Добавил:

fominmal Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Томский Государственный Университет Систем Управления и Радиоэлектроники

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

СЕРГЕЕВ_МАКЕТ

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

18.07.2023

Размер:

3.44 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 205 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 > Следующая >>>

Для этой цели необходимо вычислить производные от функционала Ф(Δα0) по параметрам Δα0 и приравнять их к нулю

∂Φ( α0 )

0 Φ( α

) = −2D W (e

−D

) −

α0

(3.1.7)

0 −R α0 ) = 0.

− 2RT Wα (

В результате получим систему линейных уравнений

(DT Wy D +β RT WαR)i−1 αi−1	= (DT Wye +β RT Wα			)i−1 , (3.1.8)
			α
относительно приращений вектора	параметров αi−1	на шаге i −1,

i =1, 2, 3, ... Индекс i −1 означает, что все переменные системы линейных уравнений вычислены при значениях α =αi−1, i =1, 2, 3, ...

Для обеспечения сходимости процедуры определения параметров

(3.1.6), (3.1.8), необходимо выполнение условия
Φ(αi ) <Φ(αi−1) , i −1, i =1, 2, 3, ...	(3.1.9)

на каждом шаге итерационного процесса.

Для этой цели существует ряд методов, приведенных в приложении 3. В методе Гаусса–Ньютона выполнение условия сходимости (3.1.9) осу-

ществляется	дроблением шага h (hi =1, i =1, 2, 3, ...) пополам
hi = hi−1 / 2 ,	i =1, 2, 3, ....
Рассмотрим интегрированную систему моделей, в которой априор-

ная информация о параметрах модели объекта представлена системой нелинейных уравнений

	*	= f (x,α) +ξ,
y			(3.1.10)



α = r(α) + η,

где r(α) – вектор нелинейных функций (r1 (α), r2 (α), ..., rm (α))T . Используя разложение функции f (x,α) и r(α) в ряд Тейлора вида

(3.1.3), перейдем к линейной,	относительно параметров α0 , интегри-
рованной системе моделей вида:
0	0	α	0	+ξ,
e f	= D f
	= D0	α0 + η,			(3.1.11)

e0
r	r

			∂r	(α)			0
где	D0r		∂r	(α)		, i, j =1,m	– квадратная матрица частных производных
где	D0r	=	i			, i, j =1,m	– квадратная матрица частных производных
			∂α		j
					j

функции r(α) по параметрам α, e0f = y* −f (x,α0 ), e0r = α−r(α0 ), а D0f , α0 – определены в (3.1.3).

Для интегрированной системы моделей (3.1.11) по аналогии с (3.1.5) имеет место комбинированный критерий качества

Φ( α0 ) =

e0f −D0f

α0

2 +β

−D0r

α0

2 .

e0r

(3.1.12)

Wα

В данном случае алгоритм адаптации с использованием метода Гаусса–Ньютона по аналогии с (3.1.6), (3.1.8) сводится к итерационной процедуре вида:

αi =αi−1			+h αi−1,
			i								(3.1.13)
	T		T	i−1	i−1	T 0	T			i−1
	T		T	i−1	i−1	T 0	T		0	i−1
(Df		WyDf +β Dr		WαDr )	α	=(D f Wyef	+β Dr	Wαer )			, i =1, 2, 3,... .

Важным моментов в алгоритмах адаптации (3.1.6) и (3.1.13) является определение управляющего параметра, который (в упрощенном варианте) может быть определен на первом шаге итерационного процесса путем решения оптимизационной задачи вида

β* =arg min(

y* −f(x,α1

(β)

+β

−Rα1(β)

2 .

Wα

Полученное значение управляющего параметра β* может быть использовано на последующих шагах.

Рассмотрим интегрированную систему моделей, в которой априорная информация о параметрах модели объекта формируется на основе использования l объектов-аналогов:

		*	= f (x,α) +ξ,
y			= f (x,α) +ξ,				(3.1.14)
		k = R		α+ η	, k =		(3.1.14)
	α	k = R		α+ η	, k =	1,l,
			k	k

где Rk – известная матрица для k объекта-аналога; αk =(α1k ,α2k ,..., αmk ) –

вектор дополнительных априорных данных для k объекта-аналога. Поставим в соответствие данной интегрированной системе моделей

квадратичный функционал качества, предполагая, что случайные величины ξ и η распределены по нормальному закону

		2	l		2
Φ(α) =	y* −f (x,α)	W	+∑βk	αk −Rk α	W .	(3.1.15)
		y	k =1		α

Тогда алгоритм определения параметров α при использовании метода Гаусса–Ньютона по аналогии с (3.1.6), (3.1.8) сводится к рекуррентной процедуре

	i	=α	i−1	+hj	α	i−1	, i =1, 2, 3, ...
α		=α		+hj	α		, i =1, 2, 3, ...				(3.1.16)
				l				l			(3.1.16)
(DT WyD+∑βk RTk Wαk Rk )i−1								αi−1 =(DT Wye +∑βk RTk Wαk		k )i−1.
(DT WyD+∑βk RTk Wαk Rk )i−1								αi−1 =(DT Wye +∑βk RTk Wαk	α	k )i−1.
				k=1				k =1
				k=1				k =1

Алгоритм адаптации, основанный на методе Ньютона–Рафсона.

