5. Случайные величины. Способы их задания

Случайная величина – это переменная величина, которая принимает различные значения в зависимости от случайных обстоятельств с определенными вероятностями для каждого значения. Случайные величины бывают дискретные и непрерывные.

Случайная величина X считается заданной, если известен закон ее распределения, под которым понимают определенное соотношение между значениями случайной величины и соответствующими им вероятностями ( ).

Закон распределения может быть задан:

а) таблично, с указанием всех значений случайной величины и соответствующих им вероятностей, причем сумма всех вероятностей равна единице, то есть

;

б) аналитически, с помощью интегральной функции (функции распределения вероятностей) и/или дифференциальной функции (плотнос­ти распределения вероятностей) ;

в) графически, в виде графиков интегральной (для дискретной и непрерывной случайных величин) и/или дифференциальной (для непрерывной случайной величины) функций или в виде полигона (для дискретной случайной величины).

Интегральная функция может быть выражена через дифференциальную:

. (19)

Вероятность попадания непрерывной случайной величины в интервал ( ) рассчитывается по одной из следующих формул:

; (20)

. (21)

6. Числовые характеристики случайной величины

Основными числовыми характеристиками случайной величины X являются математическое ожидание , дисперсия D(X), среднее квадратическое отклонение .

Математическое ожидание случайной величины – это среднее значение случайной величины, взвешенное по вероятностям.

Для дискретной случайной величины математическое ожидание вычисляется по формуле:

, так как ,то есть .

Для непрерывной случайной величины:

. (23)

Дисперсией случайной величины называют математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания, то есть

D(X)= .

Преобразуем это выражение, используя свойства математического ожидания, получим D(X) = , то есть дисперсия случайной величины равна математическому ожиданию квадрата случайной величины без квадрата ее математического ожидания. Итак:

D(X) = – для дискретной случайной величины; (24)

D(X) = – для непрерывной случайной величины; (25)

D(X) = – для любой случайной величины. (26)

Средним квадратическим отклонением случайной величины называют арифметическое значение квадратного корня из ее дисперсии, то есть

.

Дисперсия и среднее квадратическое отклонение характеризуют вариацию (колеблемость) значений случайной величины около ее среднего значения. Так, показывает, на сколько в среднем отклоняются значения случайной величины от ее математического ожидания.

Обобщением основных числовых характеристик случайной величины является понятие моментов случайной величины.

Начальным моментом k-го порядка случайной величины называют математическое ожидание величины : .

Начальный момент дискретной случайной величины: .

Начальный момент непрерывной случайной величины: .

Центральным моментом k-го порядка случайной величины называют математическое ожидание величины : .

Центральный момент дискретной случайной величины: .

Центральный момент непрерывной случайной вел-ны: .

Начальный момент первого порядка представляет собой математическое ожидание, а центральный момент второго порядка – дисперсию случайной величины.

Нормированный центральный момент третьего порядка служит характеристикой «скошенности» или асимметрии распределения (коэффициент асимметрии):

.

Нормированный центральный момент четвертого порядка служит характеристикой «островершинности» или «плосковершинности» распределения (коэффициент эксцесса):

.

Величины А и Е характеризуют степень отличия функции распределения от функции распределения стандартного нормального распределения, для которого коэффициенты асимметрии и эксцесса равны нулю: . Левосторонняя асимметрия: , правосторонняя асимметрия: . Если , то кривая плотности распределения имеет более плоскую вершину, чем кривая плотности нормального распределения.

Пусть - абсолютно непрерывное распределение. Число есть квантиль уровня распределения , если .

Введем понятие различных операций над случайными величинами.

Пусть имеются две случайные величины X и Y, заданные следующими законами распределения:

xi

x1

x2

…

xi

…

xn

yj

y1

y2

…

yj

…

yk

pi

p1

p2

…

рi

…

pn

;

p’j

p’1

p’2

…

р’j

…

p’k

;

причем

Случайной величиной называют такую случайную величину, возможные значения которой равны - й степени значений случайной величины X, а соответствующие вероятности не изменяются. Закон распределения случайной величины Z будет иметь вид:

			…		…
pi	p1	p2	…	рi	…	pn	,

Суммой (разностью, произведением) случайных величин X и Y называют случайную величину Z , возможные значения которой равны соответственно сумме (разности, произведению) каждого значения случайной величины X с каждым значением случайной величины Y, а соответствующие вероятности перемножаются.

Например, закон распределения случайной величины Z = X + Y имеет вид:

zi			…			…		…
			…			…		…		;

причем