Добавил:

fominmal Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Томский Государственный Университет Систем Управления и Радиоэлектроники

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

СЕРГЕЕВ_МАКЕТ

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

18.07.2023

Размер:

3.44 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 204 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 > Следующая >>>

Оптимизационную задачу (2.1.16) можно свести к последовательному решению системы линейных уравнений. Алгоритмы определения управляющих параметров рассмотрены в пятой главе.

В качестве примера рассмотрим интегрированную систему моделей вида:

yi* = α1 +α2 (xi − x) +ξi ,i =1,n,α1 = α1 +η1 ,α2 = α2 +η2 ,

где y = α1 +α2 (x − x) – уравнение линейной регрессии;

			(2.1.17)
	1	n
x =	1	∑xi	– выбо-
	n i=1

рочное среднее; α1 и α2 – дополнительные априорные данные сведения о параметрах α1 и α2 , ξ, i =1,n, η1, η2 – ошибки измерения выхода объ-

екта и ошибки задания априорных данных о параметрах модели объекта. Данная интегрированная система моделей следует из (2.1.1) при

R = I и m = 2.

Предполагая, что ошибки измерений и ошибки задания дополнительных априорных данных независимы и одинаково распределены (Wy =Wα = I ), из (2.1.4) получим оценки параметров α1 и α2

α* (β) = (FT F +βI )−1 (FT y* +βα) ,										(2.1.18)
где
	T		1,			1,	. . .		1
F	T		− x,	x		− x,	. . . x
F		= x	− x,	x	2	− x,	. . . x	n	− x .
		1			2			n

Алгоритм получения оценок параметров заключается в выполнении последовательности действий:

1)вычисление произведения матриц FT F ;

2)получения обратной матрицы (FT F +βI )−1 ;

3)расчета вектора свободных членов (FT y* +βα) ;

4)вычисление произведения (FT F +βI )−1 (FT y* +βα) .

В силу симметричности уравнения регрессии матрица FT F диагональная

			n	0
	T			n
F		F =	0	∑(xi − x)2	.
				i=1
Тогда соответствующая обратная				матрица	(FT F +βI )−1 также диаго-
нальная.
				31

+β

(FT F +

βI )−1 =

(2.1.19)

∑(xi − x)2 +β

Матрица FT y* равна

i=1

∑yi

FT y* =

i=1

∑(x1 − x) yi

Соответственно

i=1

∑yi

+βα1

+βα) =

i=1

(2.1.20)

∑(xi − x) yi +

βα2

i=1

Перемножая матрицы (2.1.19) и (2.1.20), получим

∑yi +βα1

∑(xi − x) yi +βα2

(2.1.21)

i=1

α1

(β) =

n +β ,

α2 (β) =

∑(xi − x)2 +

β .

Следует отметить, что полученные оценки можно вычислять при n ≥1 (проводится прямая через одну точку).

При β = 0 полученные оценки параметров совпадают с соответст-

вующими оценками метода наименьших квадратов, которые можно использовать при объеме измерений n ≥ 2 , поскольку при n =1 определитель матрицы FT F равен нулю.

Следует отметить, что при матрице планирования FT F большой размерности, решение соответствующих систем линейных уравнений осуществляетсяоднимизитерационныхметодовпоследовательныхприближений.

2.2.Линейныеинтегрированныесистемыидентификации

сучетомаприорнойинформацииовыходеобъекта

Рассмотрим линейную интегрированную систему моделей, в которой используется дополнительная априорная информация о выходе объекта

	*	= Fα+ξ,	(2.2.1)
y
Гy = Ry + η,
где R,Г – известные матрицы;		y* = ( y1* , y2* ,..., yn* )T ,	y = ( y1 , y2 ,...yn )T –

векторы столбцы измеренных значений выхода объекта и дополнительных априорных данных, матрица F и векторы α, ξ, η определены в 2.1.1.

Введем обозначения F1 = F,F2 = RF и представим интегрированную систему моделей (2.2.1) в виде:

		y* = F1α+ξ,		(2.2.2)
			α+ η,
		Гy = F2
где	F	– матрица известных функций	f j (xi ), j =		, вычисленных в точ-
				1,m
	1

ках xi ,i =1,n, Г – диагональная индикаторная матрица для указания от-

сутствующих значений компонент вектора дополнительных априорных данных y .