Для решения оптимизационной задачи часто используется метод Ньютона, приведенный в приложении 2, основанный на использовании вто-

y* =f (x,α) +ξ,

Гy =L(y) +η,

рых частных производных при разложении функционала качества Φ(α) в ряд Тейлора в окрестности точки α0

Φ(α)

Φ(α

)

α Φ(α ))

0 +

( α

0 T

(3.1.17)

(

) H

элементами

где H0 – матрица Гессе вторых частных производных с

(∂2Φ(α) / ∂αi ∂α j , i,j =1,m)0 ,

α0 = (α−α0 ) , а индекс «0»

означает, что

частные производные вычислены при α = α0 .

Необходимым условием минимума функционала (3.1.17) является

равенство нулю частных производных по

α0

(3.1.18)

где (

α0 Φ(α) =( α Φ(α ))0 +H0 α0 = 0,

Φ(α))0

= ( T f W

+β RT W

H0 = ( 2f W

+ T f

f +

α α

+β RT W R)0 ,

f =(∂f(α) / ∂α

, i =

), 2f =(∂2f (α) / ∂α

∂α

, i, j =

) ,

1,m

e0f = y* −f (x,α0 ), α=α−Rα0 .

Процесс определения параметров α в данном случае проводится по схеме:

αi =αi−1 +h αi−1,

f W e

W R)

i−1

(3.1.19)

(

f +β R

y α

= ( T f W e0

+β RT W α)i−1.

Преимуществом метода Ньютона–Рафсона (3.1.19) по сравнению с методом Гаусса–Ньютона является то, что он обеспечивает более высокую скорость сходимости. Недостатком является трудоемкость при вычислении матрицы вторых производных α2f.

Следует отметить, что в последнее время широкое практическое применение получили квазиньютоновские методы оптимизации (методы переменной метрики), приведенные в приложении 2, позволяющие строить различные аппроксимации матрицы Гессе.

3.2.Нелинейныеинтегрированные системыидентификации

сучетомаприорнойинформацииовыходеобъекта

Рассмотрим интегрированную систему моделей, основанную на нелинейной статической стохастической модели объекта и нелинейной модели дополнительной априорной информации о его выходе

(3.2.1)

где L – известный оператор (функция, функционал и т. д.); y* – векторы измеренных значений выхода объекта; y – дополнительные априорные

данные, полученные с «объекта-аналога»; f (x,α) – вектор нелинейной

функции f( x,α) вычисленной в точкахxi ,i =1,n ;ξ, η – векторы случай-

ных величин; L – диагональная индикаторная матрица.

Введем обозначения Ly = yГ , Ly = g(x,α) , с учетом которых интегрированную систему моделей (3.2.1) представим в виде:

	*	=f (x,α) +ξ,
y		=f (x,α) +ξ,	(3.2.2)
y		=g(x,α) +η.	(3.2.2)
	Г
	Г

Алгоритм адаптации, основанный на методе Гаусса–Ньютона.

Используя прием разложения нелинейных функций

f (x,α) и

g(x,α)

в ряд Тейлора с точностью до членов первого порядка малости:

f (x,α) = f (x,α0 ) + α f (x,α0 )T α0,

(3.2.3)

g(x,α) = g(x,α0 ) + αg(x,α0 )T α0,

приведем решение оптимизационной задачи

α*(β) =arg min Φ(α) =

(3.2.4)

= J(α) +βQ(α) =

y* −f (x,α)

2 +β

Г −g(x,α)

с использованием итерационной процедуры Гаусса–Ньютона по аналогии с алгоритмом адаптации (3.1.13). Для этой цели линеаризуем интегрированную систему (3.2.2)

	0		0	α		0	+ξ,
e f		= D f
			0		0
	0	= D		α			+η,
e	g		g

∂g(x

,α)

) , D0

и перейдем к ре-

, i

=1,n, j

=1,m

где eg = yГ −g(x,α

∂αj

шению оптимизационной задачи

= arg min(Φ(

) =

+β

e f

−D f

eg −Dg

для определения оптимального вектора приращений параметров α0 . В данном случае процедура уточнения параметров (по аналогии с процедурой (3.1.13)) имеет вид:

=α

i−1

+h α

i−1

W D

)

=(D

W e

)

, (3.2.5)

+β D W D

+β D W e

g y q

g y g

	i =1, 2, 3, ... .

