Математика / Методички / Учебно – методическое обеспечение дисциплины «финансовая математика»

3. Современная стоимость ренты

Современная стоимость всей ренты:

где

коэффициент наращения ренты.

В случае p-срочной ренты постнумерандо, при начислении процентов m раз в году равным числу начислений процентов p, наращенная сумма ренты имеет вид:

Современную величину ренты вычисляют по формуле:

Рассмотрим пример. Пусть рассматривают обыкновенную ренту постнумерандо с платежами по 300 рублей на срок 5 лет. Требуется найти наращенную сумму и современную стоимость ренты, если годовая процентная ставка равна 10%, проценты начисляют ежемесячно, выплаты осуществляют поквартально.

Согласно условиям задачи . Наращенная сумма:

31

Современная стоимость p-срочной ренты с начислением процентов m раз в год составляет:

4. Годовая рента постнумерандо

Годовую ренту постнумерандо определяют характеристики:

- ставка ; - число выплат в году ;

- число начислений процентов в году .

Общая формула наращенной суммы ренты, которую получают из общей формулы при условиях

где

коэффициент наращения ренты.

Современная ценность ренты равна современной ценности наращенной суммы:

Годовую ренту, постнумерандо, начисление процентов m раз в году, выплаты p раз в году определяют характеристиками:

- член ренты R; - срок ренты ; - ставка ;

- число выплат в году ; - число начислений процентов в году .

32

В случае платеж R осуществляют один раз в конце каждого года, проценты начисляют раз в год. Таким образом, применяют ставку , где - номинальная ставка процентов.

Общая формула наращенной суммы ренты при заданных условиях принимает вид:

Современную величину ренты вычисляют по формуле:

Ренту p- срочная постнумерандо, в случае, когда проценты начисляют один раз в году при осуществлении выплат p раз в году определяют

накопленную сумму начисляют сложные проценты по годовой ставке i, наращенную за n лет сумма всей ренты:

Современная ценность ренты равна современной ценности ее наращенной суммы, т.е.

Обобщенные результаты, полученные для расчета наращенной суммы современной стоимости для рент постнумерандо показаны в таблице 1.

33

Таблица 1 Наращенная сумма и современная стоимость для рент постнумерандо

В случае непрерывного начисления процентов, характеристики

- сила роста .

Формулы для вычисления наращенной суммы и современной стоимости ренты с непрерывным начислением процентов получают как предельные случаи:

В случае замены номинальной ставки на силу роста , получают коэффициент приведения ренты:

34

Современная стоимость ренты:

Связь между и находят из уравнения эквивалентности:

Равенство обращается в тождество в случае:

тогда

Вслучае годовой ренты пренумерандо, начислении процентов один раз

вгоду, основные характеристики:

-ежегодные платежи R, на которые начисляют проценты в начале каждого года по сложной процентной ставке;

-сложная процентная ставка i;

35

Из сравнения рент постнумерандо и пренумерандо: все формулы для ренты пренумерандо получают из формул для ренты постнумерандо подстановкой вместо величины .

Наращенная сумма ренты пренумерандо:

где - наращенная сумма ренты постнумерандо.

Современная величина рент пренумерандо рассматривают аналогично:

В случае начисления процентов по номинальной процентной ставке , а выплаты производят p раз в году, современная и наращенная стоимость ренты пренумерандо равна:

Начало выплат отсроченной ренты сдвинуто вперед относительно некоторого момента времени. Сдвиг во времени не отражается на величине наращенной суммы. Современная стоимость ренты изменяется в случае сдвига во времени. Современная стоимость ренты на начало выплат равна , современная стоимость на начало периода отсрочки в t лет равна дисконтированной на этот срок величине современной стоимости немедленной ренты. Для годовой ренты:

где - современная величина отложенной ренты, - современная величина немедленной ренты, - дисконтированный множитель за t лет.

