Окружность

 

Определение. Геометрическое место точек, расстояние от каждой из которых до данной точки О, называемой центром, есть величина постоянная, называется окружностью.

- каноническое уравнение окружности.

Окружность является частным случаем эллипса, когда большая и малая полуоси равны, с = 0, фокусы сливаются в центр. Эксцентриситет окружности равен нулю.

.

17) Гипербола

 

Определение 1. Геометрическое место точек, разность расстояний от каждой из которых до двух данных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная, называется гиперболой.

 - каноническое уравнение гиперболы.

Исследуем форму гиперболы.

1. Найдем точки пересечения с осями.

OX: y = 0,  ,  ,    A(a;0) ,    B(-a;0).

OY: x = 0,     ,         .

Определение 2. Точки A и B называются вершинами гиперболы.

2. Из вида уравнения следует, что линия симметрична относительно осей OX, OY и начала координат.

3.        .

Следовательно, кривая расположена вне прямоугольника со сторонами 2а и 2b.

Построим данную кривую.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Определение 3. Параметр a называется действительной полуосью гиперболы, а параметр b называется мнимой полуосью.

Определение 4. Прямые   называются асимптотами гиперболы.

При возрастании х гипербола неограниченно приближается к асимптотам.

Определение 5. Отношение фокусного расстояния гиперболы к ее действительной оси называется эксцентриситетом.

.

Определение 6. Кривые эллипс, гипербола, окружность называются кривыми второго порядка с эксцентриситетом, причем для окружности  , для эллипса   и для гиперболы  . При   гипербола вырождается в две параллельные прямые.

Парабола

 

Определение 1. Геометрическое место точек, равноудаленных от данной точки, называемой фокусом, и данной прямой, называемой директрисой, именуется параболой.

- каноническое уравнение параболы с вершиной в начале координат, симметричной относительно оси OX.

Исследуем форму параболы.

1. Найдем точки пересечения с осями.

OX, OY:         y = 0, х=0, О(0;0).

Определение 2. Точка A называется вершиной параболы.

2. Из вида уравнения следует, что линия симметрична относительно оси OX.

3.  . Следовательно, кривая расположена правее оси OY.

Построим данную кривую.

 

                                                           Y                                                                    

                                                                                                                                

                              N(-p/2,y)                           M(x,y)                                               

                                                                                                                                

                                                                                                                                

                                                                                         X                                     

                              K(-p/2,0)          0              F(p/2,0)                                             

                                                                                                                                

                                                                                                                                

                                        x=-p/2                                                                             

 

 

Если парабола симметрична относительно OY и имеет вершину в начале координат, то ее каноническое уравнение имеет вид  .

 

                                                    Y                                                               

                                                                                                                                

                                                                                                                                

                                                       F                                                                       

                                                                                                                                

                                                                                                                                

                                                           0                      X