Для получения (3.2.5) достаточно взять производные от функционала Φ( α0 ) по параметрам α0 и приравнять их к нулю.

Для интегрированной системы моделей, в которой априорная информация о выходе объекта получена с l объектов-аналогов

y* =f(x,α) +ξ,

(3.2.6)

(x,α) +η ,

k =

Гk

1,l,

процедура уточнения параметров (по аналогии с (3.2.5)) примет вид

αi =αi−1 +h αi−1,

i−1

(3.2.7)

(D f WyD f +∑βk Dgk W

yk Dgk )

k=1

i−1

=(D f Wye f

+∑βk Dgk W

yk egk )

, i =1, 2, 3, ... .

k=1

приложении

2 методов

оптимизации

На основе

приведенных

функций для интегрированной системы моделей (3.2.2) и (3.2.6) можно получить различные процедуры адаптации вектора неизвестных параметров α. Например, для интегрированной системы моделей (3.2.2) метод Ньютона–Рафсона (по аналогии с алгоритмом (3.1.19)) приводит к итерационной процедуре вида

αi =αi−1	+h αi−1,
	i						(3.2.8)
( α2f Wye0f +Tαf Wy αf +β DTg WαDg )i−1 αi−1 =							(3.2.8)
	=( T f W e0		+β DT W		e	)i−1.


	α	y f	g	y g

3.3. Нелинейныекомбинированные интегрированные системыидентификации

Рассмотрим интегрированную систему моделей, основанную на нелинейной статической стохастической модели объекта и моделей объек- тов-аналогов, дающих дополнительную априорную информацию о параметрах и выходной переменной модели. Рассмотрим также класс объ- ектов-аналогов, представляющий дополнительную априорную информацию о выходе объекта в интегральном виде. Остановимся на интегрированной системе моделей вида:

y* =f (x,α) +ξ,

α=r(α) +η1,				(3.3.9)
				(3.3.9)
y =g(x,α) +η2 ,
	∫	z(x,α)dx	+η3	= s(α) +η3,
	∫
s =
	Rm

где f (x,α), f (α), f (x,α), z(x,α) – известные нелинейные функции (в общем виде функционалы); y*, α, y – соответственно, векторы измерен-

ных значений выхода объекта и априорных дополнительных данных о параметрах модели объекта и его выходе; s – дополнительная априор-

ная информация о выходе объекта, заданная в интегральной форме; ξ, η1, η2, η3 – векторы случайных величин.

От интегрированной системы моделей (3.3.9) перейдем к линеаризованной интегрированной системе моделей относительно приращений α0, где все нелинейные функции представлены рядом Тейлора в окрестности точки α0 с точностью до членов первого порядка малости:

0			0	α			0	+ξ,
e f		= Df
	0	= D	0	α	0			+η	,
e			r									(3.3.10)
r								1
	0	= D	0	α		0		+η			,
e	g		g
								2
e0		= D0		α0 +η						,
	s		s					3
где D0f , D0g – матрицы частных производных от функций f, g соответст-

венно по параметрам αj , j =1,m в точках xi , i =1,n при начальных зна-


чениях α = α0;		D0r , D0s – векторы частных производных от функции r и
функционала s по параметрам αj , j =				;e0f = y* −f (x,α0 ) ;
			1,m
e0	=α−r(α0 ) ; e0	= y −g(x,α0 ) ; e0 = s −s(α0 ) .
r	g	s

Интегрированной системе моделей (3.3.10) поставим в соответствие комбинированный взвешенный критерий качества, основанный на частных квадратичных функционалах качества:

Φ(

α0 ) = J(

α0 ) +∑βjQ j (

α0 ) ,

(3.3.11)

j=1

где J( α)=

; Q =

Q =

−D α

−D

;

e −D α

;

−D α

В качестве оптимальных значений

α* приращения параметров

α0

используем величину

α* =arg min Φ( α0 ).