Например, при Г = (zij = 0,i, j =1,n −1, znn =1) , априорная информа-

ция задана одним значением yn	в точке xn и интегрированная система
моделей при R = I примет вид
y*	= F1α+ξ,
	= yn + ηn ,
yn	= yn + ηn ,

Следует отметить, что измерения выхода объекта и дополнительные данные могут быть получены при разных значениях входных переменных, принадлежащих их разным областям. Например, измерения

выхода объекта yi ,i 1,n могут быть определены в точках xi x1 , а дополнительные данные y j , j 1,n в точках x j x2 , причем области

х1 и х2 не пересекаются. В этой связи в качестве дополнительной априорной информации могут быть использованы и экспертные оценки прогнозных значений выхода объекта, в том числе и прогнозные значения выхода по косвенным измерениям, где в качестве y и y понимаются

разные переменные.

В случае использования частных квадратичных функционалов качества и комбинированного критерия качества вида

Φ(α) =	y* −Fα	2	+ β	Гy − F α	2	(2.2.3)


	1	Wy		2	Wy

решение оптимизационной задачи определения оптимального вектора

параметров α:

α*(β) =argmin Φ(α)

сводится (по аналогии c линейной интегрированной системой моделей (2.1.1)) к решению системы линейных уравнений вида

(F1T Wy F1 +β F2T Wy F2 ) α = (FT Wy y* +β F2T Wy Гy)

(2.2.4)

и оптимизационной задаче по определению оптимального управляющего параметра

β* = arg min(Φ(α*(β)) =

y* −Fα* (β)

−F2α* (β)

2W ) . (2.2.5)

β R

Рассмотрим интегрированную систему моделей для случая d объек- тов-аналогов, т. е. дополнительная априорная информация в выходе объекта формируется с d объектов-аналогов:

	*		= F1α+ξ,
y			= F1α+ξ,
									(2.2.6)
			y		= F	α+ η		,k =1,d,	(2.2.6)
Г		k	y	k	= F	α+ η	k	,k =1,d,
		k		k	2 k		k

где матрицы F1, F2k, Гk известные матрицы.

По аналогии (2.1.15) и (2.2.4) алгоритм адаптации данной интегрированной системы сводится к решению оптимизационной задачи

α* (β) = argmin(Φ(α) =

y* −F1α

2 Wy +∑βk

Гk yk −F2k α

2 Wy ) (2.2.7)

k =1

и, соответственно, к решению систем линейных уравнений вида

d	d
(F1T Wy F +∑βk F2Tk Wy F2k )α = (FT Wy y* +∑βk F2Tk Wy Zk yk ) (2.2.8)
k =1	k =1

и оптимизационной задаче по определению оптимального вектора управляющих параметров

β*j	= arg min(Φ(α*(β )) =	y* −F α* (β)	2 +
β*j	= arg min(Φ(α*(β )) =	y* −F α* (β)	2 +
	β R		Wy

d				(2.2.9)
+∑βk	y	k	−F2k α* (β)		2W ), j =	1, d	.
k =1					y

2.3. Комбинированныелинейныеинтегрированные системыидентификации

Рассмотрим линейную интегрированную систему моделей, в которой одновременно используется априорная информация о параметрах и выходе исследуемого объекта

	*	= Fα+ξ,
y
				(2.3.1)
Г1 α = R1α+ η1 ,
Г		y = R	y + η	,
	2	2	2

где F, R1, R2 – известные матрицы; Г1 ,Г2 – диагональные индикатор-

ные матрицы.

Для определения вектора неизвестных параметров α будем использовать комбинированный функционал качества

Φ(α) =

y* −F1α

+β1

Г1α −R1α

2 +β2

Г2 y −F2α

(2.3.2)

Wα

где F1 = F,F2 = RF ; β1 и β2 – управляемые параметры.

