Связь между непрерывностью и дифференцируемостью функции
Теорема (необходимое условие дифференцируемости функции). Если функция дифференцируема в точке, то онанепрерывна в этой точке.
Доказательство. Пусть
функция у=f(x) дифференцируема
в точке х0.
Дадим в этой точке аргументу приращение х.
Функция получит приращение у.
Найдем 
.
.
Следовательно, у=f(x) непрерывна в точке х0.
Следствие. Если х0 – точка разрыва функции, то в ней функция не дифференцируема.
Утверждение, обратное теореме, не верно. Из непрерывности не следует дифференцируемость.
Пример. у=|х| , х0=0.
х>0, 
;
х<0, 
.
В точке х0=0 функция непрерывна, но производной не существует.
Свойства производных
Теорема 1. Производная постоянной функции равна нулю.
Доказательство. f(x)=c,x0 y=f(x0+x) - f(x0)=c-c=0,
.
Теорема 2. Если функции u, v, w дифференцируемы в некоторой точке, то и их алгебраическая сумма также дифференцируема в этой точке, причем производная алгебраической суммы равна алгебраической сумме производных и выполняется равенство
.
Теорема 3. Если функции u и v дифференцируемы в некоторой точке, то и их произведение также дифференцируемо в этой точке, причем выполняется равенство
.
Следствие. Постоянный множитель можно выносить за знак производной.
.
Теорема 4. Если функции u и v дифференцируемы в некоторой точке и функция v в этой точке отлична от нуля, то существует производная частного в этой точке, причем
.
Теорема
5 (производная
сложной функции). Если
функции y=f(z) и 
-
дифференцируемые функции своих
аргументов, то и их композиция является
дифференцируемой функцией, причем
производная сложной
функции равна
производной внешней функции по
промежуточному аргументу, умноженной
на производную промежуточного аргумента
по независимой переменной.
.
Теорема 6 (теорема Лагранжа). Конечное приращениедифференцируемой функции равно произведению соответствующего приращения аргумента на производную функции в некоторой промежуточной точке.
.
Теорема 7 (теорема Ролля). Между двумя нулями дифференцируемой функции всегда найдется хотя бы один ноль производной.
Доказательство. Пусть f(x1)=f(x2)=0. Из
теоремы Лагранжа следует, что найдется
точка с, 
,
такая, что
=> 
.
Две последние теоремы носят название теорем о конечных приращениях.
Дифференциал
Определение. Главная линейная относительно х часть малого приращения функции называется дифференциалом функции и обозначается dy.
Если
малое приращение функции можно представить
в виде 
,
где 
- б.м.
функция более
высокого порядка, чем х при
(
),
тогда
.
Пример. 
.
,
.
Теорема. Функция не может иметь двух различных дифференциалов.
Доказательство. Предположим противное – функция имеет два дифференциала. Тогда малое приращение функции можно представить в виде
,
,
где
, 
-
б.м. функции более высокого порядка,
чем хпри
.
Вычтем эти равенства:
.
Разделим обе части на х:
.
Переходя к пределу в обеих частях равенства при , получим
,
.
Полученное противоречие доказывает теорему.
Связь между производной и дифференциалом
Теорема 1. Если функция дифференцируема в некоторой точке, то в этой точке она имеет дифференциал.
Доказательство. Функция - дифференцируема в точке х0,
.
По теореме о связи предела и б.м. функции:
,
где - б.м. функция при .
Умножим обе части на х:
,
-
б.м. функция более высокого порядка,
чем х.
.
Следовательно,
функция имеет дифференциал и 
.
Теорема 2. Если функция имеет дифференциал в некоторой точке, то она имеет производную в этой точке.
Доказательство. Пусть функция имеет дифференциал . Тогда
.
Разделим обе части на х:
.
Переходя к пределу при , получим
.
Таким образом, функция имеет производную и .
Из этих теорем следует, что .
Дифференциал независимой переменной
Рассмотрим функцию у=х, dy=dx. Из теорем о связипроизводной и дифференциала следует, что:
dy=1 · x,
dx= dy=x.
Дифференциал независимой переменной равен маломуприращению этой переменной.
Таким образом, получена формула для вычисления дифференциала функции:
.
Дифференциал функции равен произведению производной функции в данной точке на дифференциал независимой переменной.
.