Вечной рентой называют финансовую ренту с бесконечным числом членов. Например, благотворительное общество положило в банк определенную сумму денежных единиц и отчисляет ежегодно проценты от положенной суммы в пользу детского дома.

Современная ценность вечной ренты есть сумма, вложенная в начальный момент под сложные проценты по данной ставке, с целью ежегодного получения с вклада сумму R.

36

5. Лизинг

Лизинг – один из способов ускоренного обновления основных средств, который позволяет предприятию получить в распоряжение средства производства, не покупая средства производства и не становясь собственником средств.

Недостаток лизинга – это более высокая стоимость по сравнению с банковскими кредитами. Уплачиваемые лизинговые платежи предприятия – лизингополучателя лизинговому учреждению покрывают амортизацию имущества, стоимость вложенных денег и вознаграждение за обслуживание лизингополучателя.

В качестве альтернативного финансового приема лизинг заменяет

погашению кредита, - проценты по кредиту в соответствующем периоде, - амортизационные начисления в соответствующем периоде

Чистая приведенная стоимость после налоговых платежей в случае лизинга:

Вслучае периодических лизинговых платежей постоянны

,получают простую ренту постнумерандо. Тогда чистая приведенная стоимость после налоговых лизинговых платежей:

Вслучае покупки за счет кредита чистая приведенная стоимость после налоговых платежей:

чистая приведенная стоимость после налоговых платежей в случае покупки за счет кредита:

37

Вопросы по материалу лекции

1.Перечислить и определить параметры, характеризующие потоки платежей.

2.Записать формулу наращенной суммы потока платежей.

3.Записать формулу для современной стоимости потока платежей.

4.Записать формулу наращенной суммы для простой ренты постнумерандо с начислением процентов 1 раз в году и m раз в году.

5.Определить современную стоимость ренты для всех возможных вариантов расчета.

6.Дать определение лизинга.

38

Лекция №5. Потоки платежей: переменные ренты (6ч)

1.Переменная рента с постоянным абсолютным изменением членов во времени.

2.Переменная рента с постоянным абсолютным приростом.

3.Рента с постоянными относительными изменениями членов.

4.Линейно изменяющийся непрерывный поток платежей.

5.Экспоненциальный рост платежей.

6.Рассрочка платежей.

7.Объединение рент.

8.Изменение параметров рент.

1. Переменная рента с постоянным абсолютным изменением членов во времени

Пусть изменения размеров членов ренты происходят согласно закону арифметической прогрессии с первым членом R и разностью a. Члены ренты образуют последовательность:

Современную сумму годовой ренты постнумерандо определяют суммой:

После некоторых преобразований сумма принимает вид:

где

- дисконтный множитель по ставке .

Наращенную сумму ренты получают, умножая современную сумму годовой ренты на

2. Переменная рента с постоянным абсолютным приростом

Пусть - базовая величина разовой выплаты, - годовой прирост выплат. Последовательные выплаты:

39

По определению ренты постнумерандо при начислении процентов p раз в году, современная сумма годовой ренты:

Наращенная сумма ренты:

Пусть изменения размеров членов ренты происходят согласно геометрической прогрессии с членами , где - знаменатель прогрессии или темп роста. Пусть ряд есть рента постнумерандо. Ряд дисконтных платежей:

Ряд дисконтных платежей есть геометрическая прогрессия с первым членом и знаменателем . Сумма членов прогрессии или современная сумма годовой ренты постнумерандо:

В формуле темп прироста платежей, который может быть как положительным, так и отрицательным.

Наращенную сумму ренты определяют по формуле:

3. Рента с постоянными относительными изменениями членов

Рента p- срочная с постоянными относительными изменениями членов

– это рента, когда платежи производят p раз в году постнумерандо, с начислением процентов 1 раз в году по ставке .

Последовательность платежей есть геометрическая прогрессия , где - темп роста за период.

Начисление процентов и суммирование результата приводит к результату в виде наращенной суммы ренты

40