- •Линейное векторное n-мерное пространство.
- •Скалярное произведение.
- •Условие параллельности и перпендикулярности векторов.
- •Системы векторов.
- •Ранг и базис системы векторов и всего пространства.
- •Ортогональные системы векторов.
- •Матрицы. Операции над матрицами.
- •Определители. Их св-ва
- •9. Миноры и алгебраические дополнения
- •10/11. Обратная матрица. Существование.
- •12. Элементарные преобразования над матрицей. Второй способ нахождения обратной матрицы.
- •13. Ранг матрицы
- •14. Собственные векторы и собственные значения матрицы
- •15/16 Системы линейных уравнений
- •17 Решение систем методом Крамера и с помощью обратной матрицы.
- •18 Нахождение решений общей системы уравнений.
- •19 Метод Гаусса. Нахождение опорных решений.
- •20 Совместность однородной системы
- •21 Системы однородных уравнений
- •22 Расстояние между двумя точками, деление отрезка в данном отношении.
- •23 Прямая линия на плоскости. Общее уравнение, уравнение с угловым коэффициентом.
- •25 Уравнение прямой. Проходящий через данную точку в данном направлении.
- •26 Уравнение прямой проходящий через 2 данные точки и в отрезках.
- •27 Угол между двумя прямыми. Условия параллельности и перпендикулярности прямых.
- •28 Уравнение плоскости в пространстве
- •29 Уравнение прямой в пространстве.
- •30 Эллипс
- •31 Окружность.
- •32 Гипербола.
- •33 Парабола
- •34. Преобразование прямоугольной системы координат.
- •35. Метрическое пространство, открытые и замкнутые множества.
- •36 Выпуклые множества.
- •37 Решение систем линейных неравенств.
- •38 Представление выпуклого многогранника.
- •39 Область допустимых решений системы уравнений и неравенств.
- •40 Комплексные числа(к.Ч).
- •41 Действия с к.Ч.
- •42 Возведение в степень и извлечение корня из к.Ч.
Ранг и базис системы векторов и всего пространства.
О1 Рангом системы векторов называется max число линейно независимых векторов системы. Rang(a1,a2,…ap)=к
О2 Базисом системы векторов называется max линейно независимая подсистема данной системы векторов.
Т1 Любой вектор системы можно представить в виде линейной комбинации векторов базиса системы. Док-во: Пусть система a1,a2…ak, ak+1, ap имеет базис a1,a2…ak. 1. Вектор из базиса: a1=1*a1+0*a2+…+0*ar 2. Вектор не из базиса: ar+1 a1,a2,…,ar,ar+1 – линейно зависима. Найдутся числа lyamda1, lyamda2,…, lyamdar+1 не все равные 0. Очевидно, что lyamdar+1 не = 0. Если lyamdar+1 = 0, то базис линейно зависима. Ранг и базис пространства.
Т1 Ранг пространства равен его размерности. R(E^n)=n Док-во: По следствию из Т Штейнца(Если каждый из векторов b1, b2 является линейной комбинацией векторов a1, a2 и m>n, то система векторов b1, b2 линейно зависима. Следствие- В любой системе n-мерных векторов не может быть больше чем n линейно независимых.) n(E^n)<=n. С другой стороны в n-мерном пространстве есть линейно независимая система содержащая n векторов. Следствие 1. В n мерном пространстве любая система содержащая более n векторов линейно зависимая. Следствие 2. Любая линейно независимая система n мерных векторов содержащая n векторов образует базис в пространстве. Следствие 3. Любой вектор пространства можно единственном образом разложить по векторам любого базиса.
Ортогональные системы векторов.
О1 Система n-мерных векторов называется ортогональными , если все векторы этой системы попарно ортогональны.
Т1 Ортогональная система линейно зависима. Док-во: Предположим противное – система линейно зависима. Lyamda1*a1 + lyamda2*a2+…+ lyamdak*ak=0 умножим скалярно на a1. Lyamda1a1^2=0=> lyamda1-0 Аналогично умножим на a2, a3… получим lyamda2= lyamda3…=0
Матрицы. Операции над матрицами.
О1 Прямоугольная таблица чисел вида( {a11 a12 a1n}{a21 a22 a2n}{am1 am2 amn}) называется прямоугольной матрицей размера m*n, числа a называют элементами матрицы.
О2 Если m=n, то матрица называется квадратной матрицей n.
О3 Матрица размера 1*n называется матрицей-строкой, размера m*1 – матрицей столбца.
О4Квадратная матрица называется диагональной, если все элементы вне ее главной диагонали равны 0.
О5 Диагональная матрица n-порядка, у которой диагональные элементы равны единице, называется единичной матрицей и обозначается E.
О6 Матрица называется матрицей треугольного вида, если все элементы над(под) главной диагональю равны 0. Операции над матрицами.
О1 Транспонирование матрицы A называется такое преобразование при котором строки и столбцы меняются ролями с сохранением номеров. A^Tm*n=Cm*n
О2 Суммой(разностью) двух матриц одного размера A и B называется матрицей того же размера С, каждый элемент которой равен сумме(разности) соответствующих элементов исходных матриц. Am*n + Bm*n=Cm*n
О3 Произведением матрицы A на число k называется матрица того же размера C, каждый элемент которой равен произведению соответствующих элементов исходной матрицы на это число. K*Am*n=Cm*n
О4 Произведением 2х матриц размеры которых заданы соотношением: кол-во столбцов первой равна кол-ву строк второй называется матрица у которой кол-во строк как у первой, кол0во столбцов как у второй.
О5 Каждый элемент матрицы произведения равен сумме по парных произведению элементов соответствующей строки первой матрицы и элементов соответствующего столбца второй. Am*p * Bp*n = C m*n.