39 Область допустимых решений системы уравнений и неравенств.

Пусть дана система из m линейных уравнений и неравенств с n неизвестными.

(({a11x1+a12x2+…+a1nxn=b1}{aL1x1+aL2x2+…+aLnxn=bL})=>L ({aL+1x1+aL+12x2+…+aL+1nxn<=bL+1}{am1x1+am2x2+…+amnxn=bm})m-1).

О₁ Точка x принадлежащая R^n называется возможным решением системы, если ее координаты удовлетворяют уравнениям и неравенствам системы. Совокупность всех возможных решений называется областью возможных решений системы.

О₂ Возможное решение, координаты которого неотрицательны, называется допустимым решением системы. Множество всех допустимых решений называется областью допустимых решений системы.

Т₁ ОДР является замкнутым, выпуклым, ограниченным подмножеством в R^n.

Т₂ Допустимое значение системы является опорным тогда и только, когда эта точка является угловой точкой ОДР.

Т₃ Если ОДР- ограниченное множество, то любое допустимое решение можно представить в виде выпуклой линейной комбинации угловых точек ОДР.

Т₄ Если система имеет хотя бы одно допустимое решение, то среди допустимых решений существует хотя бы одно опорное решение.

40 Комплексные числа(к.Ч).

Комплексным числом называется число z=a+ib, где a и b действительные числа, а i линейная единица, определяемая равенством i=-1, a называется действительной частью, а b мнимой.

О₁ Два комплексных числа считаются равными, если у них совпадают действительные и мнимые части.

Если у комплексного числа действительная часть равна 0, то число называется чисто мнимым, если мнимая часть равна 0, то мы получаем действительное число. Геометрическая интерпретация. Любое комплексное число можно представить на плоскости в виде точки с координатами (a;b). Любому к.ч. соответствует некоторая точка на плоскости и ее называют плоскостью к.ч.(график 11). Тригонометрическая форма записи. Рассмотрим к.ч. Ему соответствует плоскость A(a;b) и вектор OA.

О₁ Длина вектора OA называется модулями к.ч. и обозначается |z|, угол который он образует называют аргументом к. ч. и обозначают argz. |z|=корень bp(a^2+b^2) argz определяется с точностью до 2Пk. Argz= arctg b/a= fi.

Z=|z|(cos fi +i sin fi) – тригонометрическая запись к.ч.

41 Действия с к.Ч.

О₁ Суммой(разностью) двух к.ч. z1 и z2 называется к.ч. у которого действительная часть равна сумме действительных частей, а мнимая – сумме мнимых. Z=z1+z2=a1+ib1+a2+ib2=(a1+a2)+(ib1+ib2).

О₂ Произведение двух к.ч. z1 и z2 называется к.ч. получаемая при перемножении их на двучленов. Z=z1*z2=(a1+ib1)*(a2+ib2)=(a1a2-b1b2)+i(a1b2+a2b1)

О₃ При умножении к.ч. в тригонометрической форме модули перемножаются, а аргументы складываются. |z|=|z1|*|z2| ArgZ=ArgZ1+ArgZ2. Деление чисел. К.ч. называются сопряженными (a+ib)= корень из(a^2+b^2); (a+ib)(a-ib)= a^2+b^2. Произведение сопряженных чисел является действительным числом и равно квадрату модуля каждого из них. Чтобы разделить одно к.ч. на другое, необходимо написать одно число под другим и умножить числитель и знаменатель на сопряженное к знаменателю. Утверждение. При делении к.ч. модули делятся, а аргументы вычитаются. |z|=|z1|/|z2| ArgZ=ArgZ1 - ArgZ2; Z1/Z2=(|z1|(cos fi1 +isin fi1))/ (|z2|(cos fi2 +isin fi2))= (|z1|/|z2|)(cos(fi1-fi2)+isin(fi1-fi2)).