1.3. Формула полной вероятности. Формула байеса
Пример 8. На трех станках различной марки изготовляется определенная деталь. Производительность первого станка за смену составляет 50 деталей, второго – 65 деталей, третьего – 45 деталей. При проведении специальных испытаний на точность установлено, что 2 %, 1 % и 3 % продукции этих станков, соответственно, имеют скрытые дефекты. В конце смены взята одна деталь. Какова вероятность того, что она стандартная?
Решение. Пусть событие – взятая наудачу деталь стандартная. Здесь возможны три гипотезы:
1) деталь изготовлена на первом станке (событие );
2) деталь изготовлена на втором станке (событие );
3) деталь изготовлена на третьем станке (событие ).
События (гипотезы) , , образуют полную группу событий. Требуется найти вероятность события , которое наступит с одной из гипотез Аi (деталь стандартная окажется либо с первого станка, либо со второго, либо с третьего):
Найдем по классической
формуле
.
По условию задачи известны условные вероятности события, противоположного событию , при указанных гипотезах:
Тогда по формуле полной вероятности будем иметь :
Пример 9. Рабочий обслуживает три станка, на которых обрабатываются однотипные детали. Установлено, что вероятность брака для первого станка равна 0,03, для второго – 0,04, а для третьего – 0,02. Производительность первого станка в 2 раза больше второго, а третьего в 3 раза меньше второго. Наудачу взятая деталь оказалась бракованной. Какова вероятность того, что она обработана на втором станке?
Решение. Пусть событие – взятая наудачу деталь бракованная. Она может поступить либо с первого станка, либо со второго, либо с третьего, то есть имеем гипотезы, образующие полную группу событий:
событие – деталь обработана на первом станке;
событие – деталь обработана на втором станке;
событие – деталь обработана на третьем станке.
По условию событие наступило, требуется определить вероятность того, что оно наступило с гипотезой . Воспользуемся формулой Байеса:
.
Известно, что
в 2 раза, а
в
3 раза. Пусть производительность третьего
станка
,
то есть
=
,
тогда
= 3
,
а
= 6
.
Тогда
N = 
+
+
= 10
.
Применяя формулу классической вероятности,
получим:
В условии задачи даны условные вероятности события В при соответствующих гипотезах:
По формуле Байеса находим:
= 0,375.
З А Д А Ч И
81. В сборочный цех завода поступают детали с трех автоматов. Первый автомат дает 3 % брака, второй – 1 % и третий – 2 %. Определить вероятность попадания на сборку небракованной детали, если с каждого автомата поступило, соответственно, 500, 200, 300 деталей.
82. Известно, что в партии из 600 электрических лампочек 200 лампочек изготовлены на первом заводе, 250 – на втором и 150 – на третьем заводе. Известны также вероятности (0,97; 0,91 и 0,93) того, что лампочка окажется стандартной при изготовлении ее, соответственно, первым, вторым и третьим заводами. Какова вероятность того, что наудачу выбранная из данной партии лампочка окажется стандартной?
83. Деталь, необходимая для сборки прибора, поступает с двух автоматов, производительность которых одинакова. Вычислить вероятность поступления на сборку стандартной детали, если первый из автоматов дает в среднем 3 % нарушения стандарта, а второй – 2 %.
84. Электрические лампочки изготовляются на трех заводах. Первый из них производит 40 % общего количества лампочек, второй – 35 %, третий – 25 %. Продукция первого завода содержит 95 % стандартных ламп, продукция второго – 98 %, третьего – 97 %. Продукция всех трех заводов поступает в магазин. Какова вероятность, что купленная в магазине лампа окажется стандартной?
85. Детали, изготовленные цехом завода, попадают для проверки их на стандартность к одному из двух контролеров. Вероятность того, что деталь попадет к первому контролеру равна 0,6, а ко второму – 0,4. Вероятность того, что годная деталь будет признана стандартной первым контролером равна 0,94, а вторым – 0,98. Годная деталь при проверке была признана стандартной. Найти вероятность того, что эту деталь проверил первый контролер.
