9. Линейная зависимость векторов. Свойства линейной зависимости.

Векторы наз-ся линейно зависимыми, если их линейная комбинация равна нулевому вектору, когда не все коэффиц = 0

Свойство 1. для того, чтобы сист векторов была линейно зависима необходимо, чтобы хотя бы 1 вектор можно было выразить через остальные

Свойство 2. если в сист вект лин завис, то и вся сист лин зав

Свойство 3. если в сист имеются 2 равных или пропорцион вектора, вся сист лин завис

Свойство 4. если содежится нулевой вектор, всегда лин завис

10. Линейная независимость векторов. Свойства линейной независимости. сист векторов лин независима, если их лин комбин = нулевому вектору, только тогда, когда все коэф =0

Св-ва:

1.один ненулевой вектор линейно независим

2.сист един вект лин независима

3.если вся сист лин независ, то любая ее часть так же лин независима

11. Ранг и базис системы векторов. Ранг и базис n-мерного векторного пространства. Теорема о разложении вектора по базису.

Ранг в системе векторов максимальн независ подсист этой системы векторов наз-ся частичный набор векторов. Удовлетв 2 условиям:

1.векторы этого набора лин незав

2.любой вектор сист лин выражается через векторы этого набора

Максимально независим подсист сист вектор наз-ся базисом сист вект

Максим число лин незав вект сист наз-ся рангом сист вект

Базисом n-мерного вект простр наз-ся максим сист лин незав вект

Ранг n-мерного вект простр = размерности этого простр=размерности

Для того, чтобы определить образует ли сист вект базис, необход найти ранг матрицы, составленный из координат вект

Если ранг = кол-ву вект, то сист вект лин незав

Если же ранг меньше кол-ва вект, то сист лин незав и базиса не образует

Если определитель составлен из координат вект ≠0, то сист лин незав и образует базис.

Теорема. (О разложении вектора по базису.)

Любой вектор векторного пространства можно разложить по его базису и притом единственным способом.

12. Решение произвольных систем линейных уравнений.

Метод Гаусса.

Переменные, коэффициенты при которых образуют минор, отличный от нуля (базисный минор), называются базисными переменными. Остальные переменные называются свободными. Выражение базисных переменных через свободное число-общее решение системы. Решение системы, полученное из общего при конкретных значениях свободных переменных, называется частным решением. Частных решений у системы бесконечно много, все они содержат ся в общем решении. Частное решение, полученное из общего, когда свободные переменные равны 0, называется базисным решением системы. Базисное решение, координаты которого неотрицательны, называется опорным решением.

Метод Гаусса. Элементарными преобразованиями системы называются:1)умножение уравнения на число, отличное от 0;2)прибавление к одному уравнению другого уравнения, умноженного на некоторое число, отличное от 0;3)перестановка двух уравнений;4)отбрасывание 0=0.

Это метод последовательного исключения неизвестных. Он заключается в том, что с помощью элементарных преобразований система уравнений приводится к равносильной системе ступенчатого вида из которой последовательно находятся все оставшиеся переменные. Этот метод является универсальным методом решения систем линейных уравнений. Переменные, которые искл. из всех уравнений системы кроме одного уровня называются базисными переменными. Переменные, не входившие в число базисных-свободные. Если в процессе решения появляется строка (0*x1+0*x2…+0*xn=0) то эта отбрасывается, а решение продолжается. Если появляется строка (0*x1+0*x2…+0*xn=bi (bi не может быть равен 0), то система решения не имеет. Общее решение системы лин.уравнени- выражение базисных переменных через свободные. Частное решение получается из общего решения при присвоении свободных переменных любых значений. Частное решение в котором все свободные переменные равны называется базисным решением. Из одного общего решения можно выписать только одно базисное решение.