Градиент функции многих переменных

 

Рассмотрим функцию трех переменных n=3, u=f(x, y, z).

Определение. Градиентом функции многих переменных в данной точке называется вектор, координаты которого равнычастным производным по соответствующим аргументам, вычисленным в данной точке.

.

Теорема 1. Производная функции в данном направленииравна проекции градиента на данное направление.

Доказательство. Даны функция u=f(x,y,z) и некоторое направление l, заданное направляющими косинусами  .

Единичный вектор данного направления -  .

Производная по направлению в данной точке равна

,

где  - угол между градиентом и направлением.

                                                                                             

                                                                                             

                                          grad u                                        

                                                                                           

                          M₀                                                 l  

                                                                                             

                                                                                             

.

Следствие. Градиент функции в данной точке показывает направление наискорейшего возрастания функции. Модуль градиента совпадает с максимальной скоростью возрастания функции в данной точке.

Доказательство. Из теоремы следует, что

.

Выясним, в каком из направлений в данной точке функция растет быстрее всего. Максимум будет достигаться, когда  , т. е. направление совпадает с направлением градиента.

.

Рассмотрим функцию двух переменных n=2,  .

Теорема 2. Градиент функции в каждой точке области определения направлен по нормали к линии уровня (нормалью к плоской кривой называется перпендикуляр к касательной, проведенной в точку касания).

                             

 

Частные производные высших порядков

 

Рассмотрим функцию двух переменных n=2,  . Предположим, что функция имеет частные производные

,                        ,

которые являются функциями двух переменных. Их называют частными производными первого порядка. Предположим, что они дифференцируемы.

Определение 1. Частные производные от частных производных первого порядка называются частными производными второго порядка.

 =  ,                         =  .

 =  ,                        =  .

 

Две последние называют смешанными производными.

Если полученные функции являются дифференцируемыми, то частные производные от них называются частными производными третьего порядка. Например:

.

 

Определение 2. Частной производной n-го порядка называется частная производная от частной производной (n-1)-го порядка. Частных производных n-го порядка от функции двух переменных 2ⁿ штук.

Частная производная порядка р функции   имеет вид

, где  .

Теорема. Если частные производные первого порядка некоторой функции непрерывно дифференцируемы, то результаты смешанного дифференцирования равны.

.

Пример.  .

,                 ,

,  ,     ,  ,

.