86. На сборку поступают однотипные изделия из четырех цехов. Вероятности брака в каждом из цехов, соответственно, равны 0,04; 0,03; 0,06; 0,02. Первый цех поставляет 30, второй – 20, третий – 50 и четвертый – 25 изделий. На сборку поступило бракованное изделие. Какова вероятность, что это изделие поступило из третьего цеха?
87. В группе спортсменов 20 лыжников, 6 велосипедистов и 4 бегуна. Вероятность выполнить квалификационную норму для лыжника равна 0,9, велосипедиста – 0,8, бегуна – 0,75. Найти вероятность того, что спортсмен, вызванный наудачу, выполнит норму для велосипедиста.
88. Рабочий обслуживает три станка, на которых обрабатываются однотипные детали. Вероятность брака для первого станка – 0,02, для второго – 0,03, третьего – 0,04. Обработанные детали складываются в один ящик. Производительность первого станка в 3 раза больше, чем второго, а третьего в 2 раза меньше, чем второго. Определить вероятность того, что взятая наудачу деталь будет обработана на третьем станке, если она оказалась бракованной.
89. Для посева пшеницы на некотором участке был приготовлен посевной материал. Случайно в нем оказались примеси зерна II и III сорта. Вероятность того, что из зерна пшеницы I сорта вырастет полновесный колос, равна 0,9, II сорта – 0,8, III сорта – 0,6. 0,9 всего зерна было I сорта, 0,07 – II сорта, 0,03 – III сорта. Наудачу взятый из урожая колос оказался полновесным. Какова вероятность того, что этот колос из зерна I сорта (за полновесный принимается колос, содержащий не менее 50 зерен)?
90. На двух станках обрабатываются однотипные детали. Вероятность брака для первого станка равна 0,03, а для второго – 0,02. Обработанные детали складываются в одном месте, причем деталей с первого станка поступает в 2 раза больше, чем со второго. Какова вероятность того, что взятая наудачу деталь не будет бракованной?
91. В железнодорожном составе 50 вагонов, груженных углем двух сортов, в том числе 25 вагонов содержат 70 % угля I сорта и 30 % угля II сорта, 15 вагонов содержат, соответственно, 60 и 40 %, остальные – 85 и 15 %. Случайно взятый для анализа кусок угля оказался II сорта. Какова вероятность того, что он взят из вагона первой группы?
92. Спрос на страховые услуги вынуждает страховую компанию заключать в месяц 20 % договоров страхования морских перевозок, 50 % договоров страхования железнодорожных перевозок, 30 % договоров страхования авиаперевозок. Известны вероятности наступления страхового случая: при страховании морских перевозок – 0,1, железнодорожных перевозок – 0,15, авиаперевозок – 0,05. Страховой случай наступил. Вычислить вероятность того, что наступивший страховой случай имел место в процессе авиаперевозок.
93. Литье в болванках поступает из трех заготовительных цехов: 60 штук из первого цеха, а из второго и третьего, соответственно, в 2 и 4 раза больше, чем из первого. При этом материал первого цеха имеет 1 % брака, второго – 2 %, а третьего – 2,5 % . Найти вероятность того, что наудачу взятая болванка окажется без дефектов.
94. На сборку поступают детали с трех автоматов. Первый дает в среднем 98 % годных деталей, второй – 99 % , а третий – 97 % . Найти вероятность попадания на сборку бракованной детали, если она выбрана случайным образом, а производительность автоматов одинакова.
95. На трех поточных линиях производятся одинаковые изделия, которые поступают в службу контроля качества. Производительность первой поточной линии вдвое больше производительности второй и вдвое меньше производительности третьей поточной линии, причем первая линия в среднем производит 50 % изделий высшего сорта, вторая – 80 % , третья – 30 % . Наугад взятое на проверку изделие оказалось высшего сорта. Какова вероятность того, что это изделие произведено на второй поточной линии?
96. В сборочный цех завода поступили однотипные детали, изготовленные на трех автоматах. Известно, что первый автомат дает 3 % брака, второй – 1 % , а третий – 2 % брака. Найти вероятность попадания на сборку годной детали, если с первого автомата поступило 600 деталей, со второго и третьего, соответственно, в 2 и 3 раза меньше, а деталь отбирается случайным образом.
