
- •1. Матрицы. Операции над матрицами.
- •2. Определители, их свойства.
- •3. Миноры и алгебраические дополнения.
- •4. Обратная матрица; существование и единственность. Способы нахождения обратной матрицы.
- •5. Ранг матрицы, нахождение ранга матрицы.
- •6.Системы линейных уравнений. Матричная форма записи системы.
- •8.Линейное векторное пространство.
- •9. Линейная зависимость векторов. Свойства линейной зависимости.
- •11. Ранг и базис системы векторов. Ранг и базис n-мерного векторного пространства. Теорема о разложении вектора по базису.
- •12. Решение произвольных систем линейных уравнений.
- •13. Нахождение опорных решений систем линейных уравнений.
- •14. Точка на плоскости.
- •15. Прямая на плоскости.
- •16. Окружность. Эллипс
- •17. Гипербола. Парабола.
- •18. Понятие функции многих переменных. Частные производные функции многих переменных.
- •19. Полный дифференциал. Производная по направлению.
- •20. Градиент функции многих переменных.
- •21. Частные производные высших порядков.
- •22. Экстремумы функций многих переменных.
- •1. Матрицы. Операции над матрицами.
- •2. Определители, их свойства.
17. Гипербола. Парабола.
Г- называется геометрическое место точек плоскости модуль расстояний от которых до двух данных точек F1 , F2 (фокусы). Есть величина постоянная=2а (меньше чем расстояние между фокусами.) Каноническое уравнение: (x2/a2) –(y2/b2)=1. (рисунок)
A1,A2 –действительные вершины. В1,В2-мнительные вершины. A1O=OA2=a - действительная полуось. . А1А2=2а- действительная ось. В1О=ОВ2=б мнимая полуось. В1В2=2б –мнимая ось. . F1 F2=2с это расстояние между фокусами.
b2= с 2 -а2 (с>а) Е=с/а >1.
Если а=b, то Г равносторонняя х2-у2=а2. Уравнение асимптот у2=+-( b/а)*х
Если центр симметрии смещен в точку (х0,у0), то уравнение Е : (x-x0)2/a2-(y-y0)2/b2=1
П-это геометрическое место точек плоскости равноудаленных от данной точки F (фокус)и от данной прямой называемой директрисой .
Если П симметрична ОУ, то ее каноническое уравнение имеет вид: х2=2ру, где р-расстояние от фокуса до директрисы. (рисунок).
Если П симметрична ОХ, то ее каноническое уравнение у2=2рх.
Если вершина параболы смещена в точку (х0,у0),то она имеет вид: 1) (х-х0)2=2р(у-у0) 2)(у-у0)2=2р(х-х0)
18. Понятие функции многих переменных. Частные производные функции многих переменных.
Основные понятие:
Если каждой точке (х1,х2,…хn) из множества Д пространства Rn некоторым образом поставлена в соответствие единственное значение переменной величины Z из множества I входящей в множество Rn, то говорят что задана функция.
Переменные (х1,х2,…хn) называются независимыми переменными или аргументами. Z- зависимые переменные. Д- область определения функции. I-множество значений.
Графиком функции двух перемененных Z=f (x,y) называется мнодество точек 3-хмерного пространства вида (х,у, f (x,y)) , где х, у принадлежат области определения функции.
Число А называется пределом функции Z=f (x,y) в точке (х0,у0) или при х и у стремящ-ся к х0 и у0.
Если для любо сколь угодно малого Е существует число такое, что для всех точек (х,у) отстоящих от точки (х0,у0) на расстояние не превышающее то число выполняется неравенство l f (x,y)-Al < E lim f (x,y)=A при х и у стремящ-ся к х0 и у0
Рассмотрим функцию от 2-х переменных Z=f (x,y). Зафиксируем значение одного из ее аргументов (у), положив у=у0, тогда Z=f (x,y0) будет функцией одной переменной (х). Пусть она имеет производную в точке х0 lim f(x0+∆x;y0)-F(x0;y0)/ ∆x
Обозначим числитель через ∆z по х и тогда f’x (x0;y0)= lim ∆zx/∆x это выражение называется частной производной функции от Z=f (x,y) по х. Это означает что х-функция, а у-константа. Частная производная от у записывается аналогично.
Все правила дифференцир. предусмотр. для нахождения производной от функции одной переменной выполняются и для нахождения производных от функции двух переменных.
Следует заметить, что частные производные сами являются функциями от двух переменных и от них так же можно найти производную. Существуют 4 частных производных второго порядка Z’’xx , Z’’yy , Z’’xy ,Z’’yx . Смешанные производные второго порядка равны.
19. Полный дифференциал. Производная по направлению.
Полный дифференциал – главная линейная относительно приращений аргументов часть малого полного приращения ф-ии.
Теорема:
dz = (∂z/∂x) dx + (∂z/∂y)dy.