- •Линейное векторное n-мерное пространство.
- •Скалярное произведение.
- •Условие параллельности и перпендикулярности векторов.
- •Системы векторов.
- •Ранг и базис системы векторов и всего пространства.
- •Ортогональные системы векторов.
- •Матрицы. Операции над матрицами.
- •Определители. Их св-ва
- •9. Миноры и алгебраические дополнения
- •10/11. Обратная матрица. Существование.
- •12. Элементарные преобразования над матрицей. Второй способ нахождения обратной матрицы.
- •13. Ранг матрицы
- •14. Собственные векторы и собственные значения матрицы
- •15/16 Системы линейных уравнений
- •17 Решение систем методом Крамера и с помощью обратной матрицы.
- •18 Нахождение решений общей системы уравнений.
- •19 Метод Гаусса. Нахождение опорных решений.
- •20 Совместность однородной системы
- •21 Системы однородных уравнений
- •22 Расстояние между двумя точками, деление отрезка в данном отношении.
- •23 Прямая линия на плоскости. Общее уравнение, уравнение с угловым коэффициентом.
- •25 Уравнение прямой. Проходящий через данную точку в данном направлении.
- •26 Уравнение прямой проходящий через 2 данные точки и в отрезках.
- •27 Угол между двумя прямыми. Условия параллельности и перпендикулярности прямых.
- •28 Уравнение плоскости в пространстве
- •29 Уравнение прямой в пространстве.
- •30 Эллипс
- •31 Окружность.
- •32 Гипербола.
- •33 Парабола
- •34. Преобразование прямоугольной системы координат.
- •35. Метрическое пространство, открытые и замкнутые множества.
- •36 Выпуклые множества.
- •37 Решение систем линейных неравенств.
- •38 Представление выпуклого многогранника.
- •39 Область допустимых решений системы уравнений и неравенств.
- •40 Комплексные числа(к.Ч).
- •41 Действия с к.Ч.
- •42 Возведение в степень и извлечение корня из к.Ч.
25 Уравнение прямой. Проходящий через данную точку в данном направлении.
Предположим, что прямая проходит через точку M1(х1у1) и образует с OX угол фи. Составим уравнение прямой(график 2) Будем искать уравнение прямой в виде уравнения с угловым k: y=kx+b. Угловой k можно найти зная угол наклона. Возьмем произвольную точку М, лежащую на этой прямой и найдем уравнение связывающее переменны х и у. М и М1 лежат на прямой, их координаты удовлетворяют уравнение прямой. У=kx+b, y1=kx1+b. вычитаем – y-y1=k(x-x1)- уравнение прямой, проходящий через данную точку в данном направлении.
26 Уравнение прямой проходящий через 2 данные точки и в отрезках.
Даны 2 точки М1 и М2. Составим уравнение прямой, проходящий через две эти точки(график 3). Из треугольника М1М2М: k=M2M/M1M=y2-y1/x2-x1 – угловой коэффициент проходящий через две данные точки. Воспользуемся уравнением прямой проходящей через точку М1. y-y1=k(x-x1),
y-y1=(y2-y1/x2-x1)*(x-x1). Если точки имеют различные абсциссы и ординаты, то умножаем обе части на 1/y2-y1, получаем y-y1/y2-y1=x-x1/x2-x1 – уравнение прямой, проходящей через 2 данные точки. Если точки имеют одинаковые абсциссы или ординаты то используем формулу
(y-y1)(x2-x1)=(x2-x1)(y2-y1).
27 Угол между двумя прямыми. Условия параллельности и перпендикулярности прямых.
О1 Углом между двумя прямыми I и II называется угол, отсчитываемый в положительном направлении от прямой I к прямой II.
Пусть даны 2 прямые, заданные уравнениями с угловыми коэффициентами
y=k1x+b1, y=k2x+b2. Найдем угол между первой и второй прямыми. Обозначим углы наклона прямых фи1 и фи2.роведем через точку пересечения прямую, параллельную OX.(график 4). Alfa=fi2-fi1, tgalfa=tg(fi2-fi1)=(tgfi2-tgfi1)/(1+tgfi2*tgfi1)=(k2-k1)/(1+k2*k1), tgalfa= (k2-k1)/(1+k2*k1) – формула для вычисления угла между двумя прямыми.
28 Уравнение плоскости в пространстве
Т1 Всякое невырожденное уравнение первой степени с тремя переменными описывает некоторую плоскость в пространстве и наоборот.
Ax+By+Cz+D=0 – общее уравнение плоскости. A^2+B^2+C^2 не = 0- условие невырожденности. Рассмотрим случаи расположения плоскости в пространстве в зависимости от коэффициентов общего уравнения.
D=0, Ax+By+Cz=0 – проходит через начало координат
A=0, By+Cz+D=0 – параллельна оси OX
B=0, Ax+Cz+D=0 – параллельна оси OY
C=0, Ax+By+D=0 – параллельна оси OZ
A=D=0, By+Cz=0 – содержит OX
B=D=0, Ax+Cz=0 – содержит OY
C=D=0, Ax+By=0 – содержит OZ
A=B=0, Cz+D=0 – параллельна плоскости XOY
A=C=0, By+D=0 – параллельна плоскости XOZ
B=C=0, Ax+D=0 – параллельна плоскости YOZ
A=B=D=0, Cz=0 – совпадает с плоскостью XOY
A=C=D=0, By=0 – совпадает с плоскостью XOZ
B=C=D=0, Ax=0 – совпадает с плоскостью YOZ
Расстояние от точки М0 до плоскости, заданной общим уравнением Ax+By+Cz+D=0, вычисляется по формуле: d=| Ax0+By0+Cz0+D|/ корень из A^2+B^2+C^2.