5ый семестр / 8. Системный анализ (complete)_1 / SA / не мое / ТС и СА_гр.447_2019 / Учебные пособия / СЕРГЕЕВ_МАКЕТ

Из определения живучести оценок следует, что оценка более качественна, если она обеспечивает больший уровень живучести. При расширении комплекса условий A(k), где ( kij , i =1,m, j =1,ni ), т. е. каждое условие A1, ..., Am имеет дополнительно ni условий, под r понимается вектор с компонентами r1, r2, ..., rm .

Отметим, что оценка метода наименьших квадратов не обладает свойством живучести, для нее условия (2.5.8), (5.2.9) не выполняются.

В качестве примеров рассмотрим наиболее важные критерии устойчивости оценок параметров интегрированных систем моделей при нарушении стандартных условий нормального функционирования системы. Покажем связь традиционных критериев устойчивости с рассмотренными выше критериями.

Пример 1

Устойчивость к малым изменениям в исходных данных. Этот,

наиболее часто используемый при исследовании систем обработки данных, критерий устойчивости фактически является третьим условием корректно поставленной задачи по Адамару. Задача является корректно поставленной, если достаточно малому изменению исходных данных соответствует достаточно малое изменение решения.

Рассмотрим данный критерий на примере оценок метода наименьших квадратов. В качестве меры устойчивости (стабильности) традиционных оценок параметров линейных систем принимаются функции чувствительности вида [14]

где λ j , j =1,m собственные числа матрицы планирования WT W . Кри-

терий устойчивости оценок характеризует их чувствительность к изменению выхода объекта

В случае, когда хотя бы одно из собственных чисел λj близко либо равно нулю ( j →∞) , матрица WT W вырожденная, и оценки становят-

ся неустойчивыми. Причиной потери устойчивости в данном случае является нарушение шестого ( A6 ) условия нормального функционирова-

ние системы. С другой стороны, функции чувствительности j , j =1,m

(5.2.12) связаны с относительной ошибкой аппроксимации оценок метода наименьших квадратов δα*0 j , j =1,m (5.1.7) соотношениями

71

Малость величины j фактически означает достаточно хорошую

точность оценок и указывает на связь критерия устойчивости оценок (5.2.13) с критерием условной относительной эффективности (5.2.1). В данном случае для оценок метода наименьших квадратов соответствующий критерий устойчивости (5.2.2), можно представить в виде:

Критерий устойчивости (5.2.15) в отличие от классического критерия (5.2.13) показывает не только потерю устойчивости при нарушении условий нормального функционирования системы, но и при конечных значениях C дает количественную оценку степени потери точности в C раз.

Например, при нарушении пятого условия нормального функцио-

к неустойчивости оценок метода наименьших квадратов.

Для оценок параметров интегрированных систем моделей нарушение пятого условия нормального функционирования системы не приводит к потере их устойчивости в силу ограниченности числителя критерия (5.2.15). Например, для ортонормированной интегрированной системы моделей вида (5.1.4) среднеквадратическая ошибка аппроксимации оценки параметров ограничена

при равенстве нулю всех собственных значений матрицы планирования

WT W ( λj =0, j =1,m ).

Пример 2

Устойчивость к объему исходных данных. Данный критерий явля-

ется, по существу, вторым условием корректно поставленной задачи по Адамару. Применительно к задаче оценки параметров линейных систем вида y* = Fα+ξ, второе условие корректно поставленной задачи требует

единственности решения систем линейных уравнений порядка m

относительно вектора параметров α = (α1 ,α2 ,...,αm ) . Необходимым ус-

ловием является выполнение неравенства

m ≤ n , (5.2.18)

где число оцениваемых параметров m должно быть больше либо равно объему измерений выхода объекта n. Условие (5.2.18) совпадает с условием необходимого объема исходной информации A6 для нормального

функционирования системы. В этой связи по аналогии с (5.2.15) имеет место соответствующий критерий устойчивости решения системы линейных уравнений (5.2.17)

Пример 3

Устойчивость к действию случайных факторов. Отметим, что ущерб от действия случайных факторов в моделях объекта и моделях объектов-аналогов при выполнении четырех первых условий нормального функционирования системы, приведенных в предыдущем параграфе, может не приводить к таким последствиям, как отказ программы либо устройства, где реализован алгоритм оценки параметров.

Это связано с тем, что действия случайных факторов могут быть в принципе контролируемыми. Например, путем предварительного просмотра измеренных значений входных и выходной величины объекта, дополнительных априорных данных с целью отбраковки резко выделяющихся значений – выбросов.

Наоборот, при невыполнении пятого и шестого условий нормального функционирования системы незамедлительно наступает отказ программы либо устройства, и причины этого отказа достаточно трудно проконтролировать, хотя они могут быть связаны и с незначительным действием случайных факторов.

