7.1. Вычисление криволинейных интегралов

Вычисление криволинейного интеграла первого рода сводится к вычислению определённого интеграла.

Если пространственная кривая L задана параметрическими уравнениями , , ( ), то

. (7.1)

Если кривая L лежит в плоскости Оху, то

. (7.2)

В частности, для плоской кривой, заданной уравнением ( ), имеем

. (7.3)

Если плоская кривая задана уравнением ( ) в полярных координатах, то

. (7.4)

Вычисление криволинейного интеграла второго рода сводится к вычислению определённого интеграла.

Если кривая L задана параметрическими уравнениями , , ( ) и значению соответствует точка А, а значению - точка В, то

. (7.5)

Если кривая L лежит в плоскости Оху, получаем

. (7.6)

В частности, для плоской кривой, заданной уравнением ( ), имеем

. (7.7)

7.2. Формула Грина. Условия независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования

Если (L) – кусочно-гладкий контур, ограничивающий на плоскости Оху область (S), a P(x, y), Q(x,y) – функции, непрерывные в замкнутой области и имеющие в ней непрерывные частные производные, то справедлива формула Грина

, (7.8)

где обход контура выбирается так, чтобы область (S) оставалась слева.

Криволинейный интеграл ,

где контур (L) целиком лежит внутри некоторой односвязной области (S), в которой функции P(x, y), Q(x,y) непрерывны вместе со своими частными производными, не зависит от пути интегрирования тогда и только тогда, когда

. (7.9)

В этом случае подынтегральное выражение представляет собой полный дифференциал некоторой функции

и , (7.10)

где - соответственно начальная и конечная точки пути интегрирования. В частности, криволинейный интеграл по замкнутому контуру равен нулю:

.

Криволинейный интеграл

, (7.11)

где контур (L) целиком лежит внутри некоторой односвязной области (V), в которой функции P(x, y, z), Q(x,y, z), R(x, y, z) непрерывны вместе со своими частными производными, не зависит от пути интегрирования тогда и только тогда, когда

, , . (7.12)

В этом случае подынтегральное выражение представляет собой полный дифференциал некоторой функции:

и . (7.13)

В частности, криволинейный интеграл по замкнутому контуру равен нулю: .

7.3. Приложения криволинейных интегралов

Длина l дуги АВ плоской или пространственной кривой вычисляется по формуле

.

В частности, если пространственная линия задана параметрическими уравнениями , , , то

. (7.14)

Площадь S фигуры, расположенной в плоскости Оху и ограниченной замкнутой линией L, находится по формуле

. (7.15)

Масса m материальной дуги L определяется формулой

, (7.16)

где - линейная плотность в точке M(x, y, z) этой дуги.

Прямоугольные координаты центра тяжести материальной дуги находятся по формулам

, , , (7.17)

где m определяется формулой (7.16).

Если - переменная сила, совершающая работу W вдоль пути L, и функции , , непрерывны, то

. (7.18)

Пусть сила имеет потенциал, т.е. существует функция , такая, что выражение является её полным дифференциалом , тогда, независимо от пути L, работа

,

где и - соответственно начальная и конечная точки пути.

Замечание. Если линия L лежит в плоскости Оху, то формулы (7.14), (7.16) – (7.18) упрощаются, так как соответствующие функции не зависят от z.