3. Приложения частных производных

Частные производные используются при решении многих геометрических, физических и других задач. Они входят в уравнения нормали и касательной плоскости к поверхности, в уравнение огибающей семейства линий на плоскости. Частные производные применяются также при нахождении экстремумов функции нескольких переменных, при решении задач на нахождение наибольших и наименьших значений величин.

3.1. Геометрические приложения

Уравнения касательной прямой к линии

, , (3.1)

в точке , где , , , имеют вид

. (3.2)

Нормальной плоскостью кривой в некоторой её точке называется плоскость, проходящая через эту точку перпендикулярно касательной прямой линии в данной точке.

Уравнение нормальной плоскости кривой (3.1) в точке имеет вид:

. (3.3)

Касательной плоскостью к поверхности в данной её точке М (точке касания) называется плоскость, в которой лежат касательные в этой точке к всевозможным кривым, проведённым на данной поверхности через указанную точку.

Нормалью к поверхности называется перпендикуляр к касательной плоскости в точке касания.

Координаты направляющего вектора нормали n=(a, b, c) к поверхности

F(x, y, z)=0 (3.4)

в точке пропорциональны значениям соответствующих частных производных функции F(x, y, z) в этой точке:

, , ,

где , , .

Координаты вектора n входят в уравнение касательной плоскости к поверхности в точке

(3.5)

и в уравнения нормали к данной поверхности в той же точке

. (3.6)

3.2. Семейства линий и их огибающие. Семейства поверхностей и их огибающие

Однопараметрическим семейством линий, лежащих в плоскости Оху, называется множество линий, определяемое уравнением

F(x, y, С)=0, (3.7)

в котором параметр С может принимать различные действительные значения (при каждом фиксированном значении С получаем определённую линию семейства).

Огибающей семейства линий называется такая линия, которая в каждой своей точке касается некоторой линии этого семейства.

Множество всех точек, удовлетворяющих системе уравнений

F(x, y, С)=0, F (x, y, С)=0, (3.8)

называется дискриминантной линией семейства (3.7).

Если в точках дискриминантной линии частные производные и одновременно в нуль не обращаются, то дискриминантная линия совпадает с огибающей семейства.

Множество линий, определяемое уравнением

,

где - независимые параметры, называется n-параметрическим семейством линий (параметры называются независимыми или существенными, если их число нельзя уменьшить путём введения новых параметров).

Однопараметрическим семейством поверхностей называется множество поверхностей, определяемое уравнением

F(x, y, z, С)=0. (3.9)

Огибающей семейства поверхностей называется поверхность, которая в каждой своей точке касается некоторой поверхности этого семейства.

Огибающая семейства поверхностей (3.9) удовлетворяет системе уравнений

F(x, y, z, С)=0, F (x, y, z, С)=0. (3.10)