6. Практикум. Задачник

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

1. Случайные события

1.1. Вероятность события. Непосредственный подсчет вероятностей

Пример 1. В книге 205 страниц. Какова вероятность того, что порядковый номер наудачу открытой страницы будет оканчиваться цифрой 4?

Решение. Пусть событие – номер наудачу открытой страницы оканчивается на 4. Так как книгу можно открыть на любой странице, то число всех равновозможных, единственно возможных и несовместных исходов = 205. В виду того, что в каждом десятке одна страница оканчивается на 4, а всего десятков 20, кроме того, среди последних 5 страниц есть одна, оканчивающаяся на 4, то всех благоприятствующих исходов будет 21, то есть = 21.

Итак,

Пример 2. Профессор вызвал через старосту группы на обязательную консультацию трех студентов из шести отстающих. Староста забыл фамилии студентов и назвал наудачу трех отстающих студентов. Какова вероятность того, что староста назвал именно тех студентов, которых вызвал профессор?

Решение. Пусть событие – староста назвал трех студентов, которых вызвал профессор. Число равновозможных, единственно возможных и несовместных исходов (число сочетаний из 6 по 3), так как группы студентов из трех человек, взятых из шести отстающих, должны отличаться составом (фамилии студентов):

Число благоприятствующих исходов = 1, так как профессор назвал конкретные фамилии трех отстающих студентов.

Итак,

Пример 3. В партии из 35 деталей 30 стандартных. Наудачу отобраны 5 деталей. Какова вероятность того, что среди отобранных деталей три стандартные?

Решение. Пусть событие – среди пяти отобранных деталей три стандартные. Число равновозможных, единственно возможных и несовместных исходов (число всевозможных сочетаний 5 деталей из 35, порядок извлечения деталей нас не интересует), то есть

Число благоприятствующих исходов найдем следующим образом. Отобранные пять деталей включают три стандартные и две нестандартные детали. Три стандартные детали могут появиться как сочетания из 30 по 3, то есть , а две нестандартные – как сочетания из 5 по 2, то есть . Но так как каждая тройка стандартных деталей рассматривается в сочетании с каждой парой нестандартных деталей, то

.

Таким образом,

З А Д А Ч И

1. Подброшены две монеты. Какова вероятность того, что выпадут: а) два герба; б) хотя бы один герб?

2. Подброшены три монеты. Какова вероятность того, что выпадут: а) три решки; б) не менее двух гербов?

3. Брошены две игральные кости. Какова вероятность того, что: а) сумма выпавших очков равна 5; б) произведение выпавших очков равно 12; в) сумма выпавших очков не менее 8?

4. Брошены три игральные кости. Какова вероятность того, что на них выпадет одно и то же число очков?

5. Замок устроен так , что на одной оси вращаются три диска. Каждый диск разделен на 5 секторов, отмеченных различными буквами. Замок может быть открыт при определенной комбинации этих букв. Какова вероятность, что замок будет открыт при первой установленной позиции этих букв?

6. На пяти внешне одинаковых карточках написаны буквы А, В, Г, Л, О. Какова вероятность того, что: а) случайным образом разложив карточки в ряд, получим слово “Волга”; б) разложив в ряд три случайно отобранные карточки, получим слово “Гол”?

7. На шести одинаковых карточках написаны буквы А, В, М, О, С, К. Какова вероятность того, что: а) разложив их в ряд, получим слово “Москва”; б) разложив в ряд четыре случайно отобранные карточки, получим слово “Квас”; в) разложив в ряд три случайно отобранные карточки, получим слово “Сок”?

8. Слово “Ракета” составлено из букв разрезной азбуки. Карточки с отдельными буквами тщательно перемешиваются. Какова вероятность того, что: а) разложив их в ряд, получим слово “Ракета” ; б) разложив в ряд четыре случайно отобранные карточки, получим слово “Река”; в) разложив в ряд три случайно отобранные карточки, получим слово “Рак”?

9. На шести одинаковых карточках написаны буквы А, А, А, М, Р, С. Какова вероятность того, что: а) случайным образом разложив карточки в ряд, получим слово “Самара”; б) разложив в ряд четыре случайно отобранные карточки, получим слово “Марс”; в) разложив в ряд четыре случайно отобранные карточки, получим слово “Рама”?

10. Из группы, состоящей из 15 юношей и 5 девушек, выбирают по жребию делегацию из 4 человек. Какова вероятность того, что в числе избранных окажутся: а) все юноши; б) девушек и юношей поровну?

11. На тепловой электростанции 10 сменных инженеров, 4 из которых женщины. В смену заняты 3 человека. Какова вероятность того, что в случайно выбранную смену будут заняты: а) все женщины; б) одна женщина; в) хотя бы один мужчина?

12. Группа состоит из 8 студентов факультета УЭФ, 9 студентов факультета АПК и 7 студентов факультета ПЭФ. Какова вероятность того, что три первых студента, явившихся на экзамен, окажутся: а) с факультета ПЭФ; б) двое с факультета АПК и один с факультета УЭФ?

13. В партии из 10 деталей 8 стандартных. Найти вероятность того, что среди 6 взятых наудачу деталей окажутся: а) все стандартные детали; б) стандартных деталей четыре.

14. Изготовлено 12 изделий, 8 из которых отличного качества. Наудачу отобрано 9 изделий. Какова вероятность того, что среди них 5 изделий отличного качества?

15. У сборщика имеется 10 деталей, мало отличающихся друг от друга. Из них четыре детали первого, по две – второго, третьего, четвертого видов. Какова вероятность того, что среди шести взятых одновременно деталей окажется три первого, две второго и одна третьего вида?

16. В партии готовой продукции, состоящей из 20 деталей, 3 бракованных. Определить вероятность того, что при случайном выборе четырех изделий одновременно все они окажутся небракованными. Какова вероятность того, что бракованных и небракованных изделий окажется поровну?

17. В партии готовой продукции, состоящей из 25 деталей, 5 бракованных. Определить вероятность того, что при случайном выборе четырех деталей: а) все окажутся небракованными; б) бракованных и небракованных изделий будет поровну.

18. Среди 20 студентов группы, из которых 12 девушек, разыгрывается 5 билетов. Какова вероятность того, что: а) все они достанутся девушкам; б) среди обладателей билетов окажутся три юноши?

19. В ящике 12 писем, из них 7 иногородних и 5 городских. Какова вероятность, что из вынутых наудачу 4 писем окажется: а) одно городское; б) городских и иногородних поровну.

20. Имеются изделия трех сортов. Число изделий каждого сорта равно, соответственно, 4,3,5. Для контроля наудачу берут 6 изделий. Определить вероятность того, что среди них одно изделие I сорта, два – II сорта, три – III сорта.

21. В партии из 15 деталей 11 стандартных. Наудачу отобраны 3 детали. Какова вероятность того, что: а) отобранные детали стандартные; б) среди отобранных деталей две нестандартные?

22. Студент знает 40 из 48 вопросов программы. Его экзаменационный билет содержит 3 вопроса. Найти вероятность того, что студент знает: а) все три вопроса; б) только один вопрос билета?