97. Электролампы поставляются магазину тремя заводами. В очередной раз первый завод поставил 100 шт., второй – 150 шт., а третий – 200 шт. Продукция первого завода содержит 97 % стандартных ламп, второго – 98 % . Продукция третьего завода содержит только стандартные изделия. Определить вероятность того, что купленная в магазине лампа окажется нестандартной.
98. В ящике находятся изделия, сделанные на трех станках: 20 – на первом станке, 18 – на втором и 14 – на третьем. Вероятности того, что изделия, изготовленные на первом, втором и третьем станках, отличного качества, соответственно, равны 0,7; 0,85; 0,9. Взятое наудачу изделие оказалось отличного качества. Какова вероятность того, что оно изготовлено на втором станке?
99. Первый заготовительный цех изготовил 1000 деталей, второй в 2 раза больше, а третий столько, сколько первые два вместе взятые. При этом продукция первого цеха содержит 0,3 % брака, второго – 0,2 % и третьего – 0,4 % брака. Все детали общей партией поступают на сборку. Наудачу берут одну деталь. Найти вероятность того, что она годная.
100. В цехе 3 автоматических станка производят одни и те же детали. Их производительность относится как 1 : 2 : 3 . Известно, что первый станок производит 90 % деталей I сорта , второй – 80 %, третий – 70 %. Определить вероятность того, что наудачу взятая из общего количества деталь окажется первосортной.
101. На склад поступает продукция трех фабрик. Причем продукция первой фабрики составляет 20 % , второй – 45 % , третьей – 35 % . В продукции первой фабрики 5 % нестандартных изделий, в продукции второй – 2 % , третьей – 1 % . Наудачу взятое изделие оказалось стандартным. Найти вероятность того, что оно произведено на первой фабрике .
102. В магазин поступают однотипные изделия с трех заводов, причем первый завод поставляет 50 % изделий, а второй и третий заводы, соответственно, 20 % и 30 % изделий. Среди изделий первого завода 90 % первосортных, второго – 80 % , третьего – 90 % . Куплено одно изделие, оно оказалось первосортным. Определить вероятность того, что купленное изделие выпущено третьим заводом.
103. Из 1000 ламп 640 и 80 принадлежат, соответственно, первой и второй партиям, остальные – из третьей партии. В первой партии обнаружено 6 % бракованных ламп, во второй – 5 %, в третьей – 4 %. Наудачу выбирают одну лампу. Определить вероятность того, что выбранная лампа годная.
104. Количество продукции, поступающей на механическую обработку от трех литейных цехов, определяется соотношением 3 : 4 : 5. На 100 единиц продукции первого цеха приходится в среднем 3 единицы брака, второго и третьего цехов, соответственно, 2 и 4 единицы. Наудачу взятая отливка оказалась годной. Какова вероятность того, что она отлита во втором цехе?
105. Два автомата производят одинаковые детали, которые поступают на общий конвейер. Производительность первого автомата вдвое меньше производительности второго. Первый автомат производит в среднем 90 % деталей отличного качества, а второй – 70 % . Наудачу взятая с конвейера деталь оказалась отличного качества. Найти вероятность того, что эта деталь произведена вторым автоматом.
106. Два датчика посылают сигнал в общий канал связи, причем первый из них посылает вдвое больше сигналов, чем второй. Вероятность получить искаженный сигнал от первого датчика равна 0,06, от второго – 0,03. Какова вероятность получить искаженный сигнал в общем канале связи?
107. При передаче сообщения сигналами азбуки Морзе сигналы “точка” и “тире” встречаются в отношении 5 : 3. Статистические свойства помех таковы, что искажается в среднем 1/25 часть сигналов “точка” и 1/30 часть сигналов “тире”. Найти вероятность того, что произвольно выбранный из принятых сигналов не искажен.
108. Среди деталей, поступающих на сборку, с первого станка 0,1 % бракованных, со второго – 0,2 % , с третьего – 0,5 % . Производительность станков относится как 4 : 3 : 2, соответственно. Взятая наудачу деталь оказалась стандартной. Найти вероятность того, что эта деталь была изготовлена на третьем станке.
