
1.В математике для решения разных задач очень часто используют разные функции. А знаете ли вы как их можно задавать и в каких случаях надо использовать тот или иной вид? Для начала рассмотрим определение:
Функция
считается заданной (известной), если
для каждого значения аргумента (из
числа возможных) можно узнать
соответствующее её значение.Наиболее
употребительны три
методы:табличный,графический,аналитический.
Далее остановимся более подробно на
каждом из них.Табличный способ -
общеизвестен (таблицы логарифмов,
квадратных корней и т. д.). Он сразу дает
числовое значение функции. В этом его
преимущество перед другими способами.
Недостатки: таблица трудно обозрима в
целом; она часто не содержит всех нужных
значений аргумента.
Графический
способ состоит в построении линии
(графика) в разных системах координат,
например в Декартовой – абсциссы (по
горизонтали) изображают значения
аргумента, а ординаты (по вертикали) -
соответствующие значения функции.
Часто бывает, что функция быстро
стремится вверх или вниз, поэтом тогда
удобнее масштабы на осях брать разными.
Преимущества графического способа —
легкость обозрения в целом и непрерывность
изменения аргумента; недостатки:
ограниченная степень точности и
утомительность прочитывания значений
функции с максимально возможной
точностью.Аналитический способ состоит
в задании функции одной или несколькими
формулами, например,y=f(x). Если зависимость
между х и у выражена уравнением,
разрешенным относительно у, то величина
у называется явной функцией аргумента
х, в противном случае — неявной.
Преимущество здесь в том, что всегда
можно вычислить точно значение для
любого аргумента. Недостатки, что по
самой формуле сложно понять общее
поведение функции. Понятие функци-
Сложная
функция. Если функция x=(t)
дифференцируема в точке t0,
а функция y=f(x) дифференцируема в точке
x=x0=(t0),
то сложная функция y=f((t))
дифференцируема в точке t=t0
и ее производная в этой точке находится
по формуле
Док-во:
Т. к. функция y=f(x) дифференцируема в точке x=x0, то y=f ‘(x0)x+(x)x.
2.
3.
Теорема о связи функции, ее предела и бесконечно малой.
lim (x->a) f(x) = A (A +/- oo) <=> f(x)=A+alpha(x) - бесконечно малая при x->a
сравнение-
Пусть
и
– бесконечно малые функции при
.
Предел отношения этих величин может
принимать любые значения – в зависимости
от быстроты убывания одной величины
относительно другой. Для сопоставления
скоростей убывания этих величин при
стремлении x
точке a
можно использовать предел отношения
Если
этот предел представляет собой конечное
ненулевое число, то
и
называются бесконечно
малыми одного и того же порядка.
Особый интерес представляет частный
случай, когда λ = 1. Тогда говорят,
что
и
являются эквивалентными
бесконечно малыми при
и
записывают это утверждение в виде
Если λ = 0,
то говорят, что
является бесконечно
малой более высокого порядка по
сравнению с
при
а
функция
имеет меньший
порядок малости.
Термин “порядок малости” допускает
уточнение, если
и
представляют собой бесконечно малые
одного и того же порядка. В этом случае
говорят, что
является бесконечно малой n-го
порядка по сравнению с
.
Например, функция
является бесконечно малой 4-го порядка
по сравнению с
при x → 0. Если
λ = ∞, то бесконечно малые
и
как бы меняются своими ролями. В этом
случае функция
является бесконечно малой более высокого
порядка по сравнению с
при
.
4.
5.
6.
7.
Теорема 1 (необходимое и достаточное условие непрерывности функции в точке).
Для того чтобы, функция у = f(х), определенная в некоторой окрестности точки а, была непрерывна в точке а, необходимо и достаточно, чтобы существовали односторонние пределы и равные друг другу и значению функции в точке а:
f(a-0)=f(a+0)=f(a).
8. Теоремы о непрерывности суммы, произведения, частного непрерывных функций, о непрерывности сложенных функций.
Теорема:
Сумма, произведение и частное двух непрерывных функций – непрерывны. Доказательство: Докажем для произведения.
Пусть
.
Тогда, по теореме о пределе произведения:
Теорема:Пусть
функция
непрерывна
в точке
,
а функция
непрерывна
в точке
.
Тогда сложная функция
,
состоящая из непрерывных функций,
непрерывна в точке
.Доказательство:
Т.к.
-
непрерывна, то
,
т.е. при
имеем
.
Поэтом (т.к.
-
непрерывна) имеем:
Непрерывность сложной функции
Пусть
функция у =
φ (x)
непрерывна в точке х0,
а функция f (y)
непрерывна в точке у0 =
φ (x0),
тогда сложная функция f(φ(x))
непрерывна в точке х0.
