- •Линейное векторное n-мерное пространство.
- •Скалярное произведение.
- •Условие параллельности и перпендикулярности векторов.
- •Системы векторов.
- •Ранг и базис системы векторов и всего пространства.
- •Ортогональные системы векторов.
- •Матрицы. Операции над матрицами.
- •Определители. Их св-ва
- •9. Миноры и алгебраические дополнения
- •10/11. Обратная матрица. Существование.
- •12. Элементарные преобразования над матрицей. Второй способ нахождения обратной матрицы.
- •13. Ранг матрицы
- •14. Собственные векторы и собственные значения матрицы
- •15/16 Системы линейных уравнений
- •17 Решение систем методом Крамера и с помощью обратной матрицы.
- •18 Нахождение решений общей системы уравнений.
- •19 Метод Гаусса. Нахождение опорных решений.
- •20 Совместность однородной системы
- •21 Системы однородных уравнений
- •22 Расстояние между двумя точками, деление отрезка в данном отношении.
- •23 Прямая линия на плоскости. Общее уравнение, уравнение с угловым коэффициентом.
- •25 Уравнение прямой. Проходящий через данную точку в данном направлении.
- •26 Уравнение прямой проходящий через 2 данные точки и в отрезках.
- •27 Угол между двумя прямыми. Условия параллельности и перпендикулярности прямых.
- •28 Уравнение плоскости в пространстве
- •29 Уравнение прямой в пространстве.
- •30 Эллипс
- •31 Окружность.
- •32 Гипербола.
- •33 Парабола
- •34. Преобразование прямоугольной системы координат.
- •35. Метрическое пространство, открытые и замкнутые множества.
- •36 Выпуклые множества.
- •37 Решение систем линейных неравенств.
- •38 Представление выпуклого многогранника.
- •39 Область допустимых решений системы уравнений и неравенств.
- •40 Комплексные числа(к.Ч).
- •41 Действия с к.Ч.
- •42 Возведение в степень и извлечение корня из к.Ч.
Линейное векторное n-мерное пространство.
О1 Упорядоченная совокупность из n действительных чисел называется n мерным вектором, где a1ф2бюююфт называются координатами вектора.
Два n-мерных вектора считаются равными, если равны их соответствующие координаты: ai=bi, a1=b1, a2=b2, an=bn i=1,n
О2 Суммой(разностью) двух n-мерных векторов a и b называются n мерный вектор, координаты которого равны суммам(разностям) соответствующих координат исходных векторов. a+-b=(a1+-b1; a2+-b2;…;an+-bn)
О3 Произведением n-мерного вектора a на число k называется n-мерный вектор, координаты которого равны произведениям координат вектора a на число k. k*(ka1;ka2;…;kan).
Для геометрических векторов(n<4) эти операции эквивалентны правилу параллелограмма или треугольника и растяжению(сжатию) вектора.
Свойства операций: 1. a+b=b+a – коммутативность 2. a+(b+c)=(a+b)+с – ассоциативность 3. k(a+-b)= ka+-kb – дистрибутивность 4. (k1+-k2)a=k1a+-k2a 5. (k1k2)a=k1(k2a) 6. 1a=a 7. 0a=0 8. k0=0 9. Ka=0 k=0 или a=0.
О4 Совокупность всех n-мерных векторов с веденными на ней операциями сложения и умножения на число называется n-мерным линейным векторным пространством и обозначается E^n.
Скалярное произведение.
О1 Скалярным произведением 2х n-мерных векторов a и b называется число равное сумме по парных произведений соответствующих координат.
a*b =a1*b1+a2*b2+…+an*bn. Свойства. 1. a*b=b*a 2. c(a+b)=ca+cb 3. k(a*b)=(ka)b 4. a*a=a^2
О2 Длиной n-мерного вектора называется величина равная квадратному корню и скалярного квадрата. |a|=корень из a^2
О3 Углом между 2мя n-мерными векторами a и b называется угол, cos которого определяется по формуле cos fi= (a*b)/(|a|*|b|).
Условие параллельности и перпендикулярности векторов.
О1 Два n-мерных вектора a и b называются коллинеарными, если найдется число lyamda такое, что a=lyamda*b. Рассмотрим два коллинеарных вектора a и b, т.к. они коллинеарны, то a=lyamda*b. Следовательно a1=lyamda*b1, a2=lyamda*b2 и т.д. Выражая получаем: Lyamda=a1/b1=a2/b2=…=an/bn – условие коллинеарности.
О2 Два ненулевых n-мерных вектора a и b называются ортогональными, или перпендикулярными, если угол между ними равен 90’. Cos fi=0.
(a*b)/(|a|*|b|)=0 a*b=0 – условие ортогональности.
Системы векторов.
О1 Линейной комбинацией системы векторов называется выражение вида c1*a1+c2*a2+…+ck*ak, где с – некоторые числа.
О2 Выпуклой линейной комбинацией системы векторов называют линейную комбинацию, в которой все коэффициенты неотрицательны и сумма всех коэффициентов равна единице.
О3 Система вектор называется линейно зависимой, если один из векторов системы можно представить в виде линейной комбинации остальных векторов системы, и линейно независимой – в противном случае.
О4 Система векторов называется линейно зависимой, если найдутся числа с1, с2…ск , не все равные 0.