С учетов сделанных замечаний, в качестве критерия устойчивости оценок к действию случайных факторов может быть использована величина условной относительной точности в форме (5.2.4):

где (δα*) / A(k) условная относительная ошибка аппроксимации оценок параметров интегрированных систем моделей для вектора δα* в экстремальных условиях A(k) =(A1k1 , A2k2 , , A6k6 ) . Удобно ввести логические операции k1 k 2 k 3 k 5 = 1 и k6∩k7 = 0 (символ означает логическое

73

«или», а символ ∩ – логическое «и»), что соответствует выполнению условий А6, А7 и невыполнению хотя бы одного из условий А1, А2, А3, А5.

Условная относительная ошибка аппроксимации оценок метода наименьших квадратов(δα*0 ) / A0 используется здесь в качестве «этало-

на точности». Нарушение условий А1, А2, А3, А5, связанные с действием случайных факторов (при предварительном отсеве выбросов), не должно приводить к значительному росту константы C. В этом случае критерий (5.2.20) характеризует меру точности оценки α* в экстремальных условиях A(k) относительно уровня точности оценки метода наименьших квад-

ратов в условиях нормального функционирования модели объекта. Например, для оценок параметров линейной ортонормированной

интегрированной системы моделей (5.1.4) критерий устойчивости (относительной точности) оценок примет вид:

5.3. Вопросыоптимизацииинтегрированныхсистемидентификации

Оптимизация интегрированных систем идентификации связана с выбором управляющих параметров, определением вида модели исследуемых объектов и вида моделей объектов-аналогов, представляющих дополнительные априорные данные. Сложность данных задач заключается в том, что они должны быть решены при ограниченных объемах исходных и дополнительных данных.

При ограниченных выборках задача оптимизации интегрированных систем идентификации сводится к задачам параметрической и структурной оптимизации интегрированных систем моделей по данным наблюдений входных и выходных переменных исследуемого объекта.

Остановимся на задаче параметрической оптимизации и методах выбора управляющих параметров.

1. Определение управляющих параметров при наличии априорной информации об ошибках измерения выхода объекта. При корре-

ляционной матрице ошибок измерения выхода объекта вида Wξ = σξ2 I , где σξ2 – дисперсия помех, а I – единичная матрица, одним из распро-

страненных методов определения управляющего параметра является метод невязки.

74

Суть данного метода заключалась в выборе такой оценки β* вектора управляющего параметра, при котором выполнялось равенство

J (β) = 1 ∑n (yi − f (xi ,α*(β)))2 = σξ2 , (5.3.1) n i=1

где f (x,α*(β)) модель исследуемого объекта, α*(β) – оценка параметров

интегрированной системы моделей.

Метод невязки распространяется и на случай коррелированных ошибок измерения выхода объекта. Здесь функционал J (β) (5.3.1) за-

меняется квадратичной формой

eTWξ−1 e ,

где eT =(y1 − f (x1,α*(β), y2 − f (x2 ,α*(β),…, y1 − f (x1,α*(β))T – вектор не-

вязки, Wξ−1 – обратная корреляционная матрица ошибок измерений вы-

хода объекта.

Тогда по аналогии с (5.3.1)

Использование методов невязки (5.3.1), (5.3.2) приводит к смещенным значениям управляющих параметров относительно оптимальных, доставляющих минимум функционалу

эмпирической среднеквадратической ошибки аппроксимации исследуемой модели объекта f (x,α) . Для устранения смещения вместо метода

невязки используют модифицированный метод невязки

2. Определение управляющих параметров при отсутствии априорной информации об ошибках измерения выхода объекта. На практике довольно часто информация о корреляционной матрице оши-

бок измерения выхода объекта Wξ отсутствует. В этой связи для управляющего параметра используют прием разбиения исходной выборки yi , xi , i =1,n на два подмножества по n1 и n2 чисел [25]. Обучающее подмножество yi , xi , i Pnδ1 используем для построения оценки параметров

75

δ– номер способа разбиения исходной выборки на два подмножества,

δ=1, c .

Взависимости от числа наблюдений n1, n2 обучающего и контрольного подмножеств и способа разбиения выборки получаем различные функционалы.

Для решения допустимых способов формирования обучающего и контрольного подмножеств, представим функционал (5.3.5) в виде

значения вектора управляющего параметра β, доставляющие минимум функционалу M J(β), совпадают с соответствующим оптимальным управляющим вектором, доставляющим минимум функционалу M J(β), где М – символ математического ожидания.

Равенство (5.3.7) накладывает ограничения на формирование обучающего и контрольного подмножеств и выполняется, когда зна-

чение индекса i из подмножества Pnδ2 не совпадает со значениями j Pnδ1 ,δ =1,c . Например, условию (5.3.7) соответствует функционал

76

в котором исходная выборка разбивается на две части чередования через одно наблюдение. Другим примером является функционал метода

«скользящий контроль» (“cross validation”)

в котором обучающая последовательность формируется путем последовательного удаления из выборки yi ,xi ,i =1, n одного наблюдения.

