Математика / Методички / Учебно – методическое обеспечение дисциплины «финансовая математика»

10000 рублей в течение указанных сроков начислялась простая процентная

ставка, при которой наращение равно потерям из-за инфляции

Вывод: произошла эрозия капитала, для увеличения капитала процентная ставка должна превышать 60,1%.

б) ожидаемый темп инфляции: темп инфляции:

обесцененная наращенная сумма:

ставка, при которой наращение равно потерям из-за инфляции

Вывод: капитал вырос в 10294,54/10000=1,029454 раза или на 2,94%.

Для сложных процентов обесцененную инфляцией сумму определяют по формуле:

Ставку , при которой наращение компенсируется инфляцией, определяют из соотношения

21

Уравнение эквивалентности имеет вид:

где - простая ставка ссудных процентов с учетом инфляции.

Таким образом, простая ставка ссудных процентов, под которую следует положить первоначальную сумму на срок , с целью получить сумму :

реальной доходности в виде годовой простой ставки ссудных процентов для случая, когда первоначальная сумма инвестирована под простую ставку ссудных процентов на срок при уровне инфляции за рассматриваемый период:

Аналогичные формулы получают, помещая первоначальную сумму под сложные проценты, учитывая инфляцию. Уравнение эквивалентности принимает вид:

22

Сложную ставку ссудных процентов, под которую кладут

Вычисление реальной доходности операции проводят в виде сложной годовой ставки ссудных процентов:

4. Конверсия валюты

Конверсия или обмен валюты и наращение процентов приводят к различным финансовым результатам, т.е. как к прибыли, так и к потерям. Факторы, влияющие на финансовый результат – это курс обмена валюты в начале и в конце операции, инфляция.

Первый упрощенный вариант наращения процентов на денежные

Анализ доходности финансовой операции в виде покупки валюты без наращения процентов проводят на основе соотношения:

за время операции . Вводят обозначения:

получают

Для определения доходности в виде сложной эффективной процентной ставки операции используют принцип эквивалентности финансовых обязательств:

23

Доходность конверсии валюты с наращением процентов на валютном счете определяют из уравнения эквивалентности:

где - сложная годовая ставка наращения СКВ. Следовательно,

Тогда

где - рублевая годовая сложная ставка наращения.

Доходность операции в виде годовой ставки сложных процентов:

5. Средние значения ставок

Средние значения ставок находят, решая уравнение эквивалентности.

Пусть одновременно производят несколько однородных операций с

чтобы получить тот же результат наращения. Составляют уравнение эквивалентности:

Искомая ставка равна взвешенной средней арифметической, в качестве весов берут размеры ссуд. В случае сложных процентов уравнение эквивалентности примет вид:

Среднюю ставку сложных процентов определяют по формуле:

За открытие кредита, учет векселей и другие операции взимают комиссионные, которые повышают доходность операции. При выдаче ссуды

Сделка предусматривает начисление простых процентов по ставке .

В случае необходимости характеристики доходности в виде ставки простых процентов:

В случае выдачи ссуды под сложные проценты и определение доходности операции в виде ставки сложных процентов, исходное уравнение для определения имеет вид:

Полученные проценты облагаются налогом, что уменьшает реальную наращенную сумму. Пусть наращенная сумма до выплаты налогов , а с учетом выплаты - , ставка налога на проценты – . В случае простых процентов налог определяют по формуле:

Наращенная сумма после выплаты налогов:

26

Учет налога сводят к сокращению процентной ставки, вместо ставки применяют ставку .

В долгосрочных операциях при начислении налога на сложные проценты возможны следующие варианты:

1) налог начисляют на весь срок, т.е. на всю сумму процентов, сумма налога , наращенная сумма после выплаты налога:

2) сумму налога определяют за каждый истекший год, ежегодная сумма налога – величина переменной, так как сумма процентов увеличивается во времени, налог за год , тогда

За лет величина выплаченного налога:

Сумма налогов за весь срок не зависит от метода начисления.

Вопросы по материалу лекции

1.Сформулировать принцип эквивалентности процентных ставок.

2.Дать определение инфляции.

3.Дать определение и записать формулу вычисления темпа инфляции.

4.Записать формулу Пааше для расчета индекса инфляции.

5.Записать формулу для вычисления простой ставки ссудных

6.Записать формулу для вычисления доходности операции в виде годовой ставки сложных процентов.

7.Каким образом находят средние значения ставок?

27

Лекция №4. Потоки платежей: постоянные ренты (4ч)

1.Параметры потоков платежей.

2.Свойства простой ренты.

3.Современная стоимость ренты.

4.Годовая рента постнумерандо.

5.Лизинг.

1. Параметры потоков платежей

В финансовой практике применяют последовательность отдельных или разовых платежей во времени – денежный поток. Например, погашение задолжности в рассрочку, арендная плата, выплата процентов, выплата дивидендов, пенсий и так далее.

Поток платежей называют аннуитетом, если выплаты ежегодные. Поток платежей называют рентой, если платежи производятся

несколько раз в году.

Параметры, характеризующие поток платежей: - член ренты размер отдельного платежа;

-период ренты – временной интервал между двумя последовательными платежами;

-срок ренты - время от начала первого периода ренты до конца последнего периода;

-процентная ставка ;

- число платежей в году ; - частота начисления процентов .

Критерии классификации ренты:

1)ренты немедленные (начало срока ренты, и начало действия контракта совпадают) и ренты отсроченные;

2)ренты с ежегодным начислением процентов, начислением процентов раз в году и непрерывным начислением процентов;

3)ренты с постоянными и переменными членами;

4)ренты конечные и бесконечные;

5)рента обычная или постнумерандо (платежи производят в конце периода);

6)рента пренумерандо, если платежи производят в начале периода. Анализ потока платежей предполагает расчет наращенной суммы или

современной стоимости.

Наращенная сумма потока платежей - сумма всех членов потока платежей с начисленными на них к концу срока сложными процентами:

28

где - ряд платежей, имеющих знак «плюс» или знак «минус», - время выплаты с номером , - количество выплат, - общий срок выплат, - сложная процентная ставка наращения при начислении один раз в году и выплатах в конце периода.

Современная стоимость потока платежей - это сумма всех выплат, дисконтированных на начало срока потока. Современная стоимость потока платежей эквивалента в финансовом смысле всем платежам, которые охватывает поток:

где

Современная стоимость находит широкое применение в финансовых расчетах при планировании погашения долгосрочных займов, реструктурировании долга, оценке и сравнении эффективности производственных инвестиций.

Современную стоимость потока платежей получают и дисконтированием наращенной суммы:

Простая рента обладает свойствами: 1) все элементов равны между собой

Наращенную сумму на все выплаты года к концу одного года определяют по формуле:

29

На последний платеж проценты не начисляют, последний платеж

На второй с конца платеж начисляют проценты по ставке j за период, равный части года и наращенная к моменту n на этот платеж сумма равна

Тогда

Вся наращенная на ренту сумма:

Количество начислений до конца ренты на наращенную сумму первого

последнего года проценты не начисляют, и наращенная сумма составляет . Тогда

30