5.1. Вычисление двойного интеграла
Пусть требуется вычислить двойной интеграл по некоторой области. Различают области интегрирования двух основных видов:
1)
область первого вида
,
т.е. область
,
ограниченная слева и справа прямыми
,
(
)
соответственно, снизу кривой
,
сверху кривой
(
),
каждая из которых пересекается с
вертикалью
(
)
только в одной точке (рис. 3);
2)
область второго вида
,
т.е. область
,
ограниченная снизу и сверху прямыми
,
соответственно, слева кривой
,
справа кривой
(
),
каждая из которых пересекается с
горизонталью
(
)
только в одной точке (рис. 4).
Рисунок 3 Рисунок 4
Замечание.
В некоторых случаях точки
и
,
и
,
и
,
и
могут сливаться в одну.
Если для функции f(x, y), определённой в области , существует двойной интеграл, а при каждом постоянном значении х из отрезка
[a, b]
,
то (5.1)
то существует также повторный интеграл
(5.2)
и выполняется равенство
.
(5.3)
В случае области второго вида
(5.4)
в предположении, что наряду с двойным интегралом существует интеграл по х при постоянном у.
Если область (S) можно рассматривать и как область , и как , то при выполнении условий типа (5.1) можно использовать обе формулы (5.3) и (5.4), поэтому
.
Пусть
область (S)
является прямоугольником со сторонами,
параллельными осям координат, причём
,
(рис. 5); обозначим его так: (S)=[a,
b;
c,
d].
Если функция f(x,
y)
удовлетворяет в указанной области (S)
условиям типа (5.1), то:
,
.
Рисунок 5
Если область интегрирования не принадлежит к рассмотренным выше видам, необходимо разбить её на части, каждая из которых относится к одному из этих видов. Тогда двойной интеграл по всей области в соответствии со свойством 5-го двойного интеграла равен сумме двойных интегралов по каждой части области.
5.2. Замена переменных в двойном интеграле. Двойной интеграл в полярных координатах
Замена переменных в двойном интеграле связана с введением криволинейных координат на плоскости. Рассмотрим непрерывно дифференцируемые функции u и v прямоугольных декартовых координат х и у:
,
.
(5.5)
Будем предполагать, что уравнения (5.5) однозначно разрешимы относительно х и у:
,
,
(5.6)
где
,
-
непрерывно дифференцируемые функции
от u
и
v.
Придавая поочерёдно u и v различные (возможные для них) значения, получаем два семейства линий на плоскости (рис. 6, а); эти линии называются координатными. Положение точки М на плоскости определяется парой чисел (х, у) или (u, v), где u и v выражены формулами (5.5). Числа u и v называются криволинейными координатами точки М на плоскости.
Примером
криволинейных координат являются
полярные координаты, в этом случае
,
;
координатные линии – концентрические
окружности и полупрямые, исходящие из
начала координат (рис 6, б). Прямоугольные
координаты – частный случай криволинейных:
,
,
координатные линии – прямые, параллельные
осям координат (рис. 6, в).
Если непрерывно дифференцируемые функции (5.6)осуществляют взаимно однозначное отображение области (S) плоскости Оху (рис. 7, а) на область (G) плоскости Ouv (рис. 7, б), то
,
(5.7)
где J(u, v) – функциональный определитель (якобиан):
.
(5.8)
В
случае перехода к полярным координатам
,
(
,
)
формула (5.7) принимает вид
,
так
как
.
Рисунок 6
а)
б)
в)
Рисунок 7
а) б)
Рисунок 8
Если
область (G)
(рис. 8) ограничена лучами, образующими
с полярной осью углы
,
,
и кривыми
,
(
),
то
.
(5.9)
Если область (G) охватывает начало координат, то
.
(5.10)