1.4. Повторные испытания. Формула бернулли. Асимптотические формулы (пуассона и муавра – лапласа)
Пример 10. Вероятность изготовления на станке-автомате нестандартной детали равна 0,03. Какова вероятность того, что среди наудачу взятых восьми деталей окажется: а) пять деталей стандартных; б) не менее семи деталей стандартных; в) хотя бы одна деталь стандартная. Определить наиболее вероятное число стандартных деталей.
Решение. Пусть событие – деталь стандартная.
б)
7, т.е. событие
должно наступить 7 или 8 раз. Предварительно
применяем теорему сложения вероятностей,
а затем уже формулу Бернулли.
в)
Требуется
определить наивероятнейшую частоту
.
Пример 11. Вероятность того, что изготовленная на конвейере деталь стандартная, равна 0,92. Найти вероятность того, что из 400 изготовленных на конвейере деталей 360 окажутся стандартными.
Решение. Пусть событие – сошедшая с конвейера деталь стандартная.
Применяем формулу Муавра – Лапласа:
Используя прил. 1
и учитывая, что
,
получим
Такая малая вероятность, несмотря на то, что вероятность наступления события в каждом испытании высокая (0,92), объясняется тем, что была вычислена вероятность только одного из 401 исходов сложного испытания, состоящего в отборе 360 деталей.
Пример 12. Некоторое электронное устройство выходит из строя, если откажет определенная микросхема. Вероятность ее отказа в течение одного часа работы устройства равна 0,005. Какова вероятность того, что за 1000 часов работы устройства придется менять три раза микросхему?
Решение.
Пусть событие
– отказ микросхемы в течение одного
часа работы устройства.
;
событие
– маловероятное;
Выполняются условия применения формулы
Пуассона. Тогда, используя прил. 3, находим
З А Д А Ч И
120. 30 % изделий данного предприятия – высшего сорта. Какова вероятность того, что из шести изделий, изготовленных на этом предприятии, четыре – высшего сорта?
121. Вероятность всхожести семян ржи составляет 90 % . Чему равна вероятность того, что из семи семян взойдет не менее пяти?
122. Завод, изготовляющий электролампы, выпускает 96 % стандартной продукции и 4 % нестандартной. Какова вероятность того, что из наудачу взятых по схеме возвратной выборки восьми ламп пять окажутся стандартными?
123. В некоторых условиях вероятность своевременного прибытия поезда на станцию равна 0,8. Определить вероятность того, что из четырех ожидаемых поездов прибудут своевременно: а) три; б) не менее трех; в) не более трех; г) по крайней мере один из поездов.
124. В цехе имеется восемь моторов. Для каждого мотора вероятность того, что он в данный момент включен, равна 0,8. Найти вероятность того, что в данный момент: а) включено четыре мотора; б) включены все моторы; в) выключены все моторы; г) включено не менее семи моторов.
125. В мастерской имеется двенадцать моторов. При существующем режиме работы вероятность того, что мотор в данный момент работает с полной нагрузкой, равна 0,8. Найти вероятность того, что в данный момент не менее десяти моторов работают с полной нагрузкой.
126. В цехе находятся пять автоматов. Вероятность того, что каждый из них будет остановлен для смены деталей, равна 0,1. Определить вероятность того, что будут остановлены: а) два автомата; б) не менее трех автоматов; в) не более двух; г) по крайней мере один автомат.
127. При выпуске приборов на заводе 5 % бывают недостаточно точными. Берут наудачу двенадцать приборов. Найти вероятность того, что из них не менее десяти будут точными.
128. Вероятность того, что на некотором предприятии расход электроэнергии не превысит установленной суточной нормы, равна 0,75. Определить вероятность того, что из десяти рабочих дней в течение семи дней расход электроэнергии не будет превышать установленной нормы.
129. В некоторой партии имеется 30 % цветных катушек ниток. Какова вероятность того, что среди пяти наудачу взятых катушек ниток не более трех–цветные?
130. Найти наиболее вероятное число годных радиоламп в партии из 25 штук, если известно, что вероятность испорченной радиолампы составляет 0,1.
131. Вероятность того, что участвующие в литературном конкурсе могут правильно ответить на все вопросы, равна 0,9. В соревновании принимают участие 15 человек. Найти наивероятнейшее число участников, правильно ответивших на все вопросы.
132. Изделия некоторого производства содержат 2 % брака. Найти вероятность того, что среди пяти взятых наудачу изделий окажется: а) одно бракованное; б) по крайней мере одно бракованное.
133. Известно, что в среднем 60 % от числа выпускаемых заводом радиоприемников является продукцией первого сорта. Найти вероятность того, что в партии из 200 радиоприемников окажется наивероятнейшее число радиоприемников первого сорта.
134. В группе 75 % студентов сдали все экзамены и зачеты, а 25 % имеют академическую задолженность. Найти вероятность того, что среди пяти наудачу выбранных студентов окажется без академической задолженности: а) не менее двух; б) не более двух студентов.
