Математика / Методички / Учебно – методическое обеспечение дисциплины «финансовая математика»

Современная стоимость ренты:

При начислении процентов используют процентную ставку в виде силы роста .

Сила роста:

Наращенную сумму определяют по формуле:

Современную стоимость потока определяют по формуле:

Для расчета суммы наращений и современной стоимости определяют вид функции изменения платежей и значения ее параметров.

4. Линейно изменяющийся непрерывный поток платежей

Функция потока платежей где - начальный размер платежа, выплачиваемого в единицу времени, в котором измеряется срок ренты.

Современную стоимость получают с помощью интегрирования функции потока платежей:

41

где - коэффициент приведения постоянной непрерывной ренты.

5. Экспоненциальный рост платежей

Функции потока платежей: где q – непрерывный темп роста платежей.

Современную величину ренты определяют по формуле:

где

k – дискретный темп прироста.

6. Рассрочка платежей

В практике, на этапе разработки условий контракта или в ходе его выполнения в силу каких – либо причин возникает необходимость изменить условия ренты, т.е. сконвертировать условия, предусмариваемые пр выплате финансовой ренты.

Простейшие случаи конверсии: замена ренты разовым платежом или выкуп ренты; замена разового платежа рентой или рассрочка платежа.

Общий случай конверсии – замена ренты с одними условиями на ренту с другими условиями, перечисленные изменения не могут быть произвольными. Конверсия не должна приводить к изменению финансовых последствий для каждой из участвующих сторон, до и после заключения контракта. Конверсия основывается на принципе финансовой эквивалентности. Расчет платежей основан на уравнении эквивалентности, т.е. равенстве сумм заменяемых и заменяющих платежей, приведенных к одному моменту времени.

Выкуп ренты сводят к замене ренты единовременным платежом. Искомый размер выкупа равен современной стоимости выкупаемой ренты. При расчете современной стоимости процентную ставку принимают, удовлетворяющую обеим участвующим сторонам.

Рассмотрим пример. Рента постнумерандо с параметрами: величина годового платежа 10 000 рублей, срок 5 лет, процентная ставка 8%. Ренту заменяют разовым платежом. Требуется определить размер платежа.

Условием считают равенство размера выкупа ренты современной стоимости ренты, т.е.

42

Задача обратная выкупу ренты – рассрочка платежей. Есть обязательство уплатить некоторую крупную сумму, стороны согласились, что задолжность будет погашена частями в рассрочку, рассрочку осуществляют в виде выплаты постоянной ренты.

Решение задачи предполагает приравнивание современной стоимости ренты, с помощью которой производится рассрочка, сумме долга. Задача заключается в определении одного из параметров ренты – члена ренты или ее срока, при условии, что остальные параметры заданы.

Рассмотрим пример. Есть долговое обязательство на сумму 20 000 рублей. Кредитор и должник договорились об уплате долга в рассрочку: рента постнумерандо со сроком 3 года под 100% годовых. Требуется определить величину отдельного платежа.

Величину долга приравнивают к величине современной стоимости ренты. Величина годового платежа:

7. Объединение рент

Объединение или консолидация рент есть замена несколько рент одной,

параметры которой необходимо определить.

Из принципа финансовой эквивалентности следует равенство современных стоимостей заменяющей и заменяемых рент, что соответствует равенству:

стоимость q-й заменяемой ренты.

Объединяемые ренты могут быть, например, немедленными, отсроченными, годовыми, р-срочными. В заменяющей ренте определяют все параметры, кроме одного. Для получения строгого баланса условий, рассчитывают размер неизвестного параметра, исходя из равенства

В качестве неизвестного параметра принимают член ренты или срок ренты.

43

В случае, если заменяющая рента постнумерандо немедленная и задан срок ренты, то член ренты:

Срок для немедленной ренты постнумерандо определяют из соотношения:

Задача имеет решение в случае выполнения условия:

8. Изменение параметров рент

Изменение одного из параметров рент есть замена одной ренты другой рентой. Замена базируется на принципе финансовой эквивалентности, т.е. соблюдается равенство современных стоимостей обеих рент. Процентную ставку сохраняют, либо изменяют. Например, кредитор в обмен на увеличение срока ренты требует увеличение ставки ренты.

