12. Элементарные преобразования над матрицей. Второй способ нахождения обратной матрицы.

О₁ Элементами преобразующие матрицы называется:

1. Умножение строки на число отличное от 0

2. Перестановка строк

3. Прибавление элементам одной строки, соответствующих элементов другой, умноженных на одно и то же число

4. Отбрасывание строки из 0

О₂ Две матрицы называются эквивалентными, если от одной можно перейти к другой с помощью конечного числа элементарных преобразований.

Т₁ Любую невырожденную квадратную матрицу элементарными преобразованиями можно привести к единичной матрице. Если эту же последовательность элементарных преобразований применить к единичной матрице, то будет получено обратная матрица к исходной.

Обычно элементарное преобразование происходит одновременно над исходной и единичной матрицей. Составляется расширенная матрица, в левой части – исходная, в правой – единичная матрица того же порядка. С помощью элементарных преобразований в левой части получают единичную матрицу, при этом в правой получается обратная.

13. Ранг матрицы

О₁­ Рангом матрицы называется наивысший порядок минора отличного от 0.

О₂ Минор порядка r=r(A) отличный от 0 называют базисным минором матрицы, строки и столбцы в которых он расположен называют базисным.

Т₁ Любая строка/столбец матрицы может быть представлена в виде линейной комбинации базисных строк/столбцов.

Т₂ Ранг матрицы равен max числу линейно независимых строк/столбцов матрицы. При элементарных преобразованиях ранг матрицы не меняется. Ранг треугольной матрицы равен кол-ву ненулевых строк.

Чтобы найти ранг матрицы, ее элементарными преобразованиями приводят к треугольному виду и определяют ранг.

14. Собственные векторы и собственные значения матрицы

О₁ Число alfa называется собственным значением квадратной матрицы A, если найдется вектор х такой, что Ах=alfax. Вектор х называется собственным вектором матрицы А, соответствующим данному собственному значению.

Т₁ Собственные значения матрицы А являются решениями уравнения.

Т₂ Число различных собственных значений квадратной матрицы не превосходит ее порядка. Собственные векторы, отвечающие различным собственным значениям, линейно независимы.

15/16 Системы линейных уравнений

О₁ Система вида ({a11x1+a12x2+…+a1nxn=b1}{a21x1+a22x2+…+a2nxn=b2}…{am1x1+am2x2+…+amnxn=bm}) называется системой m линейных уравнений с n неизвестными.

О₂ Если все свободные члены равны нулю, то система называется однородной, и неоднородной – в противном случае.

О₃ Решением системы называется совокупность из n чисел с1, с2,…,сn при подстановке которой в систему вместо неизвестных будет получено m числовых тождеств.

О₄ Система называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной в противном случае.

О₅ Совместная система называется определенной, если она имеет единственное решение, и неопределенной – а противном случае.