135. Рабочий обслуживает три станка. Вероятность бесперебойной работы каждого станка равна 0,9. Найти вероятность того, что в данный момент работают хотя бы два станка.
136. Оптовая база снабжает десять магазинов, от каждого из которых может поступить заявка на очередной день с вероятностью 0,4, независимо от заявок других магазинов. Найти наивероятнейшее число заявок в день и вероятность получения этого числа заявок.
137. Вероятность того, что телевизор потребует ремонта в течение гарантийного срока, равна 0,2. Найти вероятность того, что в течение гарантийного срока из шести телевизоров потребуют ремонта не более одного телевизора.
138. Отдел технического контроля проверяет партию из десяти деталей. Вероятность того, что деталь стандартна, равна 0,97 . Найти вероятность того, что стандартных деталей среди десяти будет не менее девяти деталей.
139. Средний процент нарушения работы кинескопа телевизора в течение гарантийного срока равен 10. Вычислить вероятность того, что из 20 наблюдаемых телевизоров более 18 выдержат гарантийный срок.
140. Вероятность выпуска сверла повышенной хрупкости (брак) равна 0,02. Сверла укладываются в коробки по 100 шт. Какова вероятность того, что в коробке: а) не окажется бракованных сверл; б) число бракованных сверл окажется не более трех?
141. По данным технического контроля в среднем 2 % изготовленных на заводе часов нуждаются в дополнительной регулировке. Какова вероятность того, что из 300 изготовленных часов 290 шт. не будут нуждаться в дополнительной регулировке?
142. При данном технологическом процессе 75 % всей произведенной продукции оказывается продукцией высшего сорта. Найти наивероятнейшее число изделий высшего сорта в партии из 150 изделий. Найти вероятность того, что в этой партии окажется наивероятнейшее число изделий высшего сорта.
143. Известно, что 3/5 всего числа изготовляемых заводом телефонных аппаратов является продукцией первого сорта. Найти вероятность того, что в изготовленной партии из 200 аппаратов окажется наивероятнейшее число аппаратов первого сорта. Определить вероятность того, что среди изготовленных 200 аппаратов окажется 140 шт. первого сорта. Сравнить значения этих двух вероятностей.
144. При установившемся технологическом процессе происходит 10 обрывов нити на 100 веретен в час. Определить вероятность того, что в течение часа на 80 веретенах произойдет 7 обрывов нити.
145. По данным службы контроля качества в среднем 5 % изготовляемых на заводе часов нуждаются в дополнительной регулировке. Чему равна вероятность того, что из 400 изготовленных часов 385 не будут нуждаться в дополнительной регулировке?
146. Вероятность того, что абонент позвонит на коммутатор в течение часа, равна 0,01. Телефонная станция обслуживает 400 абонентов. Какова вероятность того, что в течение часа позвонят три абонента?
147. В трамвайном парке 100 трамваев. Известно, что вероятность выхода из строя электродвигателя в течение дня равна 0,07. Какова вероятность того, что в определенный день окажутся неисправными менее трех трамваев?
148. Средний процент нарушения работы кинескопа телевизора в течение гарантийного срока равен 1,2. Вычислить вероятность того, что из 50 телевизоров выдержат гарантийный срок только 48.
149. Вероятность того, что изготовленная деталь окажется бракованной, равна 0,04. Какова вероятность наличия 37 бракованных деталей среди взятых наудачу 900 деталей?
150. По данным длительной проверки качества выпускаемых запчастей определенного вида брак составляет 3 %. Определить вероятность того, что в непроверенной партии из 150 запчастей пригодных будет 147 шт.
151. Производство электронно-лучевых трубок для телевизоров дает 2 % брака. Найти вероятность наличия 247 годных трубок в партии из 250 шт.
152. В некотором цехе брак составляет 5 % всех изделий цеха. Найти наивероятнейшее число стандартных изделий из наудачу взятых 200 изделий этого цеха. Какова вероятность найденного числа стандартных изделий?
153. На опытной станции посеяно 150 семян кукурузы. Всхожесть семян – 95 %. Найти вероятность того, что из 150 посаженных семян взойдет 90 %.
154. Завод сортовых семян выпускает гибридные семена кукурузы. Известно, что семена первого сорта составляют 95 %. Определить вероятность того, что из взятых на проверку 200 семян 180 будут первого сорта.
155. Вероятность выпуска некоторого изделия в соответствии с утвержденными техническими условиями принимается равной 0,9. Какова вероятность того, что в партии из 300 изделий окажутся годными для эксплуатации 265?
156. Автоматическая штамповка клемм для предохранителей дает 3 % отклонений от принятого стандарта. Сколько стандартных клемм должно быть в партии из 400 клемм, чтобы вероятность появления такого числа клемм была равна 0,0587?
157. В партии смешаны детали двух сортов: 80 % I сорта и 20 % II сорта. Сколько деталей I сорта с вероятностью 0,0967 можно ожидать среди 100 наудачу взятых деталей?
158. Произведено 600 независимых испытаний с вероятностью появления ожидаемого результата 0,6 в каждом испытании. Какой должна быть абсолютная частота появления ожидаемого результата, чтобы вероятность появления такой частоты была равна 0,0045?