Доказательство.
Выберем произвольную как угодно малую
окрестность U(z0)
точки z0 = f (y0).
Тогда в силу непрерывности функции f (y)
найдётся такая окрестность V(y0)
точки у0,
что, если у
V(y0),
то значения функции f (y)
U(z0).
Далее, для полученной окрестности V(y0)
в силу непрерывности функции у =
φ (x)
в точке х0 существует
такая окрестность W(x0),
что если х
W(x0),
то значения функции у =
φ(x)
V(y0).
Следовательно, для произвольной
точки х
W(x0)
следует z = f (φ(x))
U(z0).
Что и требовалось доказать.
Это
можно записать ещё и так
.
Указанное выше свойство можно сформулировать в виде правила замены переменной: пусть функция у = φ (x) непрерывна в точке х0, а функция f (y) непрерывна в точке у0 = φ(x0), тогда
9.
10.
1) Физический
смысл производной. Если функция
y = f(x) и ее аргумент x являются физическими
величинами, то производная
– скорость изменения переменной y
относительно переменной x в точке
.
Например, если S = S(t) – расстояние,
проходимое точкой за время t, то ее
производная
–
скорость в момент времени
.
Если q = q(t) – количество электричества,
протекающее через поперечное сечение
проводника в момент времени t,
то
– скорость изменения количества
электричества в момент времени
,
т.е. сила тока в момент времени
.
2) Геометрический смысл производной.
Пусть
–
некоторая кривая,
–
точка на кривой
.
Любая
прямая, пересекающая
не
менее чем в двух точках
называется секущей.Касательной к
кривой
в
точке
называется
предельное положение секущей
,
если точка
стремится
к
,
двигаясь по кривой.
Из
определения очевидно, что если касательная
к кривой в точке
существует,
то она единственнаяРассмотрим кривую
y = f(x) (т.е. график функции y = f(x)).
Пусть в точке
он
имеет невертикальную касательную
.
Ее уравнение:
(уравнение
прямой, проходящей через точку
и
имеющую угловой коэффициент k).
По
определению углового коэффициента
,
где
–
угол наклона прямой
к оси
.
Пусть
–
угол наклона секущей
к
оси
,
где
.
Так как
–
касательная, то при
⇒
⇒
.
Следовательно,
Таким образом, получили, что – угловой коэффициент касательной к графику функции y = f(x) в точке (геометрический смысл производной функции в точке). Поэтому уравнение касательной к кривой y = f(x) в точке можно записать в виде
12.
13.
14.
15.
производне
элемент.функций
Таблица
произво=
Если y(x)=f(u(x)) и существует f’(u) и u’(x), то существует y’(x)=f(u(x))u’(x).
Теорема о произв. обратной функции.
Дифференцирование сложных ф-ций:
Производная сложной ф-ции = произведению производной ф-ции по промежуточному аргументу и производной самого промежуточного аргумента по независимой переменной.
y`=f(x)*U`,или yx`=yU`*Ux`, или dy/dx=dy/dU=dU/dx
Например:
16. Дифференциал функции
Итак,
график дифференцируемой функции в
окрестности каждой своей точки сколь
угодно близко приближается к графику
касательной в силу равенства:
где
α – бесконечно малая в окрестности
функция.
Для приближенного вычисления значения
функции f в
точке x0 + Δx эту
бесконечно малую функцию можно
отбросить:
|
Линейную
функцию
называют дифференциалом
функции f в
точке
и
обозначают df.
Для функции x производная
в каждой точке
равна 1,
то есть
Поэтому
пишут:
|
|
Приближенное
значение функции вблизи точки
равно
сумме ее значения в этой точке и
дифференциала в этой же точке. Это дает
возможность записать производную
следующим образом:
|
Часто эту запись используют, чтобы уточнить, по какой переменной дифференцируется функция.
|
Модель 3.3. Дифференциал функции |
Геометрически дифференциал функции df – это приращение ординаты касательной к графику функции в данной точке при изменении абсциссы точки на dx
Свойства
дифференциаловВыражение
производной через дифференциалы:
где индекс "х" при y' показывает,
что производная берется по аргументу
х. В то же время дифференциалы dy и dx
можно брать по любому аргументу.Выражение
дифференциала через производную:
Используя
его, можно записать свойства дифференциалов,
используя свойства
производной.
1. Постоянный множитель можно вынести
за знак дифференциала:
2.
дифференциал алгебраической суммы
функций равен алгебраической сумме
дифференциалов этих функций
3. дифференциал произведения
4.
дифференциал дроби (дифференциал
частного)
5. дифференциал сложной функции
где
d g(x), в свою очередь, можно дифференцировать
дальше.