Добавил:

fominmal Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Томский Государственный Университет Систем Управления и Радиоэлектроники

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

СЕРГЕЕВ_МАКЕТ

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

18.07.2023

Размер:

3.44 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 206 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 > Следующая >>>

В результате получаем систему линейных алгебраических уравнений

(FT W F +К	h	) α=(FT W y* +K			h	α		)		(4.1.4)
y	h			y	h
относительно параметров α.
Решение системы линейных уравнений представим в виде
α*(h) =(FT W F +K			h	)−1 (FT W y* +K			h		α).	(4.1.5)
y			h	y			h			h →∞
Следует отметить, что при выборе управляющего параметра										h →∞

непараметрическая оценка (4.1.5) совпадает с оценкой параметров линейной системы, полученной по методу наименьших квадратов, а при

h →0 и αj =0,

j =

оценка (4.1.5) совпадает с Ridge – оценкой (2.1.7).

1,m

В качестве примера рассмотрим интегрированную систему моделей

y* =α +α

(x − x) +ξ

, i =

1,n

α =φ (α ) +η ,

(4.1.6)

α2 =φ2 (α2 ) +η2 ,

которая следует из (4.1.1) при m = 2 с матрицей

1 ∑xi .

FT = 1,

. . .

, x =

− x,

− x, . . .

− x

i=1

В силу симметричности уравнения регрессии y =α1 +α2 (x − x)

матри-

ца (FT F +К) диагональная (предполагаем, чтоW = I )

−α1

n + K(

α1

)

FT F +K

α0

−α

(4.1.7)

∑(xi − x)

+ K(

)

i=1

и обратная матрица (FT F +Kh )−1

и матрица (FT y* +Kh

)

принимают

простой вид

α0

−α

+ K(

)

−1

(4.1.8)

(F F +Kh )

−α2

∑(xi − x)2 + K(

α2

)

∑yi + K(

α1 −α1

) α1

(FT y* +Kh

) =

i=1

(4.1.9)

∑(xi − x) yi + K(

α2 −α2

)α2

i=1

Перемножая матрицы (4.1.8) и (4.1.9), получим оптимальные значения оценок параметров интегрированной системы моделей (4.1.6)

α0

−α

∑yi + K(

)α1

α*(h) =

i=1

n + K(

α0 −α

)

(4.1.10)

−α2

∑(xi

− x) yi + K

(

α2

) α2

α*2

(h) =

i=1

−α2

∑(xi − x)2 + K (

α2

)

i=1

которые зависят от управляющего параметра h и начальных приближений параметров α10 , α02 . В качестве начальных приближений параметров могут быть использованы оценки уравнения регрессии y =α1 +α2 (x − x) , полученные по методу наименьших квадратов

						n
α10 = 1		n				∑(xi	− x)yi
	∑yi , α02			=		i=1
	∑yi , α02			=		n
n		i=1				∑(xi − x)		2
либо Ridge – оценки вида						i=1
либо Ridge – оценки вида		n				n
		n				n
α0 (h) =		∑yi	, α0			∑(xi	− x) yi
		i=1		=		i=1			.
				=		n			.
1		n +β	2			n
		n +β			∑(xi − x)2 +β

i=1

Рассмотрим линейную непараметрическую интегрированную систему моделей, где дополнительная априорная информация о параметрах исходного объекта получена с l объектов-аналогов

y* =Fα+ξ,						(4.1.11)
α	= ψ		(α) +η , k =		,
		k		1,l
k			k

αk =(αjk , j =1,m, k =1,l) – матрица дополнительных априорных данных о параметрах αj , j =1,m .

Нетрудно показать, что для интегрированной системы (4.1.11) при использовании комбинированного критерия качества

Φ(α) = J(α) +Q(α) =

y* −Fα

+∑

αj −α

j=1

параметры α также определяются путем решения системы линейных уравнений вида:

l	l
(FT WyF +∑	Кhj )α=(FT Wyy* +∑Khj	α	j ) ,
j=1	j=1

где матрица весовых функций равна

α0

−α

= diag(K(

), k =1,m).