159. При автоматической штамповке наблюдается в среднем 92 % стандартных деталей. Сколько должно быть стандартных деталей из партии в 400 деталей, чтобы вероятность такого числа деталей была равна 0,00675?
160. Школьники посадили на пришкольном участке 500 деревьев. В данном условии вероятность прижиться для каждого дерева одинакова и равна 0,6. Какое количество прижившихся деревьев наиболее вероятно и какова вероятность, что именно такое количество деревьев приживется?
161. На одном из факультетов института 0,4 числа всех студентов занимаются в спортивных секциях. Каково наиболее вероятное число студентов, состоящих в секциях, из 250 студентов второго курса и какова вероятность такого числа студентов?
162. Вероятность того, что станок-автомат выпускает небракованные изделия, равна 14/15. Взято 180 деталей. Какой должна быть частота небракованных деталей, чтобы вероятность такой частоты была равна 0,0108?
163. Найти вероятность одновременной остановки 30 машин из работающих 100 машин, если вероятность остановки для отдельной машины равна 0,2.
164. Для мастера данной квалификации, изготовляющего машинную деталь, вероятность того, что каждая сделанная им деталь окажется отличного качества, равна 0,6. За смену он изготовил 500 деталей. Какова вероятность того, что в их числе окажется 315 деталей отличного качества?
165. Прядильщица обслуживает 1000 веретен. Вероятность обрыва нити на одном веретене в течение 10 мин равна 0,004. Найти вероятность того, что в течение 10 мин обрыв произойдет в пяти веретенах.
166. Вероятность попадания в цель при каждом выстреле равна 0,001. Найти вероятность того, что при 1000 выстрелах будет не менее двух попаданий в цель.
167. Завод отправил на базу 5000 доброкачественных изделий. Вероятность того, что в пути изделие повредится, равна 0,0002. Найти вероятность того, что на базу прибудут четыре негодных изделия.
168. На одном предприятии работница обслуживает 500 веретен. Вероятность того, что в течение определенного промежутка времени веретено дает обрыв пряжи, равна 0,006. Определить вероятность того, что в течение этого промежутка времени произойдет : а) четыре обрыва пряжи; б) не более пяти обрывов пряжи.
169. В результате наблюдения за качеством продукции, выпускаемой заводом, установлено, что доля брака составляет в среднем 0,4 % всей продукции. Какова вероятность того, что в партии, состоящей из 1000 изделий, окажется не более пяти изделий бракованных?
170. На некотором предприятии доля брака составляет в среднем 0,2 %. Какова вероятность того, что на этом предприятии в партии, состоящей из 500 изделий, окажется: а) три изделия бракованных; б) не более четырех изделий бракованных?
171. Радиоаппаратура состоит из 1000 элементов. Вероятность отказа одного элемента в течение года равна 0,001 и не зависит от состояния других. Какова вероятность отказа двух и не менее двух элементов в год?
172. В продукции, выпускаемой заводом, доля брака составляет в среднем 0,3 % всей продукции. Какова вероятность того, что в партии, состоящей из 1000 изделий, окажется не более пяти изделий бракованных?
173. Вероятность повреждения радиоаппаратуры при транспортировке равна 0,002. Какова вероятность того, что при перевозке 3000 изделий будут повреждены не более трех?
174. Магазин получил 1000 бутылок минеральной воды. Вероятность того, что при перевозке бутылка окажется разбитой, равна 0,003. Найти вероятность того, что магазин получит разбитых бутылок: а) две; б) менее двух; в) более двух; г) хотя бы одну.
175. Завод отправил на базу 500 изделий. Вероятность повреждения изделия в пути равна 0,002. Найти вероятность того, что в пути будет повреждено: а) ровно три; б) менее трех; в) более трех; г) хотя бы одно изделие.
176. В банк отправлено 2000 вакуумных пакетов денежных знаков. Вероятность того, что пакет содержит недостаточное или избыточное число денежных знаков, равна 0,0005. Найти вероятность того, что при проверке всех отправленных пакетов будет обнаружено ошибочно укомплектованных пакетов: а) три; б) менее трех.
177. Вероятность появления ондатры-альбиноса на звероферме равна 0,001. Найти вероятность того, что из 1000 выращенных животных окажется альбиносов: а) два; б) менее двух; в) хотя бы один.
178. Вероятность изготовления консервной банки с недостаточной герметизацией равна 0,002. Найти вероятность того, что среди 1500 банок консервов с недостаточной герметизацией будет : а) не более трех; б) не менее трех.
179. Установлено, что в среднем 0,5 % шариков, изготовленных для подшипников, оказываются бракованными. Определить вероятность того, что среди поступивших на контроль 1000 шариков бракованными окажутся менее трех.
180. Вероятность опоздания пассажира на поезд равна 0,005. Найти вероятность того, что из 1000 пассажиров опоздают не более двух.
181. Вероятность хотя бы одного попадания стрелком в мишень при трех выстрелах равна 0,875. Найти вероятность попадания в мишень при одном выстреле.