- •Линейное векторное n-мерное пространство.
- •Скалярное произведение.
- •Условие параллельности и перпендикулярности векторов.
- •Системы векторов.
- •Ранг и базис системы векторов и всего пространства.
- •Ортогональные системы векторов.
- •Матрицы. Операции над матрицами.
- •Определители. Их св-ва
- •9. Миноры и алгебраические дополнения
- •10/11. Обратная матрица. Существование.
- •12. Элементарные преобразования над матрицей. Второй способ нахождения обратной матрицы.
- •13. Ранг матрицы
- •14. Собственные векторы и собственные значения матрицы
- •15/16 Системы линейных уравнений
- •17 Решение систем методом Крамера и с помощью обратной матрицы.
- •18 Нахождение решений общей системы уравнений.
- •19 Метод Гаусса. Нахождение опорных решений.
- •20 Совместность однородной системы
- •21 Системы однородных уравнений
- •22 Расстояние между двумя точками, деление отрезка в данном отношении.
- •23 Прямая линия на плоскости. Общее уравнение, уравнение с угловым коэффициентом.
- •25 Уравнение прямой. Проходящий через данную точку в данном направлении.
- •26 Уравнение прямой проходящий через 2 данные точки и в отрезках.
- •27 Угол между двумя прямыми. Условия параллельности и перпендикулярности прямых.
- •28 Уравнение плоскости в пространстве
- •29 Уравнение прямой в пространстве.
- •30 Эллипс
- •31 Окружность.
- •32 Гипербола.
- •33 Парабола
- •34. Преобразование прямоугольной системы координат.
- •35. Метрическое пространство, открытые и замкнутые множества.
- •36 Выпуклые множества.
- •37 Решение систем линейных неравенств.
- •38 Представление выпуклого многогранника.
- •39 Область допустимых решений системы уравнений и неравенств.
- •40 Комплексные числа(к.Ч).
- •41 Действия с к.Ч.
- •42 Возведение в степень и извлечение корня из к.Ч.
Определители. Их св-ва
О1 Определители квадратной матрицы А называется число равное сумме n! Слагаемых каждая из которых равна произведению n элементов матрицы A взятых по одному из каждой строки и каждого столбцы со своим знаком и обозначается |A| или det A
Определители 2 порядка. n!=2!=2
Определители 3 порядка. n!=3!=6
Свойства определителей.
Т1 При транспонировании величина определителя не меняется. Следствие- Св-ва справедливые для строк будут и справедливы для столбцов.
Т2 Если в определителе поменять местами две строки, то сменит знак на противоположный. Следствие – Если в определителе две строки равны, то он равен 0.
Т3 Если все элементы строки определителя умножить на некоторое число, то величина определителя умножится на это число. Следствие 1 – Постоянный множитель строки можно выносить за знак определителя. Следствие 2 – Если в определителе 2 строки пропорциональны, то она равна 0.
Т4 Если все элементы строки определителя являются суммами k слагаемых, то определитель будет равен сумме определителя у которых все элементы, кроме этой такие же, а в данной строке у первого стоит первое слагаемое, у второго – второе и т.д. Следствие – Если одна из строк определителя является линейной комбинацией остальных, то определитель = 0.
Т5 Если к элементам строки определителя прибавить соответствующие элементы другой строки, умноженные на некоторое число, то величина определителя не изменяется.
9. Миноры и алгебраические дополнения
Дана матрица Аm*n
О1 Минором порядка k <=min(m;n) называется определитель порядка k полученный из матрицы А вычеркиванием m-k строк, n-k столбцов.
Дана матрица Аn*n
О2 Дополнительным минором к элементу аij называется определитель порядка n-1 полученный из матрицы А вычеркиванием этого элемента вместе со строкой и столбцом в котором он расположен.
О3 Алгебраическим дополнением к элементу aij называется величина
Аij= (-1)(t)Mij
Т1 Определитель квадратной матрицы равен сумме по парных произведений элементов любой строки матрицы на их алгебраических выражениях.
|A|=ai1 Ai1+ai2Ai2+…+ainAin – разложение определителя по i строке.
Т2 Сумма по парных произведений элементов любой строки определителя на алгебраические дополнения к соответствующим элементам другой строки = 0.
Вычислители определителей порядка выше 3х основана на Т3 и св-ва 5 определителей.
10/11. Обратная матрица. Существование.
О1 Квадратная матрица An*x называется вырожденной, если ее определитель равен 0 и невырожденной в противном случаи.
О2 Обратной матрицей квадратной матрицы An*n называется А-1обладающий свойством А-1*A=A* А-1=E
Т1 Любая невырожденная квадратная матрица имеет единственную обратную матрицу.
Док-во(Единственность) Предположим что обратная матрица существует, покажем что она единственная. Предположим противное – матрицы имеют две обратные А-1*A^, тогда выполняется 6 равенств: А-1*A=A* А-1=E A^*A=A*A^=E A^*A*А-1=E А-1 A^E= А-1 A^= А-1 – противоречие
Док-во(Существование) Дана An*n 1.({a11 a12 … a1n}{a21 a22 … a2n} {an1 an2 … ann}n*n) 2. Заменим все элементы их алгебраической дополнением: ({A11 A12 …A1n}{A21 A22 … A2n} {An1 An2 … Ann}n*n) 3. ТРАНСПОНИРУЕМ МАТРИЦУ ({A11 A21 …An1}{A12 A22 … An2} {A1n A2n … Ann}n*n) 4. Разделим все элементы на число |A|: A-1=(A)T/|A|=({A11/|A| A21/|A| …An1/|A|}{A12/|A| A22/|A| … An2/|A|} {A1n/|A| A2n/|A| … Ann/|A|}n*n) Проверим, что полученная матрица обратная, для этого умножим ее на А. A*A-1=C C=E ч.т.д.