В качестве примера интегрированной системы моделей (4.1.11)

рассмотрим уравнения:

y* =α + α

(x − x) +ξ

, i =

1,n

=φ (α ) +η

(4.1.12)

=φ

(α

) +η

, k

1,l

уравнения регрессии y =α1 +

В данном случае оценки параметров

+ α2 (x − x) определяются из выражений:

α0 −α

∑yi +

∑K(

)α1k

α*

(h) =

i=1

k=1

α0

−α

n +∑K(

)

k=1

(4.1.13)

∑(xi

− x) yi +∑K(

α2 −α2k

) α2k

α*2 (h) =

i=1

k=1

∑(xi − x)2 +∑K(

α2 −α2k

)

k=1

Рассмотрим комбинированную линейную непараметрическую интегрированную систему, в которой используется дополнительная априорная информация о параметрах и выходе исходного объекта, полученная с l объектов-аналогов:

y* = Fααk =φ1kyk = φ2k

+ξ,
(α) +ηk ,			(4.1.14)
(y) +γk , k =		,
	1,l

где yk =( yik , i =1,n, k =1,l – матрица дополнительных априорных данных о выходной переменной y в моменты времени ti , i =1,n заданных с ошибками γk , k =1,l ; φ2k (y), k =1,l – неизвестные однозначные функ-

ции, связывающие значения выходной переменной исследуемого объекта с соответствующими значениями выходной переменной объектованалогов.

В качестве оценок параметров α по аналогии с (4.1.3) будем использовать приближение

2 . (4.1.15)

α*(h) =argmin(Φ(α) =

y* −Fα

+∑

αk

−α

+∑

−y

j=1

K1 j

j=1

K1 j

Для данной интегрированной системы моделей решение оптимизационной задачи (4.1.15), по аналогии с (4.1.4), сводится к решению системы линейных алгебраических уравнений вида:

l			l
(FT WyF +∑K1 j +∑K2 j )α=(FT
j=1		j=1
	α0	−α	kj
где K1 j = diag(K(	k		kj	), k =1,m) ,
где K1 j = diag(K(		h		), k =1,m) ,
		h

l				l
Wyy* +∑K2 j	α		j +∑K2 jy j ) , (4.1.16)
j=1				j=1
		y0		− y
K2 j = diag(K			i	ij	, i =1,n.
K2 j = diag(K				h	, i =1,n.
				h

Линейные динамические непараметрические интегрированные системы идентификации, где в качестве моделей исследуемых объектов используются интегральные либо дифференциальные уравнения, проектируются по аналогии с приведенными выше интегрированными системами.

Рассмотрим для примера линейную динамическую непараметрическую интегрированную систему моделей вида:

	*			+ξ
y	t	=Fx	t		t		(4.1.17)
						ηt ,
ut		=φ(ut ) +

где F – некоторый линейный интегральный оператор с ядром u(t) ; ut – вектор дополнительных априорных данных о ядре; φ(ut ) – неизвестная

однозначная функция либо функционал.

При использовании в качестве модели исследуемой системы дискретного аналога интегрального уравнения свертки (1.2.9) имеет место интегрированная система моделей

y* =F h +ξ				,
	t	t	t			(4.1.18)
u		=φ(u	) +η , t =
	t				1,n,
		t		t


где F =(x(t −τj ) j =		,	t =		)u =(u j j =		)T – импульсная переходная
	1,m			1,n		1,m
функция, определенная			в моменты времени τj , j =						; u – вектор до-
								1,m

полнительных априорных данных об импульсной переходной функции. Алгоритм адаптации интегрированной системы моделей по опре-

делению импульсной переходной функции h при использовании квадратичных критериев качества по аналогии с (4.1.5) сводится к решению системы линейных уравнений вида

h*(β) =(FT W F +K

)−1 (FT W y* +K

)

(4.1.19)

−h

где Kβ =(diag(K(

j =1,m)

– диагональная матрица

весовых

функций, β – управляющий параметр.