8.1 Замена немедленной ренты на отсроченную

Пусть имеется немедленная рента постнумерандо с параметрами

и процентной ставкой i, требуется отсрочить выплаты на t лет, т.е. немедленную ренту заменяют на отсроченную. Если задан срок, то определяют , если задан , то определят срок.

В общем случае при условии, когда , т.е.

ренты, ее периодичность и ставка, то параметр

44

Вопросы по материалу лекции

1.Записать и пояснить формулу современной суммы и наращенной суммы ренты с постоянным абсолютным изменением членов ренты во времени.

2.Записать и пояснить формулу современной суммы и наращенной суммы переменной р – срочной ренты с постоянным абсолютным приростом.

3.Записать и пояснить формулу современной суммы и наращенной суммы р – срочной ренты с относительными изменениями.

4.Записать и пояснить формулу современной суммы и наращенной суммы для случая линейно изменяющегося непрерывного потока платежей.

5.. Записать и пояснить формулу современной суммы для случая экспоненциального роста платежей.

45

Лекция №6. Ценные бумаги (6ч)

1.Классификация ценных бумаг.

2.Акция.

3.Дивиденд.

4.Облигация.

5.Вексель. Основная характеристика векселя.

6.Производные ценные бумаги.

1. Классификация ценных бумаг

Ценная бумага – это денежный документ, выражающий связанные с ним имущественные и неимущественные права.

Ценная бумага есть юридический документ, свидетельствующий о праве их владельца на доход или часть имущества фирмы.

Приобретение ценной бумаги предполагает два вида дохода: инвестиционный и курсовой.

Инвестиционный доход или дивиденд – это доход от владения ценными бумагами.

Курсовой доход – доход, полученный в результате покупки бумаги по определенной цене с последующей перепродажей ценной бумаги по более высокой цене.

Всовременной мировой практике ценные бумаги делят на два класса: основные и производные ценные бумаги.

Основные ценные бумаги – ценные бумаги, в основе которых положены права на какой – либо актив (товар, денежные единицы, имущество).

Взависимости от критерия, который лежит в основе классификации, существует несколько группировок российских государственных ценных бумаг.

По процедуре выпуска ценные бумаги делят на эмиссионные и неэмиссионные. Эмиссионные ценные бумаги, например, акции, облигации, сберегательные сертификаты, выпускают единовременно в большом количестве с едиными свойствами. Неэмиссионные ценные бумаги выпускают отдельными экземплярами.

По способу реализации имущественных прав владельцев различают ценные бумаги на предъявителя, именные и ордерные. Для реализации имущественных прав, связанных с владением ценной бумагой на предъявителя, ценную бумагу достаточно предъявить. В случае именной ценной бумаги требуется регистрация имени владельца в реестре держателей ценных бумаг и на бланке сертификата ценной бумаги. Передача именной ценной бумаги другому владельцу требует изменения соответствующей записи в реестре. Ордерные ценные бумаги, например, векселя, сберегательные сертификаты, есть долговые ценные бумаги, которые выпускают в виде отпечатанных на бумаге бланков и предполагается передачи бумаг иному владельцу.

46

По срокам обращения ценные бумаги делят на краткосрочные (до 1 года), среднесрочные (от 1 года до 10 лет), долгосрочные (свыше 10-15 лет).

По типу выраженных прав и отношений ценные бумаги делят на долговые и долевые. Долговые ценные бумаги выражают отношение займа, и есть долговые обязательства, гарантирующие владельцам возврат денежных средств в установленный срок с оговоренной ставкой процентов. Долевые ценные бумаги выражают отношения совладения и предоставляют право долевого участия в собственности или прибыли.

По статусу лица, выпустившего ценную бумагу, различают государственные, муниципальные и корпоративные ценные бумаги.

По форме существования различают ценные бумаги в виде отпечатанных на бумаге бланков и в виде записей на счетах.

2. Акция

Акция – эмиссионная ценная бумага, закрепляющая права владельца на получение части прибыли акционерного общества в виде дивидендов, на участие в управлении обществом и на часть имущества, остающегося после ликвидации общества.

Акция как вид ценной бумаги может выпускаться только акционерным обществом. Общество имеет право размещать обыкновенные акции и привилегированные акции. Различают три вида привилегированных акций: кумулятивные, долевые и акции с корректируемым дивидендом.

