3.4. Задачи на нахождение наибольших и наименьших значений величин

Функция нескольких переменных, дифференцируемая в ограниченной замкнутой области, достигает наибольшего (наименьшего) значения или в стационарной точке, или в точках границы области.

4. Эмпирические формулы

Под эмпирической формулой понимают формулу, составленную по данным, определённым в результате эксперимента. Получив в результате наблюдений n значений величины х и n соответствующих значений величины у, ставят задачу отыскания такой аналитической зависимости между этими величинами, которая возможно мало отличалась бы от реальной зависимости между х и у. Формулу, приближённо выражающую эту зависимость, называют эмпирической.

4.1. Определение параметров эмпирических формул методом наименьших квадратов в случае линейной зависимости величин

Метод наименьших квадратов – один из лучших способов составления таких формул. Изложим идею этого метода для случая линейной зависимости двух величин.

Пусть необходимо установить зависимость между двумя величинами х и у. Произведём n измерений и результаты их занесём в таблицу:

х				…
у				…

Будем рассматривать и как прямоугольные декартовы координаты точек на плоскости: , , …, . Допустим, что эти точки расположены почти на некоторой прямой. Естественно в этом случае предположить, что между х и у существует линейная зависимость, т.е. у есть линейная функция от х, выражающаяся формулой

, (4.1)

где a, b – некоторые постоянные коэффициенты (параметры), подлежащие определению. Равенство (4.1) можно записать в таком виде:

. (4.2)

Поскольку точки только «приблизительно» расположены на прямой, определяемой уравнением (4.1) или (4.2), то и эти формулы являются приближёнными.

Следовательно, подставляя в формулу (4.2) вместо х и у значения , , взятые из таблицы, получаем:

(4.3)

где - некоторые числа, называемые погрешностями.

Требуется определить коэффициенты a, b так, чтобы погрешности были по возможности малыми по модулю. Согласно методу наименьших квадратов, подберём коэффициенты a, b так, чтобы сумма квадратов погрешностей была возможно меньшей, т.е. потребуем, чтобы сумма

(4.4)

была наименьшей. Если эта сумма окажется достаточно малой, то тогда и сами погрешности будут малыми по модулю.

Подставляя равенства (4.3) в формулу (4.4), получаем

.

Переменная величина u является функцией двух переменных a, b (a, b - неизвестные). Подберём параметры a, b так, чтобы функция u принимала возможно меньшее значение. Для этого необходимо, чтобы выполнялись условия: , . Находя частные производные функции u по a, b, приравнивая их к нулю, получаем так называемую нормальную систему:

, , (4.5)

откуда определяем параметры a, b эмпирической формулы (4.1).