По аналогии с (2.1.2), (2.2.3) алгоритм адаптации данной комбинированной интегрированной системы моделей сводится к оптимизационной задаче

α*(β ,β		) =arg min Φ(α),
1	2		α
и решению системы линейных уравнений
(FT W F +β RT W R +βFT W F )α =
1 y 1	1 1		α 1	2	y	2		(2.3.3)
=(FT W y* +β RT Г α+				β FT W Г			y)	(2.3.3)
=(FT W y* +β RT Г α+				β FT W Г			y)
y	1 1		1	2 2	y	2

относительно вектора неизвестных параметров α и оптимизационной

задаче по определению управляющих параметров β1			и β2
βj =arg min Φ(α(β1,β2 )), j =		.	(2.3.4)
	1,2
β1, β2

Рассмотрим интегрированную систему моделей, в которой допол-

нительная информация о параметрах α получена с d1 объектов-аналогов, а дополнительная информация о выходе получена с d2 объектованалогов:

y*	= F1α+ξ,
			,	(2.3.5)

Г1 j αj = R1 j Z1 jα+ η1 j , j =1,d1


		=1,d2 .
Г2k yk = F2k α+ η2k ,k		=1,d2 .

Для данной системы соответствующим образом формируется комбинированный функционал качества как сумма взвешенных частных критериев качества исследуемого объекта и объектов-аналогов

Φ(α) =

y* −F1α

+∑1

β1 j

Г1 j αj −Rij Zij α

+ ∑2

β2k

Г2k yk −F2k α

2Wy

j=1

k =1

по параметрам α

Тогда задача оптимизации функционала Φ(α)

к решению системы линейных уравнений вида

(F1T WyF1 +∑1 βj R1Tj W

R1 j +∑2 βk F2Tk WyF2k )α =

j=1

= (FT Wy y* +∑1 β1 j R1TjW

Г1 j

+∑2 β2k F2Tk Wy Г2k y).

j=1

k =1

. (2.3.6)

сводится

2.4. Линейныединамическиеинтегрированные системыидентификации

Рассмотрим линейные динамические интегрированные системы идентификации на основе интегрированной системы моделей вида:

		*	= Fxt +ξt ,
yt								(2.4.1)
			= Rh		+ η ,
	h	t		t
					t
где F – некоторый интегральный оператор с ядром ht;						h	t	– вектор до-
полнительных априорных данных о					ядре, заданный	с		ошибкой ηt;

xt xt ,y*t – векторы входных и выходной переменной объекта; R – известная матрица.

В качестве примера рассмотрим нелинейный интегральный опера-

тор Гаммерштейна

∞∫h(τ) f (x(t −τ))dτ,

в котором ядро представим в виде ряда известных функций z j (xt ), j =1,m с точностью до параметров α j , j =1,m :

m
ht = ∑α j z j (xt ) = zα .	(2.4.2)

j=1

Тогда система (2.4.1) примет вид, подобный линейной интегрированной системе моделей (2.1.1) с учетом априорной информации о параметрах модели объекта

	*	= F1t α+ξt ,
yt		= F1t α+ξt ,				(2.4.3)

		= F α	+ η	,t =1,n,
h	t	= F α	+ η	,t =1,n,
	t	2	t
где матрица F1 = (∞∫z j (x(τ)) f (x(t − τ))dτ, t =						j =		) ; α – вектор не-
где матрица F1 = (∞∫z j (x(τ)) f (x(t − τ))dτ, t =					1,n,	j =	1,m	) ; α – вектор не-
0

известных параметров, F2 = Rz.

При использовании частных квадратичных критериев качества и комбинированного функционала качества вида:

Φ(α) =

y* −F

+β

−F α

t 1t

алгоритм адаптации интегрированной системы моделей (2.4.3), по аналогии с (2.1.2), сводится к решению системы линейных уравнений


(FT W F +βFT W		F ) α = (FTW y* +βFT W				)	(2.4.4)
					h
					h
1 y 1	2 h 2		1 y	2 h

и решению соответствующей оптимизационной задачи по определению управляющего параметра β.

Следует отметить, что при h(t) =δ (t), где δ(t) – дельта – функция Дирака, линейная динамическая интегрированная система моделей переходит в статическую линейную интегрированную систему моделей

	*	= ht +ξt ,
yt

h		= h +η	,t =1, n
	t	t t

с учетом априорной информации о выходе объекта.

Рассмотрим линейные динамические интегрированные системы идентификации на основе модели объекта в форме обыкновенного дифференциального уравнения

m	m
∑1	ak z(k ) (t) = ∑2	bj x( j) (t),	(2.4.5)
k =0	j=0
	36

где

z(k )(t) =

d k (z)

– производная порядка k от выхода объекта;

xt(i) =

d j x(t)

–

dt k

dt j

производная j

порядка

от

входа объекта; z(k ) (t0 ) =

, k = 0,1,...,,

m −1, x( j) (t ) =

, j =0,1,

..., m

−1 – начальные условия.