4.2. Нелинейныенепараметрическиеинтегрированные системыидентификации

Нелинейные непараметрические интегрированные системы идентификации основаны на нелинейной параметрической модели исходного объекта и непараметрической модели l объектов-аналогов, представляющих дополнительную априорную информацию о параметрах исследуемого объекта

= f (x,α) +ξ,

(4.2.1)

=φ

(α) +η , k =

1,l,

где

y* = ( y*, y*

,… y* )T – вектор измеренных значений выхода объекта,

f (x,α) =( f (x1,α), f (x2 ,α), … f (xn ,α))T

– вектор известных с точностью

до параметров α нелинейных функций

f (x,α) , вычисленных в точках

xi ,

i =

;

k ,

k =

– вектор

дополнительных априорных данных;

1,n

φk (α), k =1,l – неизвестные однозначные функции, ξ, ηk , k =1,l – век-

торы случайных величин.

Вобщем случаедлярассмотренной интегрированной системы моделей задачаидентификации сводится крешениютрехоптимизационныхзадач:

α*(h) =arg min Φ(α(h), f ) ,

h* =arg min Φ(α*(h), f ) ,

(4.2.2)

f * =arg min Φ(α*(h*), f ),

где

Φ(α) =J(α)+Q(α) =

y* − f (x,α)

+∑

αk

−α

2 , K =(diag(K(

αj

−αjk

), j =

1,m

k=1

h– управляющий параметр.

Вданном параграфе рассмотрим решение первой оптимизационной задачи по определению неизвестных параметров с использованием метода Гаусса–Ньютона. Для этой цели, как и в параграфе 3.1, разложим функцию f(x, α) в ряд Тейлора (3.1.3) и перейдем к линейной интегрированной системе моделей вида

+ξ,

= D α

(4.2.3)

= α0 +η , k =

1,l

где e

= y

−f (x,α

D0 =

∂f (x

,α)

i =1,n ,

j =1,m

– матрица частных

∂αj

производных по параметрам

αj ,

j =

α0 =(α−α0 ) , α=α−α0 и,

1,m

соответственно, к функционалу качества вида

			2	l			2
Φ( α0 ) =	e0 −D0	α0	W	+∑	αk −	α0	K	.	(4.2.4)
			y	k =1				h	α0 относитель-
Далее определим приращение вектора параметров									α0 относитель-

но начального приближения α0 путем вычисления и приравнивания к

нулю производных от функционала Φ(

α0 ) по параметрам α0 :

∂Φ( α0 )

0 Φ( α

) = −2D W (e

−D α

) −

α0

(4.2.5)

−Kh ( α0 − α0 ) =0.

В результате получим систему линейных уравнений относительно при-

ращений вектора параметров		α:
(DT W D+K		) α=(DT W e +K			k ).	(4.2.6)
(DT W D+K		) α=(DT W e +K	h	α	k ).	(4.2.6)
y	h	y	h

С учетом (4.2.6) задача определения параметров α сводится к последовательному решению системы линейных уравнений вида:

=α

i−1

(4.2.7)

i−1

α)

(D WyD +Kh )

=(D Wye +Kh

α0

−α

где Kh = diag(∑K

j =1,m) , α0 – некоторое начальное при-

k=1

ближение параметров α.

Для комбинированной нелинейной непараметрической интегрированной системы моделей с учетом дополнительной априорной информации о параметрах исследуемого объекта и его выходе:

y* = f (x,α) +ξ,						,			(4.2.8)
α	k	=φ		(α) +η
y		1k			k
		= φ		(y) +γ		, k =		,
	k		2k		k		1,l

нетрудно получить аналогичные (4.2.7) алгоритмы адаптации, используя метод Гаусса–Ньютона и квадратичные критерии качества

Φ( α0 ) =

e0 −D0

α0

+∑

αk

−

α0

+∑

−D0α0

2 j

(4.2.9)

j=1

1 j

j=1

α0

−

− y

где K

1 j

= diag(K(

), k =1,m); K

2 j

= diag(K

, k =1,n.