109. В вычислительной лаборатории имеется 6 клавишных автоматов и 4 полуавтомата. Вероятность того, что за время выполнения некоторых расчетов автомат не выйдет из строя, равна 0,95; для полуавтомата эта вероятность равна 0,8. Студент производит расчет на взятой наудачу машине. Найти вероятность того, что до окончания расчета машина не выйдет из строя.
110. Вероятности, что во время работы цифровой электронной машины возникает сбой в арифметическом устройстве, оперативной памяти, остальных устройствах, относятся как 3 : 2 : 5. Вероятности обнаружения сбоя в арифметическом устройстве, оперативной памяти и остальных устройствах, соответственно, равны 0,86; 0,9; 0,8. Сбой обнаружен. Какова вероятность того, что он обнаружен в оперативной памяти?
111. В специализированную больницу поступают в среднем 50 % больных с заболеванием К, 30 % – с заболеванием Л, 20 % – с заболеванием М. Вероятность полного излечения болезни К равна 0,7, для болезней Л – 0,8, М – 0,9. Больной, поступивший в больницу, был выписан здоровым. Найти вероятность того, что этот больной страдал заболеванием К.
112. Изделие проверяется на стандартность одним из трех товароведов. Вероятность того, что изделие попадет к первому товароведу, равна 0,25, ко второму – 0,26 и к третьему – 0,49. Вероятность того, что изделие будет признано стандартным первым товароведом, равна 0,95, вторым – 0,98, третьим – 0,97. Найти вероятность того, что стандартное изделие проверено вторым товароведом.
113. Часы изготовляются на трех заводах и поступают в магазин. Первый завод производит 40 % продукции, второй – 45 % и третий – 15 % . В продукции первого завода не спешат 80 % часов, второго – 70 % и третьего – 90 % . Какова вероятность того, что купленные часы спешат?
114. В спартакиаде участвуют из первой группы четыре студента, из второй – шесть и из третьей – пять. Студент первой группы попадает в сборную института с вероятностью 0,9, студент второй группы – 0,7, а студент третьей группы – 0,8. Наудачу выбранный студент попал в сборную института. Вероятнее всего, из какой он группы?
115. Число грузовых автомашин, проезжающих по шоссе, на котором стоит бензоколонка, относится к числу легковых автомашин, проезжающих по тому же шоссе, как 5:2. Вероятность того, что будет заправляться грузовая машина, равна 0,3, для легковой машины она равна 0,4. К бензоколонке подъехала для заправки машина. Какова вероятность того, что эта машина легковая?
116. В цехе три автоматических станка производят одни и те же детали. Производительность их одинакова, но качество работы различное. Известно, что станок первого типа производит 90 % деталей отличного качества, второго – 85 % и третьего – 80 %. Все произведенные за смену в цехе детали в нерассортированном виде сложены на складе. Взятая наудачу деталь оказалась высшего качества. Какова вероятность того, что произведена она на станке второго типа?
117. При разрыве снаряда образуются крупные, средние и мелкие осколки в отношении 1:3:6. При попадании в танк крупный осколок разбивает броню с вероятностью 0,9, средний – 0,3 и мелкий – 0,1. Какова вероятность того, что попавший в броню осколок пробьет ее?
118. Партия состоит из вентиляторов рижского и московского заводов, причем с рижского завода поступило вентиляторов в 2,5 раза меньше, чем с московского. Для вентилятора рижского завода вероятность безотказной работы составляет 0,92, а для московского – 0,95. Вентилятор испытывали в течение некоторого времени, и он работал безотказно. Найти вероятность того, что это вентилятор московского завода.
119. На склад телеателье поступают кинескопы трех заводов. Со второго завода поступает их в 1,5 раза больше, чем с третьего, а с третьего в 2 раза меньше, чем с первого. Вероятность выпуска кинескопа высшего сорта первым заводом равна 2/3, вторым – 3/4 и третьим – 4/5. Наудачу взятый со склада кинескоп оказался высшего сорта. Какова вероятность того, что он с третьего завода?