Основные правила дифференцирования.
1. Производная алгебраической суммы конечного числа дифференцируемых функций равна сумме производных этих функций:
.
2. Производная произведения двух дифференцируемых функций равна сумме произведения производной первого множителя на второй множитель и произведения первого множителя на производную второго:
.
Следствие 1. Постоянный множитель
можно вынести за знак производной:
.
Следствие 2. Производная произведения нескольких дифференцируемых функций равна сумме произведений производной каждого из сомножителей на все остальные:
.
3. Производная частного двух
дифференцируемых функций может быть
найдена по формуле:
(
).
Докажем, например, правило 2 (правила1-3 докажите самостоятельно).
Рассмотрим функцию
.
Дадим аргументу
приращение
,
аргументу
приращение
.
Соответственно, их произведение получит
приращение
.
Составим отношение
.
Переходя в этом равенстве к пределу при
,
получим:
4. Дифференцирование обратной функции.
Если функция
имеет
обратную функцию
и
,
то обратная функция дифференцируема в
точке
,
причем
.
5.
Конец формы
Дифференцирование сложной функции.
Если функции
и
дифференцируемы по своим аргументам,
то производная сложной функции
существует и равна произведению
производной внешней функции по
промежуточному аргументу и производной
промежуточного аргумента по независимой
переменной:
.
Таким образом, производные сложных функций можно вычислить по формулам:
17.Уравнение касательной к графику функции.
Уравнение касательной к графику функции.
Выведем уравнение касательной к графику
функции
в точке
.
Будем искать это уравнение в виде у=кх+в.
Т.к. прямая проходит через данную точку, то
,
откуда
.
Тогда
.
А поскольку
,
то
- уравнение касательной.
Пример. Составить уравнение
касательной к графику функции
в точке (2;4).
.
.
18.Производные высших порядков. Правило Лопиталя.
Производные высших порядков.
Если функция дифференцируема в точке, то она имеет производную в этой точке, которая также является функцией от х и также может быть дифференцируемой.
Производной второго порядка или
второй производной
функции
называется производная от ее производной:
.
Вторая
производная также может быть обозначена
символами
,
.
Аналогично определяется и обозначается производная третьего порядка:
.
Для обозначения производных более
высокого порядка используются арабские
цифры в скобках или римские цифры,
например:
или
.
Опр. Производной n-го
порядка называется производная
от производной (n-1)-го
порядка:
.
Пример.
Найти вторую производную функции
.
Решение.
;
.
Правило Лопиталя
предлагает эффективный способ раскрытия
неопределенностей
и
.
Теорема. Предел отношения двух дифференцируемых бесконечно малых или бесконечно больших функций равен пределу отношения их производных (если он существует, конечен или бесконечен):
.
Пример1.
.
Пример 2.
.
Пример 3.
.
Пример 4.
.
19.Дифференциал. Геометрический смысл дифференциала. Связь между производной и дифференциалом. Свойства дифференциала.