В конечном итоге задача параметрической оптимизации по определению вектора управляющих параметров сводится к определению корней нелинейных уравнений (в случае использования методов невязки) либо поиску минимума функции многих переменных при использовании функционала (5.3.8) либо (5.3.9).

Для решения соответствующих оптимизационных задач могут быть использованы различные методы, приведенные в приложении 2. Наиболее простыми являются методы без вычисления производных (метод деления отрезка пополам, метод золотого сечения, деформируемого многогранника и другие).

Задача структурной оптимизации заключается в определении вида модели исследуемого объекта и вида модели объекта-аналога, которые воспроизводят ранее полученные исходные и дополнительные априорные данные и обеспечивают возможность их прогнозирования.

Данную задачу обычно решают следующим образом. Составляется набор возможных моделей исследуемого объекта fi , i =1,m1 и возмож-

ных моделей объектов-аналогов f j , j =1,m2 , исходя из физической

сущности задачи и имеющейся информации.

Для сформированной структуры интегрированной системы моделей, выбранных критериев качества решают задачу параметрической оптимизации.

При неудовлетворительном воспроизведении исходных и дополнительных априорных данных либо неудовлетворительном их прогнозе осуществляется переход к другой интегрированной системе моделей и задаче параметрической идентификации.

В результате получаем последовательность адаптированных интегрированных систем моделей

и последовательность соответствующих значений критериев качества

Следует отметить, что ряд задач идентификации, в широком смысле, по определению информативных переменных, степени полиномов, количества ортогональных функций в моделях объекта и моделях объектов-аналогов сводится к задаче структурной оптимизации вида

(5.3.10)–(5.3.12).

78

Часть 2 ПРИМЕРЫ ПРАКТИЧЕСКОГО ПРИМЕНЕНИЯ

И ПРОГРАММНОГО ОБЕСПЕЧЕНИЯ ИНТЕГРИРОВАННЫХ СИСТЕМ ИДЕНТИФИКАЦИИ

Глава6 ПРИМЕРЫРЕШЕНИЯНАУЧНО-ТЕХНИЧЕСКИХЗАДАЧ

6.1.Прогноздобычинефтииоценкаизвлекаемыхзапасов

1.Введение. В данном разделе рассматривается задача прогноза добычи нефти и оценки извлекаемых запасов на основе интегрированных систем моделей, учитывающих дополнительную априорную информацию. Приводится алгоритм решения задачи адаптации интегрированных моделей с использованием данных истории разработки месторождения.

Вкачестве моделей добычи нефти на всех четырех стадиях разработки месторождения часто используются нелинейные, заданные с точ-

ностью до параметров, функции вида:

Задача идентификации заключается в определении вида модели и оценке вектора неизвестных параметров α на основе исходных и дополнительных априорных данных, полученных в процессе разработки месторождения.

Исходными данными, полученными в процессе разработки месторождения, являются:

1)технологические параметры разработки (дебиты добывающих и приемистость нагнетательных скважин, обводненность продукции, забойные и пластовые давления, количество вводимых в эксплуатацию скважин и т. д.);

2)фильтрационно-емкостные параметры пласта и скважины (проницаемость, пъезопроводность, гидропроводность, скин-фактор и т. д.), полученные на основе результатов геофизических и гидродинамических исследований скважин.

В качестве дополнительных априорных сведений часто используются:

1)экспертные оценки об извлекаемых запасах нефти;

79

2)прогнозные значения добычи нефти, полученные на основе различных методик их расчета, включая результаты геологического и гидродинамического моделирования;

3)различные экспертные оценки параметров моделей добычи нефти, потенциальных дебитов скважин и т. д.

2. Прогноз добычи нефти с учетом априорной информации об извлекаемых запасах. Рассмотрим методику проектирования алгоритмов прогноза добычи с учетом априорной информации об извлекаемых запасах на основе нелинейной интегрированной системы моделей вида:

копленной добычи нефти q(ti ) за соответствующие промежутки време-

вектор столбец значений накопленной за соответствующий промежуток времени добычи нефти, полученной на основе модели f (t, α) (6.1.1);

s =(s1, s2, ..., sl )T – вектор экспертных оценок извлекаемых запасов нефти

за время разработки месторождения Т, полученных на основе различных методик их расчета; α =(α1, α2 , ...., αm ) – вектор неизвестных пара-

метров, ξ, η – вектора случайные величины, представляющие ошибки

измерений дебита нефти и ошибки расчетов извлекаемых запасов. Основываясь на изложенных в третьей главе результатах, в качест-

ве оптимальных оценок параметров модели добычи нефти f (t, α) и оп-

тимальных значений управляющих параметров будем использовать приближение вида:

добычи нефти и, соответственно, модели извлекаемых запасов нефти;

X – норма вектора Х.

80