(3.3.12)

Δα0

Для решения задачи (3.3.12) достаточно вычислить производные от

Φ( α0 ) до

α0 и приравнять их к нулю

Φ( α0) =−2D0 W E

−2D0W E0

−

(3.3.13)

−2D0W

E0 −2D0W E0

=0,

где E =(e0 −D0 α0);

E =(e0

−D0 α0),

E =(e0

−D0

α0), E =(e0

−D0 α0).

f f

Собирая члены c

α0

из (3.3.13), получим систему линейных урав-

нений, которую запишем для произвольного вектора приращений

αi−1

на шаге i – 1, начиная с

α0 ,

i =1, 2, 3...,

Ai−1

αi−1 =Bi−1 ,

(3.3.14)

где

Ai−1 =(DTf WyDTf +β1DTr WαDr +β2DTg WyDg +β3DTs WsDs )i−1 Bi−1 =(DT Wye0f +β1DTr Wα e0r +β2DTz Wy e0g +β3DTs Ws e0s )i−1,

индекс i −1 означает, что все переменные вычислены при α=αi−1 . Основываясь на схеме Ньютона с учетом (3.3.13), процедура уточ-

нения параметров α примет вид

			i	=α		i−1	+h α	i−1	,
	α			=α			+h α		,
	Ai−1						i			(3.3.15)
	Ai−1				αi−1 =Bi−1,				i =1, 2, 3, ... .	(3.3.15)

Отметим,	что	при					значениях управляющих			параметров
β1 = β2 = β3 = 0	и Wy =I ,				алгоритм				определения параметров (3.3.14)

совпадает с методом Гаусса–Ньютона для идентификации модели объекта f (x,α).

Для интегрированной системы моделей вида:

= f (x,α) +ξ,

= rk (α) +η1k , k =1,l1,

αk

(3.3.16)

(x,α) +η

, k =

1,l

= s(α) +η

, k

1,l ,

в которой дополнительная априорная информация получена c l1 +l2 +l3

объектов-аналогов, процедура уточнения параметров проводится по схеме, аналогичной (3.3.14), где

Ai−1 = (DTf WyDTf +∑β1k DTrk Wαk Drk +

∑β2DTg W

Dg +

k=1

k =1

WsDs )i−1

+ ∑β3DTs

(3.3.17)

k =1

Bi−1 =(DT Wye0f +∑β1DTr

Wα e0r

∑β2DTz W

e0g +∑β3DTs

Ws e0s )i−1.

k =1

k=1

Следует отметить, что дополнительные априорные данные могут быть известны только по некоторым компонентам векторов α и y .

3.4. Нелинейныединамическиеинтегрированныесистемыидентификации

Нелинейные динамические интегрированные системы идентификации рассмотрим на примере нелинейной динамической интегрированной системы моделей вида:

y* = F (α) +ξ			, y(0) =		(0),
y* = F (α) +ξ			, y(0) =	y	(0),
t	t	t
α= Rα+η,			(3.4.1)
y	= Hy + ν,

где y*t – вектор измеренных в моменты времени t значений выхода объ-

екта yt Ft (α) =( f ( yt−1, yt , t, α, xt ), t =1,n) – вектор функция, полученная в результате конечно-разностной аппроксимации нелинейного дифференциального уравнения первого порядка (1.4.10); xt =(x1t , x2t , ..., xmt ) – зна-

чения входных переменных объекта в момент времени t, α – вектор неизвестных параметров; R,H – известные матрицы; ξt , η, ν – векторы

ошибок измерений выхода исследуемого объекта и ошибок задания априорной информации соответственно.

Представим в (3.4.1) функцию Ft (α) рядом Тейлора в окрестности

точки α0 с точностью до членов первого порядка малости. В результате получим линеаризованную интегрированную систему моделей относительно приращений α0,

= D

+ξ,

α0 +η,

(3.4.2)

= R

e0 = D02 α0 + v,

α=α−Rα0, R1 α0 =(∑rij1

α0j ,i

1,m

)T , e0 = y −HFt (α0 ), D02 = HD10,

j=1

∂f ( y

−1

, y , t, α, x

)

, t =1,n , j =

1,m

∂αj

При использовании комбинированного критерия качества

Φ( α

) =

+β

α−R α

+β

−D

−D α

Wα

алгоритм адаптации по определению вектора параметров α по аналогии с (3.1.6) , (3.2.7) сводится к итерационной процедуре вида:

αi =αi−1 +h

αi−1, i =1, 2, 3, ....

i−1

(D W D

β R

W R +β

)

(3.4.3)

y 1

= (DT

W e0

+β RT W

+β

e0 )i−1.

1 r

По аналогии с (3.4.3) проектируются алгоритмы адаптации для интегрированных систем идентификации, где в качестве модели объекта используются нелинейные интегральные уравнения вида (1.2.11).