В данном случае алгоритм адаптации по определению параметров α подобен алгоритму (4.2.7):



αi =αi−1 +h αi−1,
	l	l
(DT WyD+∑K1 j		+∑DT K2 j D)i			−1 αi−1 =		(4.2.10)
	j=1	j=1
	l			l
	T			T		y j )	i−1
	(D Wye +∑K1 j αj +∑D K2 j					y j )	.
	j=1		j	=1

Для нелинейных динамических непараметрических интегрирован-

ных моделей вида:

y* = F(y , y

, t, α, x

, x

, i =

, j =

) +ξ

t− j

1,r

t−i

= y(t −i),

= x(t − j), i =

, j =

, t =

t− j

1,r

1,n,

t−i

(4.2.11)

=φ

(α) +η , k =

1, s

=φ

(y) + ν

, l =

1, s

, s = s +s ,

1 2

алгоритм адаптации по определению параметров α сводится к последовательному решению систем линейных уравнений вида (4.2.9), где под D следует понимать матрицу частных производных

∂f (y , y

,t, α, x

, x

, i =

, j =

)

t− j

1,r

D =

t−i

j =1,m,

t =1,n

от нелиней-

∂α

F(•) ,

ной

по параметрам функции

являющейся конечно-разностным

аналогом обыкновенного дифференциального уравнения (1.4.10). Подобным образом проектируются алгоритмы адаптации и для нелинейных уравнений в частных производных.

Для интегрированной динамической нелинейной непараметрической системы, где модель исследуемого объекта представлена в форме интегрального уравнения вида,

	∞
yt	= f (∫h(τ)x(t −τ)dτ, t =1,n
	0
αk	=φk (α) +ηk , k =				1,	(4.2.12)
			1, s
yl =φl (y) + νl , l =				2, s = s1 +s2 ,
		1, s

а импульсная переходная функция представлена в виде суперпозиции из-

вестных функций h(τ) = ∑αjφj (τ) , задача определения вектора парамет-

j=1

ров α с учетом дополнительной априорной информации о параметрах и выходе исследуемого объекта, представленная непараметрической моделью объекта-аналога, сводится к алгоритмам вида (4.2.7) и (4.2.10).

4.3. Непараметрическиеинтегрированныесистемыидентификации

Рассмотрим задачу идентификации стохастических систем в условиях непараметрической априорной неопределенности о структуре модели объекта и структуре дополнительной априорной информации. Остановимся на статической непараметрической интегрированной модели двух черных ящиков

y* = f (x			) +ξ	,
	i	i	i				(4.3.1)
y =φ(y) +η , i =						,
y =φ(y) +η , i =					1,n	,
	i		i

где yi* – измеренные значения выхода объекта; f (xi ), i =1,n) – неизвестные однозначные функции f(x), вычисленные в точках xi , i =1,n ; φ(y) –

неизвестная однозначная функция, отражающая взаимодействие исследуемого объекта с объектом-аналогом;

В качестве критерия качества будем использовать комбинированный функционал вида:

n	x0	−x			l	r(x0 ) − y		k
Φ(h,β) = ∑K		h	i	(yi − f (x0 ))2	+∑	К			( yk	− f (x0 ))2, (4.3.2)
							β
i=1					k=1

	x0	−x			r(x0 ) − y		k
где	K	h	i	,	К		k	– некоторые весовые функции – ядра,
где	K		i	,	К	β		– некоторые весовые функции – ядра,
						β

введенные по аналогии с непараметрическими оценками плотности распределения вероятностей и регрессии, приведенными в приложении 5; h =(h1, h2 , ..., h2 ), β – управляющие параметры; r(x0 ) – некоторая начальная оценка (начальное приближение) функции регрессии.

В качестве оптимальной оценки искомой функции в точке x0 Rm будем использовать величину

f *(x0 ) =arg min Φ(h, β). (4.3.3)

f (x0 )

В данном случае оценку функции регрессии можно представить в явном виде (полагая x0 = x)

	∑К	x −xi yi +∑K r(x) − yk yk
	n		n
		h
f *(x) =	i=1	h	k=1	β	(4.3.4)
f *(x) =	n		n	r(x) − yk	(4.3.4)
	∑К x −xi		+∑K	r(x) − yk
	∑К x −xi		+∑K
	i=1	h	k=1	β

При β = 0 из (4.3.4) следует непараметрическая оценка функции регрессии (приложение 3), которую можно использовать в качестве начального приближения функции r(x).

По аналогии с приближением (4.3.4) проектируются оценки для непараметрических динамических интегрированных систем, где под xt понимается расширенный вектор, состоящий из компонент yt , yt−i , xt ,xt− j ,

i =1,r1, j =1,r2 .

