20 Совместность однородной системы

Однородная система ({a11x1+a12x2+…+a1nxn=0}{a21x1+a22x2+…+a2nxn=0}…{am1x1+am2x2+…+amnxn=b0}) всегда совместна, т.к. имеет тривиальное решение x1=x2=…=xn=0

Т₁ Однородная система имеет нетривиальное решение, тогда и только, когда ранг матрицы системы < числа неизвестных. r(A)<n. Пусть система имеет ненулевое решение=>Найдутся числа не все равные 0, при подстановки в систему вместо неизвестных мы получим mтождеств 0=0

c1(a11 a21 am1)+c2(a12 a22 am2)+…+cn(a1n a2n amn)=(0 0 0) Линейная комбинация векторов столбцов матрицы А равна 0, причем не все k комбинации = 0. Следовательно система векторов столбцов матрицы А линейно зависима.Следствие – Однородная система n линейных уравнений с n неизвестными совместна только тогда, когда главный определитель системы равен 0.

21 Системы однородных уравнений

Рассмотрим однородную систему ({a11x1+a12x2+…+a1nxn=0}{a21x1+a22x2+…+a2nxn=0}…{am1x1+am2x2+…+amnxn=b0})

1. Если r(A)=n – система имеет только 0 решение

2. r(A)<n – система имеет ненулевые решения.

r переменных систем можно сделать базисными, а остальные n-r свободными. Придавая свободным переменным произвольные значения, мы будем получать различные решения системы, т.е. любому вектору размерности n-r.

О₁ Фундаментальной системой однородной системы называется максимальная линейно-независимая система решений системы. Количество фундаментальных решений системы равно n-r. Чтобы найти фундаментальную систему решений, нужно n-r мерном пространстве взять линейно независимую систему из n-r и по ним построить решения системы. Т.к. она является максимально линейно независимой, то любое решение однородной системы можно представить в виде линейной комбинации векторов фундаментальной системы. Это является общее решение однородной системы. X=d1x1+d2x2+…+dn-rXn-r

22 Расстояние между двумя точками, деление отрезка в данном отношении.

Даны две точки на плоскости с координатами A(ч1бн1) и B(x2,y2) (график, составляет треугольник АВС)

Из треугольника ABC: d=AB= корень из(x2-x1)²+(y2-y1)²

Деление отрезка в данном отношении. На плоскости даны М1(х1,у1), М2(х2,у2). Найдем на М1М2 точку N, которая делила бы данный отрезок в отношениях lyamda: M1N/NM2=lyamda. По теореме о пропорциональности прямых, пересеченных рядом параллельных прямых, получим M1N/NM2=AA1/AA2=B1B/BB2=lyamda, x-x1/x2-x=y-y1/y2-y=lyamda, x=x1+lyamdax2 /1+lyamda y=y1+lyamday2/1+lyamda. Если lyamda=1, то деление отрезка производится пополам: x=(x1+x2)/2, y=(y1+y2)/2 – формулы для нахождения координат середины отрезка.

23 Прямая линия на плоскости. Общее уравнение, уравнение с угловым коэффициентом.

О₁ Уравнением линии на плоскости называется уравнение с 2мя переменными такое, что координаты любой точки линии удовлетворяют этому уравнению.

Т₁ Любое невырожденное уравнение 1 степени с 2 переменными описывают некоторую прямую на плоскости и наоборот.

Ax+by+c=0 –общее уравнение кривой a²+b² не =0 – условие невырожденности.

1. С=0, Ax+By=0 – прямая проходит через начало координат. A=0, By+C=0 – прямая проходит параллельно оси OX. B=0, Ax+C=0 – прямая проходит параллельно оси OY.

2. A=C=0, By=0 – прямая совпадает с осью OX. B=C=0, Ax=0 – прямая совпадает с осью OY.

Расстояние от точки М до прямой находится по формуле: d=|Ax0+By0+C|/корень из A²+B²

Уравнение с угловым k Предположим что прямая расположена под углом фи к оси OX и отсекает от оси OY отрезок в b единиц. Составим уравнение прямой(график 1). Возьмем точку М лежащую на прямой и найдем уравнение, связывающее переменные х и у. AM=AN+NM, где АМ = у, AN=b. Из треугольника BMN: MN=BN*tgфи. Пусть tgфи=k и назовем его угловым k прямой. MN=kx Подставляя в равенство AM=AN+NM получим

y=kx+b – уравнение прямой с угловым коэффициентом.