Глава4 НЕПАРАМЕТРИЧЕСКИЕИНТЕГРИРОВАННЫЕ

СИСТЕМЫИДЕНТИФИКАЦИИ

4.1. Линейныенепараметрическиеинтегрированныесистемыидентификации

Рассмотрение непараметрических интегрированных систем идентификации начнем с простой интегрированной системы моделей первого уровня вида


y* =Fα+ξ,					(4.1.1)

αj =φj (αj ) +ηj , j =			,
	1,m

где F – вектор известных функций f j (x), j =				,	вычисленных в точках
		1, m

xi , i =1,n; y* = ( y1*, y2*,…, yn* )T – вектор измеренных значений выхода объекта у; α – вектор неизвестных параметров; αj , j =1,m – дополнительные априорные данные; φj (αj ), j =1,m – неизвестные однозначные

функции, связывающие параметры исследуемого объекта с выходными значениями объекта-аналога; ξ, ηj , j =1,m, – случайные величины,

представляющие ошибки измерения выхода объекта и ошибки задания априорной информации; Т – символ транспонирования.

Задача идентификации заключается в оценивании неизвестных параметров, когда относительно функций φj (α), j =1,m известны лишь

общие предположения, такие как непрерывность, ограниченность, существование производных и т. д.

Вданных условиях модель (4.1.1) представляет линейную, интегрированную систему, где дополнительная информация задана в непараметрической форме. Существует достаточно широкий класс объектов с непараметрическими моделями априорной информации:

1.Системы, где априорные данные неоднородны.

2.Системы, где недостаточно изучен механизм взаимодействия исследуемого объекта и объекта-аналога.

3.Системы с нестабильным взаимодействием исследуемого объекта и объекта-аналога (при одних условиях есть взаимодействие, при других условиях – нет) и т. п.

Вусловиях непараметрической априорной неопределенности о

структуре моделей объектов-аналогов, когда функции φj (α), j =1,l не-

известны, встает вопрос о методике формирования комбинированного функционала качества. Сформулируем критерии, необходимые для конструирования комбинированного функционала качества [12].

1. Критерий огрубления моделей объектов-аналогов

Действие критерия заключается в замене неизвестной функции

φj (α) известной в окрестности некоторой точки α0. В простейшем случае

вкачестве φj (α) может быть выбран вектор неизвестных параметров α.

2. Критерий значимости дополнительной информации

Данный критерий предусматривает введение правила «менее значимой дополнительной информации – меньший вес», что связано с введением некоторых весовых функций с центром в окрестности точки α0j ,

убывающих в зависимости от увеличения значений α0j −αj →∞ .

3. Критерий компенсации

В качестве компенсации за огрубление моделей дополнительных априорных данных, выбора начального приближения α0j параметра αj ,

		α0	−α	j
вводится весовая функция с управляющим параметром h	K	j		j	,
вводится весовая функция с управляющим параметром h	K		h		,
			h

таким образом, чтобы выполнялись условия Kh →0, h→0, Kh →C<∞,h→∞.

В качестве комбинированного функционала качества с учетом введенных выше критериев, будем использовать приближение

Φ(α) = J(α) +Q(α) =

y* −Fα

α−α

K2 h ,

(4.1.2)

где J(α) – взвешенный с матрицей Wy частный критерий среднего квадрата ошибок измерений выхода объекта и выбора модели; Q(α) – частный

					α0	−α	j
критерий			качества модели объекта-аналога;	Kh =(diag(K(	j		j	),
критерий			качества модели объекта-аналога;	Kh =(diag(K(		h		),
						h
j =		) –	диагональная матрица весовых функций, h – управляющий
j =	1,m	) –	диагональная матрица весовых функций, h – управляющий

параметр.

Следует отметить, что аналогом данных весовых функций являются ядра в непараметрических оценках плотности распределения вероятностей и регрессии, приведенных в приложении 3.

Задача определения параметров α с учетом критерия (4.1.2) сводится к задаче оптимизации вида

α*(h) =arg min Φ(α). (4.1.3)

Для решения задачи (4.1.3) необходимо взять производные от функционала Φ(α) по параметрам α, используя формулы для производ-

ных по векторному аргументу, приведенные в приложении, и приравнять их к нулю:

∂∂Φα = αΦ= −2FT Wy (y* −Fα) −2Kh (α−α) = 0.

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 205 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке Учебные пособия

#
18.07.20234.5 Mб1077592_2C103_anfilatov_v_s_emelyanov_a_a_kukushkin_a_a_sistemnyy_analiz_v.pdf
#
18.07.20231.42 Mб22ИПР_Сергеев В.Л._Системные основы управления.pdf
#
18.07.20233.44 Mб1СЕРГЕЕВ_МАКЕТ.pdf