6. Простейшие случаи парной нелинейной корреляционной зависимости. Корреляционное отношение. Нелинейное уравнение регрессии

Простейшие случаи парной нелинейной корреляционной зависимости – это гиперболическая и параболическая. Их уравнения регрессии, соответственно, имеют вид:

.

Как и в случае линейной зависимости, параметры a_i , i = 0,1,2 находятся методом наименьших квадратов, который дает следующие системы нормальных уравнений.

Для гиперболической зависимости:

Для параболической зависимости:

Параметры a_i, находим, решая эти системы нормальных уравнений.

Теснота взаимосвязи между признаками в нелинейной зависимости измеряется с помощью корреляционного отношения, рассчитываемого по формуле:

где D_общ – общая дисперсия признака Y;

D_м/гр – межгрупповая дисперсия признака Y.

Общая дисперсия результативного признака Y складывается из двух дисперсий: межгрупповой и внутригрупповой, то есть D_общ = D_м/гр + D_вн/гр. Межгрупповая дисперсия D_м/гр характеризует вариацию признака Y за счет учтенного фактора, а внутригрупповая дисперсия D_вн/гр – за счет неучтенных факторов.

D_общ =  ; D_м/гр =  ,

где y_i – значение признака Y, i =  ;

 – условная средняя признака Y, j =  ;

 – общая средняя признака Y;

 – частота значений признака Y;

 – частота значений признака X;

n – объем выборки (сумма всех частот).

Корреляционное отношение изменяется от 0 до 1, то есть 0    1. Чем ближе  к 0, тем слабее связь между результативным признаком Y и учтенным фактором Х, чем ближе к 1 – тем эта связь сильнее.

С помощью корреляционного отношения можно оценить тесноту взаимосвязи между признаками и в случае линейной зависимости, так какr_в =  в случае линейной зависимости.

D = ²  100 % – коэффициент детерминации, показывающий на сколько процентов в среднем вариация результативного признака объясняется за счет вариации учтенного факторного признака.

 0,185 + 0,0362x – 0,0001x².

7. Множественный корреляционно-регрессионный анализ

Корреляционная взаимосвязь между тремя и более признаками (показа­телями) называется множественной корреляционной зависимостью. Во множественной корреляционной зависимости решаются те же задачи, что и в парной, а именно: оценивается теснота взаимосвязи между признаками (корреляционный анализ), определяется аналитическое выражение этой взаимосвязи приближенно в виде уравнения регрессии (регрессионный анализ). Но во множественном регрессионном анализе предварительно решается еще одна задача – отбор факторных признаков в уравнение регрессии (регрессионную модель). При отборе факторных признаков в регрессионную модель необходимо учитывать следующие условия:

1) в модель вводятся факторные признаки, оказывающие сильное влияние на результативный признак;

2) факторные признаки, вводимые в модель, должны быть линейно независимыми или иметь слабую связь между собой. Отбор признаков проводят по матрице парных коэффициентов корреляции, которая имеет вид:

	Y	X1	X2	...	Xj	...	Xn
Y	1,0			...		...
X1		1,0		...		...
X2			1,0	...		...
...	...	...	...	...	...	...	...
Xi				...		...
...	...	...	...	...	...	...	...
Xn							1,0 .

Коэффициент корреляции указывает на тесноту взаимосвязи между результативным признаком и каждым факторным признаком. Поэтому значения этих коэффициентов должны быть как можно ближе к единице.

Коэффициенты корреляции указывают на тесноту взаимосвязи между каждой парой факторных признаков. Так как факторные признаки должны находиться в слабой зависимости, то значения коэффициентов   должны быть как можно меньше.

Факторные признаки, находящиеся в тесной корреляционной зависимости, называют мультиколлинеарными. Практически считают, что если    0,8 , то признаки мультиколлинеарны. Из каждой пары мультиколлинеарных признаков в регрессионную модель вводят только один, а именно тот, который оказывает наибольшее влияние на результативный признак, или исходя из экономической целесообразности.

18