Часто систему (2.4.5) представляют в виде конечно-разностного

уравнения

z(t) = ∑1

fk (z(t −k)) + ∑2

bk fk (x(t − j)),

(2.4.6)

k =0

j=0

где

fk (•) – известная функция,

аппроксимирующая производную по-

рядка k.

Динамическую интегрированную систему моделей с учетом (2.4.6)

и априорной информации о параметрах ak ,bk можно представить в виде:

+ ξt ,

yt = Fya + Fxb

z(m1 ) (t0 ) =

,x(m2 ) (t0 ) =

(2.4.7)

a = R1a + η1,

b = R2b + η2 ,

где

= ( fk (z(t −k)),t =

, k =

);

Fx = ( fk (x(t − j)),t =

, j =

);

1, n

1, m1

1, n

1, m2

–

векторы дополнительных априорных

данных о параметрах;

R1 ,R2

– известные матрицы; z(m1) (t ) =(

,k =0,1,...,m −1)T ,

x(m2 ) (t ) =

, j =0,1,...,m −1)T – векторы начальных условий.

Для интегрированной системы моделей (2.4.7) приведем решение оптимизационной задачи по определению параметров a и b

a*,b* =arg min Φ(a,b) ,

(2.4.8)

a,b

используя комбинированный критерий качества

Φ(a,b) =

y*t −Fya −Fxb

+β1

a −R1a

W2 a

+β2

−R2b

W2 .

Введем обозначения

z(m1) (t )

U(t0 ) =

;U =

R12

; αab

= b ; Fyx = [Fy Fx ]; αab =

;

x ;

xm2

(t )

и представим интегрированную систему (2.4.7) в виде

y* = F α					+ξ		, U(t	) =		,
				ab					U
	t	yx				1	0	(2.4.9)
		= R		α		+ η,
α	ab		12		ab

где R12 ,Fуx ,αab ,αab ,U(t0 ),U – совмещенные матрицы и вектора модели

объекта, моделей дополнительной априорной информации и начальных условий.

Для данной интегрированной системы моделей при использовании квадратичных критериев качества и комбинированного функционала качества

Φα = y*t −Fyxαab W2 y +βαab − R12αab W2 αb ,

алгоритм адаптации по аналогии с системой (2.1.2) сводится к решению системы линейных уравнений

(FyxT WyFyxT +βR12T WabR12 ) αab = (FyxT Wy y*t +β R12T Wabαab ) (2.4.10)

и решению соответствующей оптимизационной задачи по определению управляющего параметра β.

По аналогии с (2.4.7) имеют место динамические интегрированные системы идентификации, в основе которых используются дифференциальные уравнения в частных производных и дополнительная априорная информация.

В качестве примера рассмотрим интегрированную систему идентификации с использованием уравнения теплопроводности вида [24]

∂y(x,t)

= a(x,t)

∂2 y(x,t)

, y(x =0,t) = y

(t),

(2.4.11)

∂

∂x

y(x =l,t) = y1(t), t ≥l, y(x,t = 0) = y0 (x).

где a(x,t) = ∑α j f j

(x,t) ;

j = Rij α j +ηj ,i, j =

;

f j (x,t), j =

– из-

1,m

j=1

вестные функции;

α j j =

– неизвестные параметры;

j , j =

–

1,m

дополнительная априорная информация о параметрах, заданная с ошиб-


ками ηj , j =				; Rij ,i, j =
ками ηj , j =			1,m	; Rij ,i, j =	1,m	– известная матрица.
Задача идентификации						заключается в определении	параметров
αj j =		по результатам измерений выходной переменной					y(x, t) в мо-
αj j =	1, m	по результатам измерений выходной переменной					y(x, t) в мо-

менты времени ts = s t, s =0, 1, 2, ..., при значениях переменной x, рав-

ных xk =k x,k =0,1,..., l / x , y(xk ,ts ) = y(xk ,ts−1)+∑αj f j (xk ,ts ) (y(xk+1,ts ) −

j=1

− 2y(xk ,ts ) + y(xk−1,ts )) +ξ(xk ,ts ) и сводится к оценкам вида (2.1.4).

