-1)+I)=gxmax;

end

end

for i=2:I-1

for m=2:M

A(I*J*(m-1)+I*(1-1)+i, I*J*(m-1)+I*(1-1)+i)=1;

B(I*J*(m-1)+I*(1-1)+i)=gymin;

end

end

for i=2:I-1

for m=2:M

A(I*J*(m-1)+I*(J-1)+i, I*J*(m-1)+I*(J-1-1)+i)=-1/dy(J-1);

A(I*J*(m-1)+I*(J-1)+i, I*J*(m-1)+I*(J-1)+i)=1/dy(J-1);

B(I*J*(m-1)+I*(J-1)+i)=gymax;

end

end

for i=2:I-1

for j=2:J-1

for m=2:M

A(I*J*(m-1)+I*(j-1)+i,I*J*(m-1)+I*(j-1)+i)=r(i,j)*c(i,j)/dt(m-1)-...

2/(dx(i)+dx(i-1))*(-k(i,j)/dx(i)-k(i-1,j)/dx(i-1))-...

2/(dy(j)+dy(j-1))*(-k(i,j)/dy(j)-k(i,j-1)/dy(j-1));

A(I*J*(m-1)+I*(j-1)+i,I*J*(m-1)+I*(j-1)+i+1)=-2/(dx(i)+dx(i-1))*k(i,j)/dx(i);

A(I*J*(m-1)+I*(j-1)+i,I*J*(m-1)+I*(j-1)+i-1)=-2/(dx(i)+dx(i-1))*k(i-1,j)/dx(i-1);

A(I*J*(m-1)+I*(j-1)+i,I*J*(m-1)+I*(j+1-1)+i)=-2/(dy(j)+dy(j-1))*(k(i,j)/dy(j));

A(I*J*(m-1)+I*(j-1)+i,I*J*(m-1)+I*(j-1-1)+i)=-2/(dy(j)+dy(j-1))*(k(i,j-1)/dy(j-1));

A(I*J*(m-1)+I*(j-1)+i,I*J*(m-1-1)+I*(j-1)+i)=-r(i,j)*c(i,j)/dt(m-1);

B(I*J*(m-1)+I*(j-1)+i)=f(i,j,m);

end

end

end

TV=A^(-1)*B;

for i=1:I

for j=1:J

for m=1:M

T(i,j,m)=TV(I*J*(m-1)+I*(j-1)+i);

end

end

end

NN='Graphic_';

for m=1:M

NNN=[NN num2str(m)];

figure

mesh(y.*1e3,x.*1e3,T(:,:,m)-273);

xlabel('y, mm','FontSize',19)

ylabel('x, mm','FontSize',19)

zlabel('T, ^oC','FontSize',19)

xlim([min(y.*1e3) max(y.*1e3)])

ylim([min(x.*1e3) max(x.*1e3)])

zlim([-20 100])

grid on

colormap([0 0 0])

print(gcf,'-djpeg',NNN)

end

Результаты моделирования:

Рис. 2 – Пространственное распределение температуры в неоднородном теле при t = 0 с (прямой метод)

Рис. 3 – Пространственное распределение температуры в неоднородном теле при t = 4 с (прямой метод)

Рис. 4 – Пространственное распределение температуры в неоднородном теле при t = 8 с (прямой метод)

Рис. 5 – Пространственное распределение температуры в неоднородном теле при t = 12 с (прямой метод)

Рис. 6 – Пространственное распределение температуры в неоднородном теле при t = 16 с (прямой метод)

Рис. 7 – Пространственное распределение температуры в неоднородном теле при t = 20 с (прямой метод)

Вывод: в данной работе программа выполняет численное решение уравнения теплопроводности для неоднородного тела с использованием прямого метода решения СЛАУ. С помощью этого метода можно решить задачу одной матричной операцией, но для этого затрачивается внушительный объём оперативной памяти компьютера даже при малом количестве шагов координатных и временных сеток.