Вывод уравнения гиперболы

Введем прямоугольную систему координат. Пусть фокусы гиперболы

лежат на оси Ох, причем - середина отрезка , тогдат. е.Пусть– произвольная точка гиперболы. Величины–фокальные радиусы точки М гиперболы.(чертеж 17.)

Чертеж 17.

По определению гиперболы:

, отсюдагде

Следовательно, уравнение имеет вид:

(7)

Умножим равенство (7) на , получим:

(8)

Сложим уравнения (7) и (8), получим:

(9)

Возведем (9) в квадрат:

следовательно, имеем:

Пусть так как, отсюда имеем уравнение:

(10)

где (10) каноническое уравнение гиперболы с центром в начале координат.

Соответственно, уравнение

где каноническое уравнение гиперболы с центром в точке

Числа a и b соответственно действительная и мнимая полуоси гиперболы.

Исследование свойств гиперболы по ее уравнению

1) Пересечение гиперболы с осями координат:

Очевидно, что гипербола состоит из двух ветвей: правой и левой, простирающихся в бесконечность.

В уравнении (12) положим, что y=0, получим: отсюда. Следовательно, точкиявляются точками пересечения гиперболы с осью(чертеж 18.).

Чертеж 18.

Положим, что в уравнении (12) х=0, и получим: , следовательно, уравнение гиперболы не пересекает ось.

ЗАМЕЧАНИЕ: Если мнимая ось гиперболы имеет длину 2a и направлена по оси (OX), а действительная ось длиной 2b совпадает с осью (OY), то уравнение гиперболы имеет вид: . [1.С.107-108]

Определение 3.2. Гиперболы, заданные уравнениями и , называются сопряженными гиперболами.

Определение 3.3. Если a=b, гипербола называется равносторонней.

2) Симметрии гиперболы относительно координатных осей и:

Пусть принадлежит гиперболе, то естьверное равенство. Точкасимметрична точкеотносительно оси ОХ:

- верное равенство. Следовательно, принадлежит гиперболе, следовательно, гипербола симметрична относительно ОХ.

Точка симметрична точкеотносительно оси ОУ, следовательно, гипербола симметрична относительно оси ОУ.

Точка симметрична точкеотносительно О (центра), отсюда следует, что гипербола симметрична относительно начала координат. [1.С.108]

3) Асимптоты гиперболы:

Текущая точка гиперболы при движении по ней в бесконечность неограниченно приближается к некоторой прямой, которая называется асимптотой гиперболы. Асимптотами являются прямые, которые имеют следующие уравнения:

и ,

Пусть текущая точка гиперболы,ее проекция на ось абсцисс. Прямаяпересекает прямую, заданную указанным уравнением в точке. Докажем: чтопри.

Доказательство:

.Расстояние это ордината точки, лежащей на прямой. Она равна. Расстояниеэто ордината точкигиперболы, которую находим из её канонического уравнения:Тогда

Умножим и разделим равенство (13) на (),следовательно, получим:

При знаменатель дроби неограниченно увеличивается, следовательно, дробь стремится к нулю.

- уравнение гиперболы, в которой а- являются асимптотами гиперболы. (чертеж 19.) [1.С.108]

Чертеж 19.

4) Фокусы гиперболы:

Пусть фокусы гиперболы лежат на оси Ох. Межфокусное расстояние гиперболы равно причем . Заметим, чтопо определению гиперболы.

Следовательно, фокусы гиперболы. [1.С.109]

5) Директориальное свойство гиперболы:

Определение 3.4. Директрисами гиперболы называются прямые, параллельные канонической оси ОУ и отстоящие от этой оси на расстояние .

Уравнения директрис гиперболы имеют вид: и [5.С.122]

6) Эксцентриситет гиперболы:

Определение 3.5. Отношение называется эксцентриситетом гиперболы. Так как, то

Если при постоянном значении , числобудет изменяться от нуля до бесконечности, тобудет измениться отдо бесконечности. Если, то гипербола будет стремиться к лучам (чертеж 20.).

Чертеж 20.

Если , то гипербола будет стремиться к параллельным прямым (чертеж 21.). [1.С.109]

Чертеж 21.

7) Касательная к гиперболе:

Уравнение касательной к гиперболе , где- координаты точки касания, а соответственно действительная и мнимая полуоси гиперболы (чертеж 22.).

Чертеж 22.

Изображение гиперболы

• Построим гиперболу с действительной осью равной 4 и мнимой осью равной 4.

1. Построение без использования ИКТ: Для построения гиперболы задаем прямоугольную систему координат с центром в точке О и единичный отрезок. Строим прямоугольник со сторонами 2a=4,2b=4, проводим диагонали прямоугольника. Выполняем построение ветвей гиперболы так, чтобы координаты точек (-2;0),(2;0) являлись их вершинами, и ветви гиперболы не пересекали диагоналей прямоугольника.(чертеж 23.)

Чертеж 23.

2. С использованием ЭСО- Mathcad:

Полученное уравнение линии имеет вид: . Для построения линии второго порядка в программеMathcad приводим уравнение к виду: (чертеж 24.)

Чертеж 24.

• Построим гиперболу с действительной осью равной 10 и мнимой осью равной 8.

а) Построение без использования ИКТ: Для построения гиперболы задаем прямоугольную систему координат с центром в точке О и единичный отрезок. Строим прямоугольник со сторонами 2a=10,2b=8, проводим диагонали прямоугольника. Выполняем построение ветвей гиперболы так, чтобы координаты точек (0;4),(0;-4) являлись их вершинами, и ветви гиперболы не пересекали диагоналей прямоугольника.(чертеж 25.)

Чертеж 25.

b) С использованием ЭСО- Mathcad:

Полученное уравнение имеет вид: . Для построения линии второго порядка в программеMathcad приводим уравнение к виду: (чертеж 26.)

Чертеж 26.

ПАРАБОЛА

Определение 4.1.Парабола- это геометрическое множество точек, для каждой из которых расстояние от некоторой фиксированной точки, называемой фокусом, равно расстоянию до некоторой прямой, называемой директрисой (директриса не проходит через фокус). [8.С.589]