- •Линейное векторное n-мерное пространство.
- •Скалярное произведение.
- •Условие параллельности и перпендикулярности векторов.
- •Системы векторов.
- •Ранг и базис системы векторов и всего пространства.
- •Ортогональные системы векторов.
- •Матрицы. Операции над матрицами.
- •Определители. Их св-ва
- •9. Миноры и алгебраические дополнения
- •10/11. Обратная матрица. Существование.
- •12. Элементарные преобразования над матрицей. Второй способ нахождения обратной матрицы.
- •13. Ранг матрицы
- •14. Собственные векторы и собственные значения матрицы
- •15/16 Системы линейных уравнений
- •17 Решение систем методом Крамера и с помощью обратной матрицы.
- •18 Нахождение решений общей системы уравнений.
- •19 Метод Гаусса. Нахождение опорных решений.
- •20 Совместность однородной системы
- •21 Системы однородных уравнений
- •22 Расстояние между двумя точками, деление отрезка в данном отношении.
- •23 Прямая линия на плоскости. Общее уравнение, уравнение с угловым коэффициентом.
- •25 Уравнение прямой. Проходящий через данную точку в данном направлении.
- •26 Уравнение прямой проходящий через 2 данные точки и в отрезках.
- •27 Угол между двумя прямыми. Условия параллельности и перпендикулярности прямых.
- •28 Уравнение плоскости в пространстве
- •29 Уравнение прямой в пространстве.
- •30 Эллипс
- •31 Окружность.
- •32 Гипербола.
- •33 Парабола
- •34. Преобразование прямоугольной системы координат.
- •35. Метрическое пространство, открытые и замкнутые множества.
- •36 Выпуклые множества.
- •37 Решение систем линейных неравенств.
- •38 Представление выпуклого многогранника.
- •39 Область допустимых решений системы уравнений и неравенств.
- •40 Комплексные числа(к.Ч).
- •41 Действия с к.Ч.
- •42 Возведение в степень и извлечение корня из к.Ч.
17 Решение систем методом Крамера и с помощью обратной матрицы.
Т1(теорема Крамера) Если определитель матрицы, составленной из коэффициентов при неизвестных, отличен от 0, то система имеет единственное решение, которое можно найти по формулам Крамера: xj=|Aj|/|A|
Для систем 2х линейных уравнений с 2мя неизвестными справедливы свойства:
-если главный определитель равен 0 и хотя бы один из вспомогательных определителей отличен от 0, то система решений не имеет.
-если главный определитель и оба вспомогательные определители равны 0, то система имеет бесконечно много решений.
Пусть дана неоднородная система n линейных уравнений с n неизвестными
({a11x1+a12x2+…+a1nxn=b1}{a21x1+a22x2+…+a2nxn=b2}…{an1x1+an2x2+…+annxn=bn}) пусть определитель матрицы, составленной из коэффициентов при неизвестных, не равен 0. => система имеет единственное решение. Если |A| не = 0, то матрица А имеет обратную матрицу А-1. Умножим обе части равенства Ах=В слева на А-1. A-1*A*x= A-1*B; E*x= A-1B; x= A-1*B. Чтобы найти решение системы, надо найти обратную матрицу к матрице, составленной из коэффициентов при неизвестных, и умножить ее справа на матрицу-столбец свободных членов B.
18 Нахождение решений общей системы уравнений.
Дана неоднородная система
({a11x1+a12x2+…+a1nxn=b1}{a21x1+a22x2+…+a2nxn=b2}…{am1x1+am2x2+…+amnxn=bm}) Предположим что система совместна. Слеовательно, существует минор порядка r матрицы A. Можно перенумеровать неизвестные.
A=({a11…a1r…a1n}{ar1…arr…arn}{am1…amr…amn})m*n Первые r уравнений системы линейно независимы. Их можно отбросить. ({a11x1+a12x2+…+a1rxr+a1r+1xr+1+a1r+2xr+2+…+a1nxn=b1} {a21x1+a22x2+…+a2rxr+a2r+1xr+1+a2r+2xr+2+…+a2nxn=b2} {ar1x1+ar2x2+…+arrxr+arr+1xr+1+arr+2xr+2+…+a r nxn=br})
О1 Переменные, коэффициенты при которых образуют минор, отличный от 0 называются базисными переменными. Остальные свободными.
О2 Выражение базисных переменных через свободных называется общим решением системы.
О3 Решение системы, полученное из общего при конкретных значениях свободных переменных называются частным решением.
О4 Частное решение, полученное из общего, когда свободные переменные = 0 называется базисным решением системы.
О5 Базисное решение, координаты которого неотрицательны, называется опорным решением системы.
19 Метод Гаусса. Нахождение опорных решений.
О1 Элементарным преобразованиями системы называются: -умножение уравнения на число, отличное от 0; -прибавление к одному уравнению другого уравнения, умноженное на некоторое число; -перестановка двух уравнений; -отбрасывание уравнения 0=0. Метод Гаусса состоит в приведении системы к диагональному виду путем последовательного исключения неизвестных. Количество исключенных равно числу линейно независимых уравнений. Переменная считается исключенной, если она содержится только в одном уравнении с коэффициентом 1. Метод гаусса удобно применять к расширенной матрице системы, левую часть которой нужно привести к единичной матрице. Нахождение опорных решений системы. Для того чтобы полученная методом Гаусса базисное решение было опорным необходимо: 1. При заполнении исходной таблицы Гаусса, все свободные члены делают неотрицательными. 2. При преобразовании Жордана ключевой элемент выбирается специальным образом: - в качестве ключевого столбца выбирают тот, в котором есть хотя бы один ключевой элемент; -качество ключевой строки берется та, у которой отношение сводного члена к положительному элементу ключевого столбца минимально. На пересечении ключевой строки и ключевого столбца находится ключевой элемент. Далее проводят обычное преобразование Жордана.