3. Дивиденд

Дивиденд – доля прибыли акционерного общества, которая приходится на одну акцию. Дивиденд есть вознаграждение за риск, которому подвергается инвестор, вкладывая денежные средства в бумаги акционерного общества. Дивиденды выражают либо в абсолютных денежных единицах, либо в процентах.

Ставка дивиденда характеризует процент прибыли от номинальной стоимости.

Сумму дивидендов за срок владения акцией выражают формулой:

где - ставка дивиденда, – период начисления дивидендов в годах.

Размер дивиденда на одну акцию определяют отношением чистой прибыли, направленной к распределению количества акций N.

Ставку дивидендов по обыкновенным акциям устанавливает общее собрание акционеров.

Расчет ставки дивидендов проводят по формуле:

47

Дивиденд по привилегированным акциям определяют при их выпуске в эмиссионном проспекте и не выплачивают по акциям, которые находятся на балансе акционерного общества.

Длительное обращение акций на рынке обуславливает три вида цен: номинальную, эмиссионную и рыночную.

На акции указывают номинальную стоимость, которую определяют делением уставного капитала общества на количество акций:

Номинальная стоимость – ориентир ценности бумаги на первичном рынке капитала, база расчета ряда оценочных показателей. На основе номинальной стоимости определяют эмиссионную цену, по которой осуществляют первичное размещение акций. В случае размещения ценной бумаги по цене выше номинальной образуется премия – чистый эмиссионный доход эмитента. Ценная бумага может продаваться по стоимости ниже номинальной стоимости, т.е. с дисконтом.

На вторичном рынке акции реализуют по рыночной цене, которая определяется соотношением спроса и предложения. Разницу между ценой спроса и ценой предложения называют «маржа». Внутри маржи заложена цена исполнения сделки, т.е. продажи акции, которую рассчитывают по формуле:

ставка дохода, - безопасный уровень прибыльности.

Под безопасным уровнем прибыльности понимают уровень прибыльности, отражающий величину дохода по альтернативному, максимально надежному вложению капитала.

Требуемый уровень прибыли – минимальная норма дохода, на которую может согласиться инвестор при покупке финансовых активов. Требуемый уровень состоит из двух частей – безопасный уровень прибыльности и плата за инвестиционный риск:

Действительная стоимость акции зависит от будущих доходов, на которые может рассчитывать инвестор. Действительную стоимость определяют по формуле:

48

курсовой стоимости – рендит. Рендит характеризует процент прибыли от цены приобретения при заданном абсолютном уровне дивиденда:

где - рендит, - абсолютный уровень дивиденда в денежных единицах, - цена приобретения акции по курсу.

Дополнительный доход в случае роста курса акции или убыток в случае падения курса акции определяют по формуле:

Совокупный доход за весь период владения акцией определяют по формуле:

стоимости.

В случае продажи акции в середине финансового года, сумму дивидендов делят между прежним и новым владельцами ценной бумаги:

где - доход покупателя, - годовая ставка дивиденда, - период владения акцией, - количество дней в году.

49

Среднегодовая доходность:

Абсолютный размер годового дохода:

4. Облигация

Облигация – эмиссионная ценная бумага, закрепляющая право держателя бумаги на получение от эмитента облигации в предусмотренный срок номинальной стоимости и зафиксированного в бумаге процента от стоимости.

Облигация удостоверяет:

-факт предоставления владельцам бумаги денежных средств эмитенту

вдолг;

-обязательство эмитента вернуть долг через определенный промежуток времени;

-право инвестора получать в виде вознаграждения за предоставленные денежные средства определенный процент от номинальной стоимости.

Под облигацией понимают любую ценную бумагу, которая характеризуется признаками:

-закрепляет совокупность имущественных и неимущественных прав, подлежащих удостоверению и безусловному осуществлению;

-размещается выпусками;

-имеет равные объем и сроки осуществления прав внутри одного выпуска вне зависимости от времени приобретения ценной бумаги.

Под выпуском понимают совокупность ценных бумаг одного эмитента, обеспечивающих одинаковый объем прав владельцев и имеющих один государственный регистрационный номер.

Объем выпуска облигаций определяют по формуле:

где - номинальная стоимость облигации, - количество облигаций в выпуске.

Цены на облигации обусловлены этапами цикла жизни ценных бумаг. На бланке облигации печатают номинальную цену, которая служит базовой ценой для дальнейших расчетов. Номинальную цену облигации определяют по формуле:

50