При ошибках измерения выхода объекта и ошибок задания дополнительных априорных данных, существенно отличающихся от нормального закона, комбинированный функционал качества следует выбирать в виде

Φ(h,β)

+ ∑

k=1


	n	x0	−x
= ∑K			h			i z1( yi − f (x0 )) +
i	=1		h						(4.3.5)
r(x0 ) − y									(4.3.5)
r(x0 ) − y				k					− f (x0 )),
К				k	z			( y
К		β			z			( y
		β					2		k

где вид функций z1, z2 – определяется в зависимости от априорной ин-

формации о статистических характеристиках ошибок. Методы выбора функций z1, z2 изложены в приложении 3.

Завершающим этапом адаптации рассмотренных непараметрических интегрированных моделей при заданных весовых функциях является определение оптимальных значений управляющих параметров h =(h1, h2 , ..., h2 ), β, доставляющих минимум функционалу вида

		J (h,β) = ∑ (y j − f *(x j , i M2 ))2 ,	(4.3.6)
		j M1
где M1, M2		– подмножества индексов, f *(x j , i M2 )	оценка неиз-
где M1, M2	1,n	– подмножества индексов, f *(x j , i M2 )	оценка неиз-
вестной функции f (x) вида (4.3.4), вычисленная в точке			j M2 . Про-

стейшим случаем данного функционала является критерий, в котором исходная выборка разбивается на две равные части. Первая часть используется для построения оценки функции f (x) , а вторая для расчета

среднего квадрата ошибок. Допустимые варианты разбиения исходной выборки рассмотрены в главе 5.

Глава5 КАЧЕСТВОИНТЕГРИРОВАННЫХСИСТЕМИДЕНТИФИКАЦИИ

5.1.Качествоинтегрированных системидентификации

вусловияхихнормальногофункционирования

Вданном параграфе рассмотрим вопросы точности и эффективности оценок параметров линейных интегрированных моделей в условиях их нормального функционирования.

Под точностью будем понимать среднеквадратичную ошибку аппроксимации (СКОА)

	δα* = M (α* −α)T (α* −α) = Dα* +(Mα* −α)T (Mα* −α) ,					(5.1.1)
где M, D – символы математического ожидания и дисперсии оценок па-
раметров α*.
Под эффективностью оценки α* по отношению к оценке α*						, будем
понимать выражение			1	2
понимать выражение				δα*
		e(α,α ) =		δα*
				1	,	(5.1.2)
					,	(5.1.2)
		1	2	δα*2
где δα, δα		– СКОА оценок α*	и α* .
1	2	1	2

Вопросы точности и эффективности рассмотрим на примерах линейных и нелинейных статических интегрированных систем идентификации, приведенных во второй и третьих главах.

Остановимся на простой линейной интегрированной системе моделей с учетом дополнительной априорной информации о параметрах вида

	*	= Fα+ξ,
y		= Fα+ξ,	(5.1.3)
α =α+η,			(5.1.3)

где ξ, η – ошибки измерения выхода объекта и ошибки дополнительных

априорных данных с плотностью распределения вероятностей Рξ и Рη соответственно.

Сформулируем стандартные (классические) условия нормального функционирования системы (5.1.3).

Условие 1. Случайные величины ξ в модели исследуемого объекта независимы с нулевыми математическими ожиданиями (Мξ = 0) и ограниченными дисперсиями ( σi2 =σξ2 i =1,n ), с плотностью Рξ.

Условие 2. Случайные величины η в модели объекта-аналога независимы с нулевыми математическими ожиданиями (Мη = 0), ограниченными дисперсиями ( σ2j =ση2 , j =1,m ), с плотностью Рη.

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 206 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке Учебные пособия

#
18.07.20234.5 Mб1077592_2C103_anfilatov_v_s_emelyanov_a_a_kukushkin_a_a_sistemnyy_analiz_v.pdf
#
18.07.20231.42 Mб22ИПР_Сергеев В.Л._Системные основы управления.pdf
#
18.07.20233.44 Mб1СЕРГЕЕВ_МАКЕТ.pdf