Глава3 НЕЛИНЕЙНЫЕИНТЕГРИРОВАННЫЕСИСТЕМЫИДЕНТИФИКАЦИИ

3.1.Нелинейныеинтегрированные системыидентификации

сучетомаприорнойинформацииопараметрахмоделиобъекта

Рассмотрим интегрированную систему моделей, основанную на нелинейной статической модели исследуемого объекта и линейной статической модели объекта-аналога, представляющего дополнительную априорную информацию о параметрах исходного объекта:

f (x1,α)

f(x,α) = f (x2,α) ,

f (xn,α)

=f(x,a) +ξ,

α=Rα+η,

y1*

α1

y* = y2*

α=

α2

αm

	ξ				η	(3.1.1)
	ξ	1			1	(3.1.1)
ξ=	ξ	2	,	η=	η	,
ξ=		2	,	η=	2	,

ξn				ηm

где f (x,α) – вектор известной с точностью до вектора параметров α нелинейной функции f (x,α), вычисленной в точках xi ,i =1,n ; y* – вектор измеренных значений выхода объекта; α – вектор дополнительных априорных данных; R = (rij , i, j =1,m) – известная матрица; ξ, η– век-

торы случайных факторов (помех).

Для проектирования оптимальной структуры интегрированной системы идентификации необходимо определить частные критерии качества с учетом априорной информации о вероятностных характеристиках ошибок измерения выходной переменной объекта ξ, ошибок задания априорной информации η. Будем предполагать, что ошибки распределены по нормальному закону.

Тогда, по аналогии с рассмотренными во второй главе линейными интегрированными системами идентификации, задачу идентификации можно свести к оптимизационной задаче

α* (β) = arg min Φ(α),

(3.1.2)

Φ(α) = J(α) +β Q(α) =

y* −f (x,α)

−Rα

2 ,

+β

где J(α) и Q(α) – частные квадратичные формы с положительно определенными матрицами Wy и Wα , связанные с вероятностными характеристиками случайных ошибок ξ, η и вероятностными характери-

стиками ошибок ν измерений входных переменных x* = x + ν (в слу-

чае, если входные переменные измеряются с ошибкой ν).

Алгоритм адаптации, основанный на методе Гаусса–Ньютона.

Рассмотрим алгоритм решения оптимизационной задачи (3.1.2) на основе метод Гаусса–Ньютона, приведенного в приложении 2, суть которого заключается в разложении нелинейной функции f (x, α) в ряд Тейлора в окрестности некоторой точки α0 (начальное приближение параметров), ограничиваясь членами первого порядка малости:

f (x,α) =

f (x,α

) +

∂f (x,α) 0

(α

−α

) =

f (x,α

) +

∑

(3.1.3)

j=1

∂αj

+( α f (x,α))T0 α0 .

Сучетом разложения критерия качества (3.1.3) модели исследуемого объекта J(α) представим в виде:

	J(α) =		e0 −D0
где e0 = y* −f (x,α0 ),		∂f (x			, α)	, i
где e0 = y* −f (x,α0 ),	D0 =			i		, i
			∂α		j
					j

α0 2 ,

	0
		– матрица ча-
=1, n , j =1, m		– матрица ча-

стных производных по параметрам αj , j =1, m, α0 = (α−α0 ).

Используя разложение (3.1.3), перейдем от нелинейной интегрированной системы моделей (3.1.1) к линейной интегрированной системе моделей

e		= D		α		+ξ,
	0		0		0
	α = R α				0	+ η,	(3.1.4)
	α = R α				0	+ η,	(3.1.4)

относительно приращения вектора параметров α0 ; α = α−Rα0 ,

R α0 = (∑rij α0j ,i =1,m)T .

j=1

Линеаризованной интегрированной системе моделей (3.1.4) соответствует комбинированный критерий качества

Φ( α0 ) =

e0 − D0 α0

2 +β

− R α0

2 .

(3.1.5)

Wα

Далее определим приращение вектора параметров

α0 относитель-

ного начального приближения α0 и получим последующие приближения параметров по схеме Ньютона

αi =αi−1 +h αi−1, i =1, 2, 3, ...	(3.1.6)
i
40

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 204 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке Учебные пособия

#
18.07.20234.5 Mб1077592_2C103_anfilatov_v_s_emelyanov_a_a_kukushkin_a_a_sistemnyy_analiz_v.pdf
#
18.07.20231.42 Mб22ИПР_Сергеев В.Л._Системные основы управления.pdf
#
18.07.20233.44 Mб1СЕРГЕЕВ_МАКЕТ.pdf