Метод интегрирования по частям в неопределенном интеграле.
Теорема. Пусть функции u и υ определены и дифференцируемы на некотором промежутке и функция υdu имеет на этом промежутке первообразную. Тогда функция u·dυ также имеет первообразную на данном промежутке, причем справедлива формула
.
Метод интегрирования подстановкой.
Состоит в приведении интеграла к
табличному виду при помощи подстановок
вида
или
.
Рассмотрим некоторые частные случаи.
1. При нахождении интегралов вида
используется
подстановка
.
2. При нахождении интегралов вида
применяется подстановка вида
.
3. При нахождении интегралов вида
применяется подстановка вида
.
4. При нахождении интегралов вида
применяется подстановка вида
.
В заключении добавим, что нахождение
первообразных различных функций –
задача, не разрешенная принципиально.
Многие элементарные функции не имеют
элементарных первообразных. К ним
относятся, например,
,
,
и некоторые другие. Интегралы от них
называются неберущимися. Однако, их
первообразные существуют и вычисляются
численными методами (через разложение
в ряд).
30.Определенный интеграл. Геометрический смысл определенного интеграла.
§1. Определенный интеграл.
Пусть функция определена и непрерывна (а значит, ограничена) на [a,b].
Разобьем отрезок [a,b] на n произвольных частей точками
.
Длину каждого i-го отрезка разбиения назовем
,
.
Внутри каждого отрезка разбиения выберем
произвольно по точке
.
Составим сумму
.
(1)
Выражение вида (1) называется интегральной
суммой функции f(x)
по отрезку [a,b].
Если функция
непрерывна на отрезке
,
то существует предел интегральной суммы
при условии, что длина наибольшего из
частичных отрезков стремится к нулю, и
он не зависит от способа разбиения
отрезка
на частичные отрезки и от выбора точек
в каждом из них.
Опр. Предел интегральной суммы функции f(x) по отрезку [a,b] при стремлении длины наибольшего из частичных отрезков к нулю, называется определенным интегралом от функции f(x) по отрезку [a,b] и обозначается
.
Числа а и в называют нижним и верхним пределами интегрирования. Функция называется интегрируемой на отрезке [a,b]. Любая непрерывная на отрезке функция интегрируема на этом отрезке.
Геометрический смысл определенного интеграла.
Из рисунка видно, что интегральная сумма
равна площади ступенчатой фигуры,
образованной из прямоугольников шириной
, высотой
.
При неограниченном измельчении длин
отрезков разбиения площадь этой фигуры
стремится к площади криволинейной
трапеции. Следовательно, определенный
интеграл в геометрическом смысле равен
площади криволинейной трапеции,
заключенной между графиком неотрицательной
функции и осью Ох на отрезке [a,b].
31.Свойства определенного интеграла. Вычисление определенного интеграла.